Эконометрика ВАРИАНТ 1

Сравнение показывает:

|t(a)| = 2,69 > tкр=2,31, следовательно, свободный коэффициент a является значимым, его следует сохранить в модели.

|t(b)| =26,71> tкр=2,31, коэффициент регрессии b является значимым, его нельзя исключить из модели.

5.      Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=5%), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации R-квадрат определен программой РЕГРЕССИЯ и составляет R2=0,9889=98,8% (таблица 3).

Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 98,8% объясняется по полученному уравнению изменением объема капиталовложений X.

Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия Фишера.

F-статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 4) и составляет F =713,17.

Критическое значение Fкр=5,32 найдено для уровня значимости α =5% и чисел степеней свободы k1=1, k2 =8. (функция FРАСПОБР).

Сравнение показывает: Fкр=5,32 < F =713,17; следовательно, уравнение модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменная Y достаточно хорошо описывается включенной в модель факторной переменной Х.

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации дополним таблицу 5 столбцом относительных погрешностей, которые вычислим по формуле с помощью функции ABS (таблица 9).

Таблица 9

Вспомогательные расчеты

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение          Eср.отн =1,58% (функция СРЗНАЧ).

Сравним: 1,58%< 5%, следовательно, модель является точной.

ВЫВОД: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать адекватной и точной. Использовать такую модель для прогнозирования в реальных условиях целесообразно.

6.      Осуществим прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α =0,1, если прогнозное значение фактора Х  составит 80% от его максимального значения.

Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит =67,2 (хmax=84; Х*=84*0,8=67,2). Рассчитаем по уравнению модели точечное прогнозное значение показателя Y*:

Таким образом, если объем капиталовложений составит 67,2 млн. руб., то ожидаемая сумма объема выпуска продукции будет около 131,64 млн. руб.

Зададим доверительную вероятность γ =1-α и построим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y*.

Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования

Предварительно подготовим:

      Стандартную ошибку модели SE =2,727 (таблица 3)

      По столбцу исходных данных Х найдем среднее значение Х =70,6 (функция СРЗНАЧ)

      определим (функция КВАДРОТКЛ).

Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:       

При tкр(10%,8)=1,86 размах доверительного интервала для среднего значения:

Границами прогнозного интервала будут

Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложений  составит 67,2 млн. руб., то ожидаемая средняя сумма объема выпуска продукции будет  от 129,96 до 133,33 млн. руб.

7.      Представим графически: фактические и модельные значения Y; результаты прогнозирования.

Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходные данные. Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого добавим ряд:

Имя →  прогноз; значения X→x*;значения Y→y*;

Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию модели:

тип →линейная; параметры →показывать уравнение на диаграмме.

8.      Составим уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Приведем графики построенных уравнений регрессии.

Гиперболическая модель не является стандартной.

Обозначим и получим вспомогательную модель . Вспомогательная модель является линейной. Ее можно построить с помощью программы РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец значений уi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений (таблица 10).

Таблица 10

С помощью  программы РЕГРЕССИЯ получим

Таким образом, а=288,8262; b=-10330,3, следовательно, уравнение гиперболической модели .

С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические значения yTi для каждого уровня исходных данных хi.

Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого добавим к ряду исходных данных (хi ,yi) ряд теоретических значений (хi, yTi).

Рисунок 2

Степенная модель является стандартной. Для ее построения используем Мастер диаграмм: Исходные данные покажем с помощью точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на диаграмму уравнение модели.

Рисунок 3

Таким образом,  уравнение степенной модели .

Показательная  модель тоже стандартная (экспоненциальная). Построим ее с помощью Мастера диаграмм.

Рисунок 4

Можно вычислить b=e0.0162 =1,016332 (функция EXP), тогда уравнение показательной модели.

9.      Для указанных моделей найдем коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод.

Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем теоретические значения , найденные по соответствующему уравнению для каждого уровня исходных данных xi; ошибки модели и относительные погрешности (таблицы 11-13).

Среднюю относительную погрешность найдем по столбцу с помощью функции СРЗНАЧ.

Индекс детерминации вычислим по формуле, для чего подготовим числитель дроби ∑ Ei2 – функция СУММКВ для столбца ошибок и знаменатель– функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.

Таблица 11