Анализ динамики продукции сельского хозяйства

4)               

 

           Итак, , следовательно нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Вывод: гетероскедастичности нет.

Проверка на гетероскедастичность аддитивной модели по тесту Парка:

1) при помощи регрессионной статистики (см. приложение Д таблицу 5.1) определяем регресcию

                                                                                                     

2) 1,99 (распределение по Стюденту), а это говорит о том, что коэффициент уравнения статистически не значим Следовательно, это означает отсутствие связи между т. е. гетероскедастичности в статистических данных отсутствует.

Проверка мультипликативной модели на гетероскедастичность по тесту Спирмена:  

1) нулевая гипотеза: ( гетероскедастичности нет);              

2) коэффициент ранговой  корреляции равен:      

                               ;                                                     

3) наблюдаемое значение  t-статистики

                                                                                                            

4)               

 

           Итак, , следовательно нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Вывод: гетероскедастичности нет.

Проверка на гетероскедастичность аддитивной модели по тесту Парка:

1) при помощи регрессионной статистики определяем регресcию

                                                                                                     

2) 1,99 (распределение по Стюденту), а это говорит о том, что коэффициент уравнения статистически не значим Следовательно, это означает отсутствие связи между т. е. в статистических данных присутствует гомоскедастичность.

Проверим условие  независимости отклонений от модели роста с помощью критерия Дарбина-Уотсона аддитивную модель, который рассчитывается по формуле:

 

                                                                (20)

 

Гипотеза: (автокорреляция отсутствует).

Критические значения d₁, d₂ для числа наблюдений n=96, числа независимых переменных m=1 и уровня значимости α=0,05 выбираем из таблицы критических значений, расположенной в статистических приложениях: d₁=1,645, d₂=1,687. Делаем вывод по правилу:

                                          ;                                                                               (21)

                                          .                                                           

Из данного правила получается, что с вероятностью 0,95 отвергаем гипотезу H₀ об отсутствии автокорреляции в остатках (существует положительная автокорреляция).

Определим автокорреляцию графическим  методом.  На рисунке 8 видно, что отклонения вначале положительные, затем отрицательные, потом снова положительные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определённой зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков.

 

  

Рисунок 16 – График остатков

 

Она становится весьма наглядной, если график остатков (рисунок 8) дополнить  графиком зависимости e_t от e_t-1 (рисунок 9).

 

 

Рисунок 17 – График зависимости e_t от e_t-1

 

Точки на этом графике расположены в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Проверим на автокорреляцию остатков мультипликативную модель. Рассчитаем по формуле (21) критерий Дарбина-Уотсона:

 

Гипотеза: (автокорреляция отсутствует).

Критические значения d₁, d₂ для числа наблюдений  n=96, числа независимых переменных m=1 и уровня значимости α=0,05 выбираем из таблицы критических значений, расположенной в статистических приложениях: d₁=1,645, d₂=1,687. Делаем вывод по правилу:

 

;                                                                                                                                     .

Из данного правила  получается, что с вероятностью 0,95 отвергаем гипотезу  H₀ об отсутствии автокорреляции в остатках (существует положительная автокорреляция).

3.4 Точечный  прогноз

 

Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тенденции) соответствующего значения фактора времени, т.е.

Необходимо сделать прогноз  на 2012 год производства продукции  сельского хозяйства.

Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в аддитивной модели в соответствии с соотношением Y=T+S+E - это сумма трендовой и сезонной компонент (см. таблицу 5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5 – Прогнозные значения F_t

t	Yфакт	Т	S	Y^ = T+S
97	1073,4	1589,5573	-623,92898	965,628321
98	1073,3	1598,2182	-643,8352	954,383
99	1203,1	1606,8791	-565,90537	1040,973729
100	1223,2	1615,54	-560,14613	1055,393871
101	1514,2	1624,2009	-476,62862	1147,572277
102	1984,0	1632,8618	-30,454784	1602,407016
103	3287,0	1641,5227	582,396304	2223,919004
104	3162,4	1650,1836	1566,08009	3216,263694
105	3710,8	1658,8445	1601,60999	3260,454489

 

Скорректируем полученные прогнозные значения на индекс потребительских  цен 2012 года. Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке 10 представлено графическое изображение прогноза на 2012 год.

 

Рисунок 18 – Прогноз на 2012 год

 

Анализируя построенный  график можно сказать, что полученные прогнозные значения являются достаточно точными.

Прогноз по мультипликативной  модели представлен в таблице 6. Прогнозное значение F_t уровня временного ряда в мультипликативной модели в соответствии с соотношением Y=T*S+*E - это произведение трендовой и сезонной компонент.

 

Таблица 6 – Прогноз по мультипликативной модели

T	Yфакт	Т	S	Y^ = T*S
97	1073,439148	1687,7619	0,453189112	764,8753165
98	1073,286251	1698,2427	0,441074094	749,0508606
99	1203,050868	1708,7235	0,51107976	873,2939954
100	1223,197961	1719,2043	0,521437562	896,4576989
101	1514,187522	1729,6851	0,596277113	1031,371637
102	1983,991851	1740,1659	0,972578733	1692,448346
103	3287,037816	1750,6467	1,459777558	2555,554766
104	3162,369901	1761,1275	2,383733524	4198,058662
105	3710,799314	1771,6083	2,422879241	4292,392973

 

Представим графическое изображение прогноза по мультипликативной модели на 2012 год.

 

                      Рисунок 19 – прогноз на 2012 год по мультипликативной модели

 

Анализируя построенный  график (рисунок 19) можно сказать, что полученные прогнозные значения являются достаточно точными.

3.5 Ряд  Фурье

 

Для описания сезонности можно  использовать функции, которые называются периодическими (ряд Фурье).

Для того чтобы использовать периодические функции для описания сезонных изменений, необходимо перейти  от порядкового номера периода к  углу (в радианах). То есть t=0 будет соответствовать январю, t=П/6 – февралю и т.д.

Ряд Фурье может быть использован  следующим образом для описания сезонности:

     (22)

Необходимо определить, сколько  гармоник нам будет необходимо.

Пусть у нас модель следующая:

 

                                                                                                                  (23)

 

С помощью пакета STATISTICA оценим значимость коэффициентов при cos (t), sin (t), cos (2t), sin (2t), cos (3t), sin (3t), cos (4t), sin (4t) (рисунок 11).

 

Рисунок 20 – Проверка коэффициентов на значимость в пакете STATISTICA

 

Устраним гармоники cos (2t) и cos (4t), так как, из рисунка 11 видно, что коэфиициенты при них не значимы.

Получим следующую модель:

           

                                                          

Построим график сезонной волны (рисунок 21).

 

Рисунок 21 – Сезонная волна  для первой модели ряда Фурье

 

Произведем прогноз производства продукции сельского хозяйства на следующие 9 месяцев на основе первой модели ряда Фурье. Полученные данные представлены                               в таблице 7:

Таблица 7 – Прогноз для первой модели ряда Фурье

Месяцы	У факт	У прогноз
январь	1073,439	574,087
февраль	1073,286	430,914
март	1203,051	581,980
апрель	1223,198	663,960
май	1514,188	685,632
июнь	1983,992	1063,472
июль	3287,038	1764,927
август	3162,370	2643,750
сентябрь	3710,799	2832,347

 

Посчитаем среднюю ошибку аппроксимации для полученных прогнозных значений. Она составила 0,43 процента. Это свидетельствует о хорошем качестве модели.

Строим вторую модель ряда Фурье с трендом:

 

           

                                                                                                     

Здесь будем использовать исходные данные.  Аналогично с первой моделью рассчитаем cost,  sint, cos2t, sin2t, cos3t, sin3t, cos4t, sin4t, где .

С помощью пакета STATISTICA оценим значимость коэффициентов при cos (t), sin (t), cos (2t), sin (2t), cos (3t), sin (3t), cos (4t), sin (4t), t и t²  (рисунок 22).

 

Рисунок 22 – Проверка коэффициентов  второй модели Фурье

 

Устранив не значимые коэффициенты t², cos (2t) и cos (4t) получим следующую модель:

 

           

 

Построим график сезонной волны для второй модели (рисунок 23):

 

Рисунок 23 – График сезонной волны для второй модели Фурье

 

Произведем прогноз производства продукции сельского хозяйства на следующие 9 месяцев на основе второй модели ряда Фурье. Полученные данные представлены                               в таблице 8:

Таблица 8 – Прогноз для  второй модели ряда Фурье

Посчитаем среднюю ошибку аппроксимации для полученных прогнозных значений. Она составила 0,15 процента. Это означает, что прогноз получится эффективным.

При сравнении полученных моделей по средней ошибке аппроксимации  приходим к выводу, что аддитивная модель ( = 0,149) и вторая модель ряда Фурье ( = 0,146)  являются самыми лучшими, так как у них примерно одинаковые значения. Для мультипликативной модели прогнозные значения получились неэффективными, так как средняя ошибка аппроксимации  превышает допустимый процент и равняется 14,54%.

Осуществим проверку адекватности второй модели ряда Фурье.

Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда остатков. На основе уравнения (16) посчитаем t_расч и t_набл:

 

 

 

 

 

Так как , то равенство математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Проверка второй модели ряда Фурье на гетероскедастичность по тесту Спирмена:  

1) нулевая гипотеза: ( гетероскедастичности нет);              

2) коэффициент ранговой  корреляции равен:      

                               ;                                                      (20)

3) наблюдаемое значение  t-статистики