Анализ динамики продукции сельского хозяйства

 

Рисунок 6 – Коэффициенты полинома второй степени

 

Рисунок 7 – Коэффициент  детерминации полинома второй степени

 

Для коэффициентов a0, a1 p – level<0.05, следовательно данные коэффициенты являются значимыми. Для коэффициента a2² p-level>0.05, следовательно данный коэффициент является не значимым. Коэффициент детерминации (R² = 0,5908) в данной модели также является значимым, так как р-level<0,05.

Уравнение полинома третьей  степени выглядит:

 

Т = 793,8751+3,8593*t+0,1143*t²-0,0007*t³.

 

Расчётные данные приведены  на рисунках 8 и 9.

Рисунок 8 – Коэффициенты полинома третьей степени

 

 

Рисунок 9 – Коэффициент  детерминации полинома третьей степени

 

Из рисунков 8 и 9 следует, что только коэффициент  а0 значим, так как p-level<0,05. А остальные коэффициенты не значимы, так как для них p-level>0,05. Коэффициент детерминации R² = 0,5924 и он является значимым (p-level <0,05).

Для логарифмической и степенной  функций коэффициенты детерминации соответственно равны: R²  = 0,4376 и R²  = 0,4544.

Анализируя все полученные модели тренда, можно сделать вывод  что наилучшей является линейная форма тренда, так как, все коэффициенты модели и коэффициент детерминации значимы, хотя наибольшим  коэффициентом детерминации обладает полином третьей степени, однако она имеет не значимые коэффициенты при переменной t, t² и t³ следовательно с помощью этой модели не может быть сделан эффективный прогноз.

Подставляя в линейную модель t = 1, 2,…,96, найдем уровни Т для каждого момента времени.

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значение сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле:

                                                               Е = Y_t – (T+S)                                                         (10)

   Это абсолютная ошибка.            

По аналогии с моделью  регрессии для оценки качества построения модели можно применять сумму  квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной модели она равна 3832450,819. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 73779346,77, эта величина составляет 5,19 %:

 

                                                            

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 94,81% общей вариации уровней временного ряда продукции сельского хозяйства за восемь лет.

3.2 Построение мультипликативной модели временного ряда

 

Определим компоненты мультипликативной  модели временного ряда, используя  данные о  производстве продукции  сельского  хозяйства за 2004 – 2011 годы, использованные для расчета  компонент аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. Результаты расчетов оценок сезонной компоненты представлены в приложении Г в таблице 4.1. График скользящей средней приведён на рисунке 10.

 

Рисунок 10 – Скользящая средняя в мультипликативной модели

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на скользящие средние. Используем эти оценки для расчетов значений сезонной компоненты S (приложение Г табл. 4.1 графа 6). Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i  (приложение Г таблица 4.2). Для этого найдем средние за каждый месяц оценки сезонной компоненты S_i. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, т. е. двенадцати, так как в нашем случае число периодов одного цикла равно двенадцати месяцам.

Для данной модели имеем:                                                                                                 

 

Рассчитаем  корректирующий коэффициент:

                                                                                            (11)

Определим скорректированные  значения сезонной компоненты, умножив  ее средние оценки на корректирующий коэффициент 

                                                                                                                              (12)

Проверим условие равенства  12 суммы значений сезонной компоненты:

                                                          

Полученные значения представлены в приложении Г в таблице 4.2.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим величины Т*Е = Y_t / S,  которые содержат только тенденцию и случайную компоненту (приложение Г таблица 4.3 графа 4).

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т*Е). График линейного тренда в мультипликативной модели представлен на рисунке 11.

 

Рисунок 11 – График линейного тренда в мультипликативной модели

 

Уравнение тренда имеет следующий  вид:

                                  Т = 671,1243 + 10,4808*t.     

Выберем наилучшую модель тренда. Для этого сначала сравним коэффициенты детерминации каждой модели (таблица 4).

 

Таблица 4 – Модели тренда

Модели	Коэффициент детерминации
линейная	0,7763
логарифмическая	0,6258
полином 2-ой степени	0,7763
полином 3-ей степени	0,7776
степенная	0,7336

 

Проверим с помощью пакета STATISTICA на значимость коэффициенты линейной, полинома второй и третьей степени моделей, так как у них самые высокие коэффициенты детерминации (см. рисунки 13, 14 и 15).

 

Рисунок 13 – Коэффициенты линейного тренда в мультипликативной модели

 

Рисунок 14 - Коэффициенты полинома второй степени  в мультипликативной модели

 

Рисунок 15 – Коэффициенты полинома третьей  степени в мультипликативной  модели

 

Анализируя рисунки 13, 14 и 15 делаем вывод, что здесь также линейная модель тренда является самой лучшей. Так как все коэффициенты получились значимыми, т. е. р-level<0,05.

Подставив в это уравнение значения t = 1, 2, ..., 96, найдем уровни T для каждого момента времени (приложение Г таблица 4.3 графа 5).

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев (см. приложение Г таблица 4.3 графа 6). 

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

 

                                                                                                                                  (13)

 

Для того чтобы сравнить мультипликативную  модель с другими моделями временного ряда, можно по аналогии с аддитивной моделью использовать сумму квадратов  абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

 

                                                                                                                    (14)

 

В данной модели сумма квадратов  абсолютных ошибок составляет 4573446,261. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна  73779346,77. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 73779346,77, эта величина составляет 6,2 %:

 

                                                     

                               Таким образом, можно сказать, что мультипликативная модель на 93,75% объясняет общую вариацию уровней временного ряда продукции сельского хозяйства за восемь лет.

3.3 Проверка точности модели. Оценка качества модели

 

Исследуем аддитивную и мультипликативную модели на точность. Для этого будем использовать среднюю относительную ошибку по модулю:

                                      

.                                                      (15)

Получаем для аддитивной модели:

 

Для мультипликативной модели:

                                                                                             

Полученные значения говорят о хорошем качестве моделей, так как ошибка аппроксимации не превышает 5-7%.

Оценка качества модели независимо от вида выбранной модели вопрос о возможности ее применения для прогнозирования экономического показателя может быть решён только после установления её адекватности и точности.  Модель считается качественной, если со статистической точки зрения она адекватна и достаточно точна.  Проверка адекватности модели и точности производится с помощью анализа остатков [4, c. 56].

 Рассмотрим сначала  методику проверки адекватности  модели. Проверка адекватности модели  реальному явлению заключается  в проверке наиболее важных  свойств остаточной компоненты:

        1) проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков;

         2) проверка равенства дисперсий ошибок, т.е. должно наблюдаться постоянство дисперсий отклонений, называемое гомоскедастичностью отклонений. А нарушение этого требования – гетероскедастичность.

3) проверка условия независимости  отклонений от модели роста; 

Осуществим проверку адекватности аддитивной модели.

Проверка равенства нулю математического  ожидания уровней ряда остатков осуществляется проверкой нулевой гипотезы =0. Для этого строится t-статистика:

                              .                                                           (16)

 

При уровне значимости α = 0,05 и числе  степеней свободы (n − 1)  гипотеза о  равенстве нулю математического  ожидания уровней ряда остатков отклоняется, если

                                                                                       

Здесь − критерий Стьюдента с уровнем значимости α и

(n − 1)  степенями свободы [4, c.58-59].

Рассчитаем для аддитивной модели:

 

 

 

 

 

Так как , то равенство математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

Рассчитаем для мультипликативной модели:

 

 

 

                               

                                              

Так как , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Обнаружить гетероскедастичность можно с помощью следующих методов:

а) теста Спирмена:

1) выдвигаем  нулевую гипотезу: ( гетероскедастичности нет);

2) определяем коэффициент ранговой  корреляции:

                                                     ;                                                     (17)

3) вычисляем наблюдаемое значение  t-статистики. Доказано, что если коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

                                                                                                                             (18)

имеет распределение Стьюдента  с числом степеней свободы 

4) определяем по таблице критических  точек распределения Стюдента 

Если , то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности. В противном случае гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

б) тест Парка включает следующие этапы:

1) строится регрессия                                                                   

2) проверяется статистическая значимость коэффициента уравнения на основе t-статистики

                                                                                                                                   (19)

Если коэффициент  статистически значим, то это означает наличие связи между т. е. гетероскедастичности в статистических данных [1, c. 237-238].

Проверка аддитивной модели на гетероскедастичность по тесту Спирмена:  

1) нулевая гипотеза: ( гетероскедастичности нет);              

2) коэффициент ранговой  корреляции равен:      

                               ;                                                     

3) наблюдаемое значение  t-статистики