Анализ динамики продукции сельского хозяйства

того же временного ряда, то его принято называть коэффициентом  автокорреляции. При этом τ –  длину временного смещения – называют обычно лагом [4, c. 32].

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле:    

                                                                             

             

                     (6)

 

Порядок коэффициентов автокорреляции определяется временным лагом первого  порядка (при  τ = 1), второго порядка (при τ = 2) и т.д.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого, второго  и последующих порядков называют автокорреляционной функцией. Ее значения могут колебаться от -1 до +1. График автокорреляционной функции называется корреллограммой.

 Анализ автокорреляционной  функции и корреллограммы позволяет                 определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, то есть при помощи анализа автокорреляционной функции и корреллограммы можно выявить структуру ряда. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию, если все коэффициенты автокорреляции высоки, то ряд также содержит тенденцию. Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка τ, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τ моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительные исследования. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой f (t) и сезонной S (t) компоненты [5, c. 302]. 

 

Рисунок 1  - Корреллограмма

 

Проанализировав автокорреляционную функцию и коррелограмму (рисунок 1), можно сделать вывод, что ряд содержит циклические колебания периодичностью =12 моментов времени (так как наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 12). Также высоким и значимым оказался коэффициент автокорреляции порядка =1 , это говорит о том, что в ряду присутствует тенденция.

2.3  Проверка гипотезы существования тенденции во временном ряду

 

Прогнозирование временных  рядов целесообразно начинать с  построения графика исследуемого показателя. Однако в нём не всегда прослеживается присутствие тренда. Поэтому в  этих случаях необходимо выяснить –  существует ли тенденция во временном ряду или она отсутствует.                         

Отметим, что о наличии  тренда говорит не только изменение  среднего значения показателя (уменьшение, увеличение), но и изменение дисперсии, автокорреляции, корреляции с другими  показателями и т.д. Тенденцию среднего, дисперсии можно определить визуально из графика исходных данных. Проверка наличия или отсутствия неслучайной (зависящей от времени  t) составляющей сводится к проверке гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда. Процедура проверки может быть осуществлена с помощью различных критериев, например:

 

• «восходящих» и «нисходящих» серий;
• серий, основанный на медиане;
• сравнения средних уровней ряда;
• Фостера-Стюарта [4, c.15].

Рассмотрим критерий сравнения средних уровней ряда.

По этому критерию временной  ряд разбивают на две примерно равные по числу уровней части, каждая из которых рассматривается как  самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если временной ряд имеет тенденцию (тренд), то средние, вычисленные для  каждой совокупности, должны существенно (значимо) различаться между собой. Если же расхождение в средних  значениях несущественно  (случайно), то временной ряд не имеет тенденции. Таким образом, проверка наличия  тренда в исследуемом ряде сводится к проверке гипотезы о равенстве  средних двух нормально распределённых совокупностей. Для проверки наличия  тенденции существует следующее  правило [4, c.19-20].

Правило. Для того, чтобы при заданном уровнем значимости α проверить нулевую гипотезу H0: M(X₁) = M(X ₂) о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормально распределенных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе                H1: M (X₁) ≠ M (X₂) , надо вычислить наблюдаемое значение: 

 

                                        (7)

 

В условии (7) n₁  и  n₂– количество уровней в первой и второй части исходного ряда, а  S²_y1   и   S²_y2 – оценка дисперсии в этих частях. По таблице критических распределений Стьюдента, по заданному уровню значимости α, и числу степеней свободы ν=n₁+n₂−2 найдем критическое значение:    t_табл = t_α;ν = t_α;n1+n2−2.

Если | t_набл | < t_табл, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Если |t_набл| > t_табл, то нулевую гипотезу отвергают [4, c.20].

Проверим наличие тренда в исходном ряде с помощью сравнения  средних.                                     

1. Исходный временной  ряд делим на две равные  по числу уровней части n₁=48; n₂=48.

2. Для каждой из этих  частей вычисляем среднее значение  и дисперсию: 

= 951,50;   S²_y1= 551303,84,

= 1387,51;  S²_y2 = 921395,86.

3. Проверяем гипотезу  о равенстве (однородности) дисперсий  обеих частей ряда с помощью  F -критерия Фишера. Для этого большую  дисперсию делим на меньшую и сравниваем с табличным значением

 

        F_расч  = > F_табл  = F_{α; n1−1; n2−1} = F_{0,05;47; 47} = 1,6238.                         

 

Дисперсии в выбранных  частях ряда различаются. С вероятностью 0,95 отвергаем нулевую гипотезу, дисперсии не равны.

4. Используя условие (7) проверим основную гипотезу о  равенстве средних значений  и _{по t − критерию Стьюдента:}

 

 

 

                                                                                                                                                                 

                 

Так как t_{расчтабл}, то отвергаем нулевую гипотезу отвергаем с доверительной вероятностью 0,95. Генеральные средние двух выборок не равны между собой. Вывод: в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.

Наличие тренда видно также  из графика (рисунок 2):

 

Рисунок 2 – Наличие тренда

Данные гипотезы можно  проверить с помощью пакета Microsoft Excel следующим образом (таблица 2 и 3).

 

Таблица 2 – Двухвыборочный F-тест для дисперсии

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	1387,511065	951,5035872
Дисперсия	921395,8644	551303,8434
Наблюдения	48	48
df	47	47
F	1,671303176
P(F<=f) одностороннее	0,0407741
F критическое  одностороннее	1,623755477

 

Таблица 3 - Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	951,5035872	1387,511065
Дисперсия	551303,8434	921395,8644
Наблюдения	48	48
Гипотетическая  разность средних	0
df	88
t-статистика	-2,489186613
P(T<=t) одностороннее	0,007342316
t критическое  одностороннее	1,66235403
P(T<=t) двухстороннее	0,014684633
t критическое  двухстороннее	1,987289823

 

Таким образом, полученные значения в двух таблицах (таблица 2 и таблица 3) подтверждают правильность наших расчётов, что свидетельствует о наличии тренда в исходном ряду.

 

 

 

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕЗОННЫХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

 

Существует несколько подходов при моделировании сезонных или  циклических колебаний:

• расчет значений сезонной компоненты и построение  аддитивной   или мультипликативной модели временного ряда;
• использование рядов Фурье и др.

Наиболее простым является первый метод.

Процесс построения аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого порядка.

Процесс построения модели включает следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты S.
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т*Е) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т*Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (Т+S ) или (Т*S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

 

3.1 Построение аддитивной модели временного ряда

 

Для расчетов используем данные о производстве продукции сельского хозяйства за 2004 – 2011 годы, представленные в приложении 1.

Анализ величины коэффициентов  автокорреляции показал, что в данном временном ряде имеются сезонные колебания с периодичностью 12.

Рассчитаем компоненты аддитивной модели.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 12 месяцев  со сдвигом на один момент времени;

б) разделим полученные суммы на 12, найдем скользящие средние, которые не содержат сезонной компоненты. График скользящей средней представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Скользящая средняя в аддитивной модели

 

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними (см. приложение В таблица 3.1). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Для данной модели имеем:                                                                                          

 

Определим корректирующий коэффициент:

 

                                                    (8)

 

Рассчитаем cкорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом

 

                                                                                                                               (9)

 

Проверим условие равенства  нулю суммы значений сезонной компоненты:

                                                                                       

Полученные значения представлены в приложении В в таблице 3.2.

Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y_t – S_i. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени  и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда Т + Е с помощью линейного тренда. В результате получен линейный тренд вида:

                                                 Т = 749,45 + 8,6609*t.  

                                    

График уравнения тренда приведен на рисунке 3.

 

Рисунок 3 – График линейного тренда в аддитивной модели

 

Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры  основных видов трендов в программном  пакете STATISTICA.

Для линейного  тренда имеем следующее уравнение:

 

T = 749,45+8,6609*t.

 

Расчётные данные приведены  на рисунках  4 и 5.

 

 

Рисунок 4 –Коэффициент детерминации для линейной модели

 

Рисунок 5 – Коэффициенты линейной модели

 

Значимость коэффициентов  будем проверять с помощью  t – статистики. Для коэффициентов a0, a1 p – level<0.05, следовательно данные коэффициенты являются значимыми. Значимость коэффициента R² проверим с помощью F – статистики. Из рисунка 4 видно, что для коэффициента R² p-level<0.05, следовательно он является значимым.

Для полинома второй степени имеем:

 

Т = 758,8114+8,0879*t+0,0059*t².

 

Проанализируем расчётные  данные на рисунках 6 и 7.