Шпаргалка по "Гидравлике"

    Поэтому выражение для центра давления (точка D) без переноса оси момента инерции  от той же линии уреза, совпадающие  с осью O_Y, будет иметь вид:

    I_y = I₀ + ωl²_ц.т.

    Окончательная формула для определения места  расположения центра давления от оси  уреза жидкости:

    l_{ц. д.} = l_{ц. г}.+ I₀/S.

    где S = ωl_ц.д. – статистический момент.

    Окончательная формула для l_ц.д. позволяет определить центр давления при расчетах гидротехнических сооружений: для этого разбивают участок на составные участки, находят для каждого участка l_ц.д. относительно линии пересечения этого участка (можно пользоваться продолжением этой линии) со свободной поверхностью.

    Центры  давления каждого из участков находятся ниже центра тяжести смоченной площади по наклонной стенке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I₀/ωl_ц.u.

11. Общая методика определения сил на криволинейные поверхности

 

    1. В общем случае, это давление:

    P_z = ρgWg,

    где Wg – обьем рассматриваемой призмы.

    В частном случае, направления линий  действия силы на криволинейную поверхность  тела, давления зависят от направляющих косинусов следующего вида:

    

 

    Сила  давления на цилиндрическую поверхность  с горизонтальной образующей полностью определена. В рассматриваемом случае ось O_Y направлена параллельно горизонтальной образующей.

    2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверхность с вертикальной образующей и направим ось O_Z параллельно этой образующей, что значит ω_z = 0.

    Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае,

    

    где h'_ц.т.– глубина центра тяжести проекции под пьезометрическую плоскость;

    h' _ц.т. – то же самое, только для ω_y.

    Аналогично, направление определяется направляющими  косинусами 

    

 

    Если  рассмотреть цилиндрическую поверхность, точнее, объемный сектор, с радиусом γ и высотой h, с вертикальной образующей, то

    ω_x = h_y,

    h'_ц.т. = 0,5h.

    3. Осталось обобщить полученные формулы для прикладного применения произвольной криволинейной поверхности:

    

12. Закон Архимеда. Условия плавучести погруженных тел

 

    Следует выяснить условия равновесия погруженного в жидкость тела и следствия, вытекающие из этих условий.

    Сила, действующая на погруженное тело – равнодействующая вертикальных составляющих P_z1, P_z2,т. е.:

    P_z1 = P_z1 – P_z2 = ρgW_Т. (1)

    где P_z1, P_z2 – силы направленные вниз и вверх.

    Это выражение характеризует силу, которую  принято называть архимедовой силой.

    Архимедовой силой является сила, равная весу погруженного тела (или его части): эта сила приложена в центр тяжести, направлена вверх и количественно равна весу жидкости, вытесненной погруженным телом или его частью. Мы сформулировали закон Архимеда.

    Теперь  разберемся с основными условиями  плавучести тела.

    1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется объемным водоизмещением. Центр тяжести объемного водоизмещения совпадает с центром давления: именно в центре давления приложена равнодействующая сил.

    2. Если тело погружено полностью, то объем тела W совпадает с W_Т, если нет, то W < W_Т, то есть P_z = ρgW.

    3. Тело будет плавать только в том случае, если вес тела

    G_Т = P_z = ρgW, (2)

    т. е. равен архимедовой силе.

    4. Плавание:

    1) подводное, то есть тело погружено полностью, если P = G_т, что означает (при однородности тела):

    ρgW = ρ_тgW_Т, откуда

    

 

    где ρ,ρ_Т– плотность жидкости и тела соответственно;

    W–  объемное водоизмещение;

    W_Т – объем самого погруженного тела;

    2) надводное, когда тело погружено частично; при этом глубину погружения низшей точки смоченной поверхности тела называют осадкой плавающего тела.

    Ватерлинией называют линию пересечения погруженного тела по периметру со свободной поверхностью жидкости.

    Площадью  ватерлинии называется площадь погруженной  части тела, ограниченной ватерлинией.

    Линию, которая проходит через центры тяжести  тела и давления, называют осью плавания, которая при равновесии тела вертикальна.

13. Метацентр и метацентрический радиус

 

    Способность тела восстанавливать свое первоначальное равновесное состояние после  прекращения внешнего воздействия  называют остойчивостью.

    По  характеру действия различают статистическую и динамическую остойчивость.

    Поскольку мы находимся в рамках гидростатики, то и разберемся со статистической остойчивостью.

    Если  образовавшийся после внешнего воздействия  крен необратим, то остойчивость неустойчива.

    В случае сохранения после прекращения  внешнего воздействия, равновесие восстанавливается, то остойчивость устойчива.

    Условием  статистической остойчивости является плавание.

    Если  плавание подводное, то центр тяжести  должен быть расположен ниже центра водоизмещения  на оси плавания. Тогда тело будет плавать. Если надводное, то остойчивость зависит от того, на какой угол θ повернулось тело вокруг продольной оси.

    При θ < 15^o, после прекращения внешнего воздействия равновесие тела восстанавливается; если θ ≥ 15^o, то крен необратим.

    Точку пересечения архимедовой силы с осью плавания называют метацентром: при этом проходит также через центр давления.

    Метацентрическим  радиусом называют радиус окружности, частью которой является дуга, по которой  центр давления перемещается в метацентр.

    Приняты обозначения: метацентр – M, метацентрический радиус – γ_м.

    При θ < 15^о

    

 

    где I₀– центральный момент плоскости относительно продольной оси, заключенной в ватерлинии.

    После введения понятия «метацентр» условия  остойчивости несколько изменяются: выше говорили, что для устойчивой остойчивости центр тяжести должен находиться выше центра давления на оси плавания. Теперь предоложим, что центр тяжести не должен находиться выше метацентра. В противном случае силы и будут увеличивать крен.

    Как очевидно, при крене расстояние δ  между центром тяжести и центром давления меняется в пределах δ< γ_м.

    

 

    При этом расстояние между центром тяжести  и метацентром называют метацентрической высотой, которая при условии (2) положительна. Чем больше метацентрическая высота, тем меньше вероятность крена плавающего тела. Наличие остойчивости относительно продольной оси плоскости, содержащей в себе ватерлинию, является необходимым и достаточным условием остойчивости относительно поперечной оси той же плоскости.

14. Методы определения движения жидкости

 

    Гидростатика  изучает жидкость в ее равновесном  состоянии.

    Кинематика  жидкости изучает жидкость в движении, не рассматривая сил, порождавших или  сопровождавших это движение.

    Гидродинамика также изучает движение жидкости, но в зависимости от воздействия  приложенных к жидкости сил.

    В кинематике используется сплошная модель жидкости: некоторый ее континуум. Согласно гипотезе сплошности, рассматриваемый  континуум – это жидкая частица, в которой беспрерывно движется огромное количество молекул; в ней  нет ни разрывов, ни пустот.

    Если  в предыдущих вопросах, изучая гидростатику, за модель для изучения жидкости в  равновесии взяли сплошную среду, то здесь на примере той же модели будут изучать жидкость в движении, изучая движение ее частиц.

    Для описания движения частицы, а через нее и жидкости, существуют два способа.

    1. Метод Лагранжа. Этот метод не используется при описании волновых функций. Суть метода в следующем: требуется описать движение каждой частицы.

    Начальному  моменту времени t₀ соответствуют начальные координаты x₀, y₀, z₀.

    Однако  к моменту t они уже другие. Как  видно, речь идет о движении каждой частицы. Это движение можно считать  определенным, если возможно указать  для каждой частицы координаты x, y, z в произвольной момент времени t как непрерывные функции от x₀, y₀, z₀.

    x = x(x₀, y₀, z₀, t)

    y =y (x₀, y₀, z₀, t)

    z = z(x₀, y₀, z₀, t) (1)

    Переменные x₀, y₀, z₀, t, называют переменными Лагранжа.

    2. Метод определения движения частиц по Эйлеру. Движение жидкости в этом случае происходит в некоторой неподвижной области потока жидкости, в котором находятся частицы. В частицах произвольно выбираются точки. Момент времени t как параметр является заданным в каждом времени рассматриваемой области, которая имеет координаты x, y, z.

    Рассматриваемая область, как уже известно, находится в пределах потока и неподвижна. Скорость частицы жидкости u в этой области в каждый момент времени t называется мгновенной местной скоростью.

    Полем скорости называется совокупность всех мгновенных скоростей. Изменение этого  поля описывается следующей системой:

    u_x = u_x(x,y,z,t)

    u_y = u_y(x,y,z,t)

    u_z = u_z(x,y,z,t)

    Переменные  в (2) x, y, z, t называют переменными Эйлера.

15. Основные понятия, используемые в кинематике жидкости

 

    Сутью вышеупомянутого поля скоростей  являются векторные линии, которые часто называют линиями тока.

    Линия тока – такая кривая линия, для  любой точки которой в выбранный  момент времени вектор местной скорости направлен по касательной (о нормальной составляющей скорости речь не идет, поскольку  она равна нулю).

    

 

    Формула (1) является дифференциальным уравнением линии тока в момент времени t. Следовательно, задав различные ti по полученным i, где i = 1,2, 3, …, можно построить линию тока: ею будет огибающая ломаной линии, состоящей из i.

    Линии тока, как правило, не пересекаются в силу условия ≠ 0 или ≠ ∞. Но все же, если эти условия нарушаются, то линии тока пересекаются: точку пересечения называют особой (или критической).