Шпаргалка по "Транспорту"

Правила дифференцирования.

Формулы дифференцирования. 

Простые функции 

 

Сложные функции

 
 
 

Производные тригонометрических функций. 

 

 

Производная по направлению, градиент.

 

Экстремум функций многих переменных.

 

Векторы.

 

Неопределенные интегралы.

Интегрирование по частям и тригонометрическая подстановка.

Замена  переменных в кратном  интеграле. 

Полярная.

 

Сферическая.

 

Площади, объемы и длины дуг.

Замечательные пределы.

 

Формулы Тейлора  и Маклорена.

f(x) = f(x₀) + f^/(x₀)(x-x₀) + 1/2!*f^//(x₀)(x-x₀)² + …+1/k!*f^(k)(x₀)(x-x₀)^k + …+1/n!*f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ + o(x-x₀)ⁿ

Или

 

f(x) = f(0) + f^/(0)x + 1/2!*f^//(0)x² + …1/k!*f^(k)(0)x^k + …

1/n!*f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ + o(x)ⁿ

Или

Разложение  по формуле Маклорена.

Формула Тейлора для функций  многих переменных.

 

Графики.

 

Гиперболические функции.

 

Перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки (Р) – это соединения, которые образуются из n элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения элементов. P_n = n!

Размещения  из n по m (А_n^m) – это соединения содержащие m элементов и отличающиеся друг от друга либо хотя бы одним элементов либо порядком их расположения.

Сочетания из n по m (С_n^m) – это соединения содержащие m элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не важен).

Формула Бернулли.

Это вероятность  наступления события А ровно  m раз в серии из n испытаний.

Формула Бейеса.

Характеристики  биноминального распределения.

 

 

Арифметическая прогрессия.

n член арифметической прогрессии: а_n =а₁ + d(n – 1).

Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

S_n = ((a₁ + а_n)/2)*n = ((2a₁ + (n – 1)d)/2)*n.

Свойство  арифметической прогрессии:

2a_n = а_n–1 + а_n+1, n = 2, 3, 4,…

Геометрическая  прогрессия.

n член геометрической прогрессии: b_n = b₁*q^n–1.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

S_n = b₁(1 – qⁿ)/(1 – q), |q| > 1.  S_n = nb₁, q = 1.  S = b₁/(1 – q), |q| < 1.

Свойство геометрической прогрессии: b_n² = b_n–1*b_n+1, n = 2, 3, 4,… 

Логарифмические вычисления.

1. log_a a = 1.

2. log₁ a = 0.

3. log_a M*N = log_a M + log_a N.

4. log_a M/N = log_a M – log_a N.

5. log_a bⁿ = n*log_a b.

6. log_aⁿ b = log_a b/n.

7. log_a b = 1/log_b a.

8. a^log_a ^b = b.

9. log_a b = log_с b/log_с a.

Показательные и логарифмически неравенства.

Вид: a^f(x) > a^g(x). Вид: log_a f(x) > log_a g(x).

Если  а, 0 < a < 1, то f(x) < g(x) – знак меняется. Если a > 1, 
то f(x) > g(x) – знак не меняется. 

Формулы сокращенного умножения.

1. (a + b)² = а² + 2ab + b²

2. (a – b)² = а² – 2ab + b²

3. а² – b² = (a – b)(a + b)

4. (a + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³ = а³ + b³ + 3ab(a + b)

5. (a – b)³ = а³ – 3a²b + 3ab² – b³ = а³ – b³ – 3ab(a – b)

6. а³ + b³ = (a + b)(a² – аb + b²)

7. а³ – b³ = (a – b)(a² + аb + b²)

Тригонометрические  преобразования.

sin² x +cos² x = 1.

tg*ctg = 1.

1+tg² x = 1/cos² x.

1+ctg² x = 1/sin² x.

Формулы двойного угла.

sin 2x = 2sin x cos x.

cos 2x = cos² x – sin² x = 2cos² x – 1 = 1 – 2sin² x.

tg 2x = 2tg x/(1 – tg² x).

Формулы сложения.

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y.

sin (x –  y) = sin x cos y – cos x sin y.

cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y.

cos (x –  y) = cos x cos y + sin x sin y.

tg (x + y) = (tg x + tg y)/(1 – tg x tg y).

tg (x – y) = (tg x – tg y)/(1 + tg x tg y).

Формулы понижения степени.

cos² x = (1 + cos 2x)/2.

sin² x = (1 – cos 2x)/2.

tg² x = (1 – cos 2x)/(1 + cos 2x).

Формулы преобразования суммы  в произведение.

sin x + sin y = 2sin ((x + y)/2) cos ((x – y)/2).

sin x –  sin y = 2sin ((x – y)/2) cos ((x + y)/2).

cos x + cos y = 2cos ((x + y)/2) cos ((x – y)/2).

cos x –  cos y = – 2sin ((x + y)/2) sin ((x – y)/2).

Формулы преобразования произведения в сумму.

sin x cos y = 0,5(sin (x – y) + sin (x + y)).

sin x sin y = 0,5(cos (x – y) – cos (x + y)).

cos x cos y = 0,5(cos (x – y) + cos (x + y)).

Выражение sin и cos через tg половинного угла.

sin x = (2tg (x/2))/(1 + tg² (x/2))

cos x = (1 – tg² (x/2))/(1 + tg² (x/2))

Соотношения обратных тригонометрических функций.

 

 

Формулы приведения.

Значение  углов sin, cos, tg и ctg.

 

Тригонометрические уравнения.

1. sin x = a, x = (– 1)ⁿ arcsin a + Пk.

2. cos x = a, x = ± arcos a + 2Пk.

3. tg x = a, x = arctg a + Пk.

Частные случаи.

Преобразование  отрицательных обратных тригонометрических функций.

arcsin (–  x) = – arcsin x, (|x| ≤ 1).

arcos (–  x) = П – arcos x, (|x| ≤ 1).

arctg (– x) = – arctg x. 

Графики функций.

Уравнение касательной и  нормали к графику.

Вид: y = f(x₀) + f^/(x₀) * (x – x₀).

Вид: y = f(x₀) – 1/(f^/(x₀)) * (x – x₀).