Поступательное движение твердого тела. Материальная точка, скорость и ускорение материальной точки

Момент импульса симметричного тела, вращающегося вокруг оси  симметрии, равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость. Вражение аналогично определению импульса тела в случае его поступательного движения точки p = m·v. Следовательно, момент импульса твердого тела - есть мера его вращательного движения.

15.   Абсолютно твердое тело. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Абсолютно твердое телом наз. тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Частный случай 2го закона Ньютона. F=ma a=Er F=mEr момент силы rF = mr2E момент инерции Mi=IE при постоянном моменте инерции угловой ускорение вращающегося тела прямо-порционально результирующему моменту всех внешних сил приложенных к этому телу. E==dw/dt Mi=Idw/dt  iMi=d(IW)/dt M=Dl/dt первая производная от момента импульса повремени твердого тела равна результирующему моменты всех внешних сил приложенных к этому телу

16.   Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если суммарный момент внешних сил, действующих на систему равен нулю. в изолированной системе сумма моментов импульса всех тел есть величина постоянная

J1ω1+J2ω2+…+Jnωn=const где Ji и ωi моменты инерции и угловые скорости тел, составляющих изолированную систему. Из основного уравнения динамики вращательного движения при М=0 получаем d/dt(Jω)=0Jω=const В изолированной системе сумма моментов импульса всех тел есть величина постоянная.

17.   Гармонические колебания, уравнение гармонических колебаний.

Колебания, при которых угловое смещение изменяется со временем по закону синуса или косинуса. φ =φ0sin(w0t+) Величина (w0t+) стоящая под знаком синуса или косинуса наз. фазой колебания Амплитудой (А) наз. максимальное смещение от положения равновесия. Частотой колебаний v наз. число колебаний за единицу времени. Циклической частотой колебания w наз. число колебаний за 2п единиц времени. Периодом колебаний Т наз. время одного колебания.

18.   Гармонические колебания, дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний dS/dt=Awcos(wt+fi0); d^2S/dt^2=-Aw^2sin(wt+fi0); d^2/dt^2=-w^2S; d^2S/dt^2+w^2S=0

19.   Гармонические колебания. Математический маятник.

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Строго говоря, существуют только физические маятники. Но если маятник представляет собой груз, подвешенный на нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, т.е. он может рассматриваться как материальная точка, то такой маятник может быть рассмотрен как математический.

Для вывода формулы периода математического маятника заставим его описывать конус. Теперь, если мы будем наблюдать за маятником сбоку, то увидим, что маятник будет колебаться влево вправо. Но, так как все-таки он движется по окружности, то период будет равен: T = 2пr/v (1). При малых углах, возвращающая сила (P1) направлена по радиусу, т.е. равна силе P1=mv2/r (2). Из подобия треугольников OBC и DBE следует что BE/BD = CB/OB т.к. OB = l и BD = P = mg, то отсюда P1 = mgr/l (3) приравняв части получившихся формул 2 и 3: mv2/r = mgr/l, получим что v = rvg/l (4) теперь подставим значение скорости из формулы 4 в формулу 1 получим T = 2пvl/g Т.е. период математического маятника зависит только от длины подвеса (на одной географической широте).
Значит, зная период колебаний маятника и длину подвеса мы можем определить значение ускорения свободного падения. Но следует заметить, что такой способ измерения ускорения свободного падения не является достаточно точным.

20.               Гармонические колебания. Физический маятник. Физический маятник – это твердое тело, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр тяжести тела и называемой осью качания маятника. Центр тяжести маятника совпадает с его центром инерции. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид: dx/dt+02x=0, а его решение x=A0cos (t+£), где A0-амплитуда колебаний угла x, а =(mgd/Y) и Т=2П=(Y/mgd) – циклическая частота и период малых колеб. физ. маятника.

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания в гравитационном поле вокруг горизонтальной оси подвеса, расположенной выше его центра тяжести.
В соответствии с основным законом динамики вращения M=Je в общем случае для физического маятника момент силы M=Fl, а касательное ускорение равно ak=εl, F=(J/1)ε=-(J/1^2)(w^2)x

Для гармонических колебаний F=-mg/1*x, но из основного закона динамики вращательного движения F=-J/12w2x. Приравнивая выражения для силы, получаем частоту и период колебаний физического маятника: w=-sqrt(mgl/J); T=2Pi*sqrt(J/mgl), .

21.   Затухающие  колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Затухающими называются колебания, энергия которых убывает с течением времени. Затухание свободных колебаний механической системы обусловлено главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебание линейной системы имеет вид: d2x/dt2+2dx/dt+02x=0. Здесь x- изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы, =const>0 – коэффициент затухания, а 0- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т.е. в отсутствие потерь энергии(при =0). Решением этого уравнения затухающих колебаний имеет вид: x=A0e-tcos(t+£). Здесь =02-2), а постоянные величины А0 и £ зависят от начальных условий, т.е. от значений x и dx/dt в начальный момент времени (t=0). Затухающие колебания не являются периодическими. Например, максимальное значение колеблющейся величины x, достигаемое в некоторый момент времени t1, в последующем (при t>t1) никогда не повторяется. Однако при затухающих колебаниях величина x обращается в 0, изменяясь в одну и ту же сторону, а так же достигает максимальное и минимальное значения через равные промежутки времени: T=2П/=2п/02-2). Поэтому величины T и  условно называют периодом (условным периодом) и циклической частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний. Величина А=А0е-t называется амплитудой затухающих колебаний, соответственно А0- начальной амплитудой. Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

22.   Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс

внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возму­щающей, силой. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний простейшей линей­ной системы -пружинного маятника -происходя­щих вдоль оси ОХ под влиянием переменной внешней силы F(t): d2x/dt2+2dx/dt+ +02x=m-1Fcos t. После приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях: х=х1(t)+x2(t). Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника: x1(t)=Аoe-tcos(t + £), где =(o2+2). Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы F. Через некоторое время т после начала колебаний свободные колебания маятника практически пре­кращаются. Маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы. Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных гармо­нических колебаний маятника достигает максимума при циклической частоте Колебаний р=(o2-22), где 0-циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника. Частота р называется резонансной. Максимальная амплитуда Aмакс=А(р)= =F0/2m0=пF0/m02, где -логарифмический декремент затухания. Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению p назы­вается явлением механического резонанса. (Совпадение периода колебаний системы с периодом внешней силы, действующей на эту систему).

Вопросы по молекулярной физике.

23.   Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.  

Идеальным наз. газ у которого молекулы представляют из себя материальные точки и силы взаимодействия между ними возникают только при непосредственном взаимодействии (соударении) молекул. Давление р, температура Т и объем V , занимаемый определенной массой газа называются параметрами состояния. Каждый из параметров является функций двух других.

Уравнение, связывающее р, T и V для данной массы газа называется уравнением состояния. p = f (T,V)

Состояние газа однозначно определяется двумя любыми параметрами.
Основное уравнение кинетической теории газов p = n0kT n0 = N ⁄ V - концентрация, представим в виде: pV = NkT

Вместо неизмеряемого числа молекул газа N введем измеряемую величину - массу М газа.

Грамм- молекула (моль) вещества- такого количества вещества, масса которого в граммах равна молекулярной массе ( μ ), выраженной в частях массы молекулы углерода mc ⁄ 12.

Моль любого вещества содержит одинаковое количество молекул (по определению) - число Авогадро NA = 6,02 • 1023. Число молей вещества в данной массе равно:

N/NA= M/μN= M/μ*NA  - число молекул в данной массе газа.
Тогда основное кинетическое уравнение представим в форме

pV = M/μ NAkT

Произведение двух констант NA и k называется универсальной газовой постоянной.

R = NAk = 8,31 [Дж/к*моль]  8,31 • 103 [Дж/к*моль]

Получим уравнение состояния идеального газа в форме Менделеева - Клайперона.

pV =M/μ RT

24.   Давление идеального газа на основе молекулярно – кинетической теории.

Согласно молекулярно-кинетической теории все вещества состоят из мельчайших частиц - молекул. Молекулы разделены промежутками, находятся в непрерывном движении и взаимодействуют между собой. Молекула - наименьшая частица вещества, обладающая его химическими свойствами. Молекулы состоят из более простых частиц - атомов химически элементов. Молекулы различных веществ имеют различный атомный состав. Качественное объяснение давления газа заключается в том, что молекулы идеального газа при столкновениях со стенками сосуда взаимодействуют с ними по законам механики как упругие тела. При столкновении молекулы со стенкой сосуда проекция  вектора скорости на ось ОХ, перпендикулярную стенке, изменяет свой знак на противоположный, но остается постоянной по модулю. Поэтому в результате столкновения молекулы со стенкой проекция ее импульса на ось ОХ изменяется.

25.   Молекулярно – кинетическое толкование абсолютной температуры.

C точки зрения молекулярно-кинетической теории молекулы нагретого тела находятся в хаотическом движении. Причем, чем выше температура T, тем больше средняя кинетическая энергия <εk>хаотического движения молекул (T~<εk>).

Связь между средней кинетической энергией поступательного движения молекулы и абсолютной температурой дается формулой <εk>=3/2kT где k - постоянная Больцмана, k=1.38*10-23 (Дж/К). Следовательно, абсолютная температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Формула позволяет выяснить смысл абсолютного нуля: T=0, если < εk > =0. Т. е. абсолютный нуль - это температура, при которой прекращается всякое хаотическое движение молекул.

26.   Число степени свободы молекул. Закон равномерного распространения энергии по степеням свободы молекул.

Числом степеней свободы механической системы называется число независимых координат, полностью определяющих положение системы в пространстве.

показаны одноатомная, двухатомная и трехатомная молекулы. Одноатомную молекулу можно представить как материальную точку. Для определения положения точки в пространстве нужно три координаты, т. е. три степени свободы поступательного движения (i = 3). Молекулу двухатомного газа в первом приближении можно рассматривать как совокупность двух жестко связанных материальных точек. Эта молекула кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет две степени свободы вращательного движения (i = 5). Вращение вокруг оси, проходящей через оба атома, не учитывается.

Трехатомная молекула с жесткими связями имеет 6 степеней свободы: 3 - поступательного и 3 - вращательного движения (i = 6).

В классической физике принят постулат о равномерном распределении энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы любого вида движения приходится энергия, равная kT/2. Таким образом, средняя энергия одной молекулы равна <ε1>=i/2kT В классической физике принят постулат о равномерном распределении энергии по степеням свободы. На каждую степень свободы любого вида движения приходится энергия, равная kT/2. Таким образом, средняя энергия одной молекулы равна <ε1>=i/2kT

закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия, но и потенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы <ε>=i/2kT, где i - сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы: i=iпост +iвращ+2iколеб.

В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.

Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю, то внутренняя энергия, отнесенная к одному молю газа, равна сумме кинетических энергий NA молекул:Um=(i/2)kNT=(i/2)RT. Внутренняя энергия для произвольной массы m газа Um=(mi/M2)RT=v(1/2)RT, где k - постоянная Больцмана, n -количество вещества.

Функция распределения Максвела – Больцмона характеризует распределение молекул по полным энергиям

27.   Первое начало термодинамики.

Первое начало термодинамики представляет собой обобщение опытных фактов и является по сути дела законом сохранения энергии, примененным к тепловым явлениям. Первое начало термодинамики имеет несколько формулировок. Кунавин: «При адиабатическом расширении газа, работа газа совершается за счет его внутренней энергии, следовательно температура газа должна понижаться. То есть deltaT=T2-T1, <0»Одна из формулировок гласит: количество теплоты, переданное системе, идет на изменение внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами, т. е. Q=∆U+A В этом уравнении изменение внутренней энергии, Количество теплоты может быть положительным (Q>0), если тело получает теплоту, и отрицательным (Q>0), если тело отдает теплоту.

В дифференциальной форме это запишется следующим образом δQ=dU+δA