Поступательное движение твердого тела. Материальная точка, скорость и ускорение материальной точки

1.       Поступательное движение твердого тела. Материальная точка, скорость и ускорение материальной точки.

Поступательным наз. такой вид движения при котором любая прямая соединяющая 2 точки твердого, тела в процессе движения перемещается параллельна самой себе. Мат.точка. – тело размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Скорость- векторная величина V, равная первой производной по времени от радиуса вектора r движущейся точки V=dr/dt и направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и численно равна первой производной  от длины пути по времени: V=ds/dt, V=x2+y2+z2 – проекции. Под скоростью понимают путь, проходимый частицей за единицу времени. Ускорением точки называется векторная величина, равная первой производной по времени от скорости V рассматриваемой точки. W= lim∆t0 ∆v/∆t=dv/dt=v

2.       Ускорение материальной точки при криволинейном движении. Тангенсальная и нормальная составляющие ускорения.

Под ускорением понимают физическую величину, численно равную изменению скорости за единицу времени. Если за промежуток времени D t скорость изменилась на D V = V2-V1 , то среднее ускорение за этот промежуток времени равно ä-p =∆V/∆t Если промежуток времени Dt взять настолько малым, что практически считать его можно мгновением (Dt=0), то ускорение за этот промежуток времени можно считать мгновенным.  мгновенное ускорение есть тот предел к которому стремится отношение ∆V/∆t при бесконечно малом промежутке времени (Dt0) направления векторов скоростей V1 и V2 не совпадают, и необходимо  каждый раз выполнять векторное вычитание ∆V=V2-V1.

за время Dt материальная точка переместится из положения А, где она имела скорость V1, в положение В, где скорость стала V2 Тогда ускорение равно acp =V2-V1/∆t=∆V/∆t Тангенциальное (касательное) ускорение характеризует изменение скорости по модулю в единицу времени (∆V2=V2-AC, V2 и AC, - векторы, имеющие одинаковое направление, но разные модули); - направлено по касательной к кривой в данной точке (отсюда и название) an┴aτ; - рассчитывается: для равнопеременного движения ax=∆V/∆t=V2-V1/∆t, в общем случае ax=V’=x’’, где V ' – первая производная скорости по времени или вторая производная координаты по времени. Нормальное ускорение:

- характеризует изменение скорости по направлению за единицу времени (∆V1=AC-V1, но [AC]=[V1], различны только их направления); - направлено перпендикулярно скорости (нормально к скорости – отсюда и название ускорения), то есть по радиусу к центру кривой; - рассчитывается по формулам an=V2/R=w2R, где V – линейная скорость, w-угловая скорость, R – радиус кривизны траектории в данной точке.

3.       Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение,  и их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося тела.

Вращательным наз. такой вид движения при котором каждая т. Твердого тела в процессе своего движения описывает окружность.У.с –наз.величина равная первой производной от угла поворота от времени W=dφ/dt физический смысл у.с. изменение угла поворота за единицу времени у.с. у всех т. Тела будет одинакова [1рад/с] Угловое ускорение(ε) –физическая величина числено равная изменению угловой скорости за единицу времени ε=dw/dt, W=dφ/dt ε=dw/dt=d2φ/dt связь. ε V=Wr at=dv/dt=d/dt(Wr)=r*dw/dt(ε) at=[ε*r] an = V2/r =W2*r2/r an=W2r

4.       Инерциальные системы отсчета. Механический принцип относительности Галилея.

cистема отсчета, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, на которую не действуют никакие силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Любая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, также является инерциальной системой отсчета. Все инерциальные системы отсчета равноправны, т. е. во всех таких системах законы физики одинаковы.

1.Все инертные системы отсчета обладают одинаковыми качествами. Не какая инерциальная система отсчета не обладает преимуществами перед другими инерциальными системами отсчета. 2. все законы механики во всех инерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Не какими физическими опытами проводимыми внутри инерциальной системы отсчета не возможно установить находится ли эта система в состоянии покоя или в состоянии прямолинейного равномерного движения. Координаты и время в двух произвольных инерциальных системах отсчета связаны преобразованием Галилея: r´=r-(r0+Vсt) (Vс=const), t´=t, где r и r´ -радиус-векторы движущейся точки в первой и второй системах отсчета, Ve – скорость равномерного и прямолинейного движения второй системы по отношению к первой, а r0 –радиус-вектор, проведенный из начала координат первой системы в начало координат второй системы в момент времени t=0. Второе условие t´=t выражает абсолютный характер времени в классической механике, т.е. одинаковость его течения во всех инерциальных с.от.. Скорости и ускорения материальной точки в обеих системах отсчета связаны соотношениями: v´=dr´/dt´=dt/dt-vс=v-vc, a´=dv´/dt´= =dv/dt=a. Ускорение какой-либо мат.т. во всех инерциальных системах одинаково. Силы взаимодействия мат.т. зависят только от их взаимного расположения и от скорости движения друг относительно друга, а также от времени. Из формул преобразования Галилея следует, что все эти величины во всех инерциальных системах отсчета одинаковы: r´2-r´1=r2-r1 и V´2-V´1=V2-V1. Поэтому одинаковы и силы, действующие на движущуюся мат.т.: F´=F  F´/a´= F/a=m, т.е. уравнения движения мат.т. и систем этих точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета – инвариантны по отношению к преобразованию Галилея. Иными словами все инерциальные системы в механике равноправны.

5.       Масса, импульс. Сила. Законы Ньютона.

Массой тела называется количественная характеристика инертности тела. Масса - скал. величина, обл. св-ми:

-не зависит от скорости движ. тела

-масса – величина аддитивная, т.е. масса системы рана сумме масс мат.  т., вход в состав этой системы

-при любых воздействиях выполняется закон сохранения массы: суммарная масса взаимодействующих тел до взаимодействия и после равны между собой.

-центр масс системы (ц. инерции)-  точка, в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела. Это точка С, радиус-вектор rc которой равен rc=m-1miri .  Центр масс системы движется как мат.т., в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная  главному вектору внешних сил, действующих на всю систему.

Импульсом, или количеством движения мат.т. называется векторная величина p, равная произведению массы m мат. точки на её скорость. Импульс системы равен p=mVc. Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на рассматриваемое тело со стороны других тел или полем (особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действия одних частиц на другие). Действие силы проявляется в том, что телу сообщается ускорение и тело деформирует. При рассмотрении сил различают внутренние и внешние силы. Внешними называются силы, действующие на данное тело или на точку, входящую в данную систему отсчета со стороны других тел или со стороны точек, не входящих в данную систему. Внутренними называются силы, с которыми точки системы действуют друг на друга. Если на какую то точку действует несколько сил, то векторная сумма всех сил равна равнодействующей всех сил. 1. в инерциональной системе расчета всякое тело находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока взаимодействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.(скорость любого тела остается постоянной (в частности =0)пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет ее изменение) инерциональная система отсчета либо нах. В состоянии покоя либо прямолинейного равномерного движения. 2скрость изменения импульса тела равна действующей на тело силе F: dp/dt=F – ур-е движения тела. Основным законом динамики материальной точки является второй закон Ньютона, который гласит: скорость изменения импульса p материальной точки равна действующей на нее силе F, т.е. F=dp/dt=d/dt(m;V). Векторная величина Fdt называется элементарным импульсом силы F за малое время dt её действия. Поскольку dm/dt=0, поэтому a=F/m. Поэтому второй закон Ньютона можно сформулировать так: ускорение мат. т. совпадает по направлению с действующей на нее силой и равно отношению этой силы к массе мат. т. Третий закон Ньютона: две точки действуют друг на друга с силами равными по величине и противоположными по направлению. Он выполняется при контактных взаимодействиях и при взаимодействии покоящихся тел, находящихся на расстоянии. Так как p=mVc, где m-масса с-мы, Vc- скорость центра инерции, то закон движ. центра инерции мех. системы имеет вид d/dt (m; Vc)=Fвнеш или mac= Fвнеш. (основное урав. динамики поступ. движ. твердого тела).

6.       Закон сохранения импульса.

Замкнутой наз. система на которую не действуют внешние силы или векторная сумма всех внешних сил =0. импульс p замкнутой системы не изменяется с течением времени, т.е. dp/dt=0 и p=const. В отличие от законов Ньютона, з.сохр. импульса справедлив не только в рамках классической механики. Он принадлежит к числу самых основных физических законов, т.к. связан с определенным свойством симметрии пространства – его однородностью. Однородность пространства проявляется в том, что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы отсчета как целого. Согласно современным представлениям импульсом могут обладать не только частицы и тела, но также и поля. Если система не замкнутая, но действующие на нее внешние силы таковы, что их равнодействующая равна 0, то, согласно законам Ньютона, импульс системы не изменяется с течением времени (p=const).

7.       Центр масс(центр инерции) механический системы и закон его движения.

Центром масс наз. материальная точка которую можно получить из математических выводов. rc =Σimiri/Σimi xc = Σmixi/Σmi yc =Σmiyi/Σmi zc = Σmizi/zmi 1.Ц.м.твердого тела при движении при движении ведет себя таки образом как будто бы равнодействующая всех внешних сил приложены к этой точки. 2.ц.м ведет себя таким образом как будто вся масса твердого тела сосредоточена в этой точке. центр масс системы (ц. инерции)-  точка, в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела. Это точка С, радиус-вектор rc которой равен rc=m-1miri .  Центр масс системы движется как мат.т., в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная  главному вектору внешних сил, действующих на всю систему.

8.       Работа переменной силы

Пусть тело движется прямолинейно с равномерной силой под углом £ к направлению перемещения и проходит расстояние S/ Работой силы F называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектора перемещения. A=F·s·cos £. А=0, если F=0, S=0, £=90º. Если сила непостоянная (изменяется), то для нахождения работы следует разбивать траекторию на отдельные участки. Разбиение можно производить до тех пор, пока движение не станет прямолинейным, а сила постоянной │dr│=ds.. Работа, совершенная силой на данном участке определяется по представленной формуле dA=F· dS· cos £= = │F│·│dr│· cos £=(F;dr)=F·dS    A=F·S· cos £=F·S . Таким  образом работа переменной силы на участке траектории равна сумме  элементарных работ на отдельных малых участках пути A=SdA=SF·dS= =S(F·dr).

9.       Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Консервативные системы. Закон сохранения механический энергии.

Энергия это физическая величина, характеризующая способность систем тел совершать работу. Механическая энергия делится на кинетическую и потенциальную. E=Eк+Eп. Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и измеряется той работой, которую может совершить это тело при его торможении до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы m точки на квадрат скорости ее движения: Ек=½mv2 . – при поступательном движении. Потенциальной энергией называют часть энергии механической системы, зависящую от конфигурации системы, т.е от взаимного расположения частиц системы и их положения во внешнем силовом поле. Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из произвольного положения 1 в другое произвольное положение 2  измеряется той работой А12, которую совершают при этом все потенциальные силы (внутр. и внеш.), действующие на систему, Еп(1)-Eп(2)=A12, где Еп(1) и Eп(2)- значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном положениях. F=-gradEn единого мат. выражения для пот. энергии не сущ. Оно зависит от поля в котором находиться тело. Для одного и того же тела он может иметь разные значения в зависимости от чего нач. отсчет энергии. В отличии от кинетической может быть отрицательной величиной. Консервативные силы – силы, работа которых по перемещению тел из 1 точки в другую не зависит от траектории пути. Такие силы существуют в потенциальных полях. Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы, заключающийся в том, что энергия замкнутой системы сохраняется во времени. Энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую. В классической механике закон проявляется в сохранении механической энергии (суммы потенциальной и кинетической энергий). Частный случай — Закон сохранения механической энергии — механическая энергия консервативной механической системы сохраняется во времени. Проще говоря, при отсутствии сил типа трения механическая энергия не возникает из ничего и не может никуда исчезнуть. В замкнутой системе полная механическая энергия этой системы остается величиной постоянной Wполн=Wk+Wn Wk+Wn = const

Закон сохранения энергии — в замкнутой системе тел её механическая энергия остается постоянной.

10.   Потенциальная энергия материальной точки и ее связь с силой, действующей на эту точку.

Fdh=-dП; F=-dП/dh

11.   Кинетическая энергия вращающегося тела.

Моментом инерции мат.т. наз.физ.величина численно равная произведению массы мат.т. на квадрат расстояния этой точки до оси вращения.Wki =miV2i/2  Vi -Wri Wi=miw2r2i/2 =w2/2*miri2 Ii=mir2i момент инерции твердого тела равен сумме всех мат.т I=imir2i моментом инерции твердого тела наз. физ.величина равная сумме произведений мат.т. на квадраты расстояний от этих точек до оси. Wi-IiW2/2  Wk=IW2/2

Wk =iWki момент инерции при вращательном движении явл. аналогом массы при поступательном движении. I=mR2/2

12.   Момент инерции тела относительно не подвижной оси вращения.

Теорема Штейнера: Моментом инерции твердого тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси проходящей через центр масс и произведению массы этого тела на квадрат расстояния между осями. I=I0+md2 .Величина I, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояния от некоторой оси, наз. моментом инерции тела относительно данной оси. I=miRi2 Суммирование производиться по всем элементарным массам на которые можно разбить тело.

13.   Момент силы относительно неподвижной точки на оси вращения. Момент силы относительно неподвижной оси вращения.

Моментом силы наз. физ. величина  численно равная векторному произведению радиуса вектора силы на вектор силы M =[r*F] r- радиус вектор силы. Линия в доль которой действуют силы наз. линией действия силы. M=rRsin r*sin=l  M=F*l l- плече силы, перпендикуляр кратчайшее расстояние до линии действия силы. Моментом силы относительно оси Z наз. проекция момента силы на выбранное направление Z  Mz=[r*F]z

14.   Момент импульса материальной точки. Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения.

Моментом импульса т. наз. величина физически равная векторному произведению радиуса вектора т. на ее импульс L=[r*p] p=mV L=[r*mV]  L=Iw lw –напр. в одну сторону. Моментом импульса тела называется величина, равная векторной сумме моментов импульса его частей:  L = Li = [ri·pi] = [ri·mivi].  Произведя суммирование по всему телу и исходя из определения момента инерции, получим выражение для проекции момента импульса тела на ось Z:  Lz = LziLi·cos(i)Ri·mi·wz = I·wz. При суммировании мы учли, что значения проекций векторов моментов импульса каждой части тела на ось Z имеют одинаковые знаки, т.к. для них углы между вектором угловой скорости и моментами импульсов всегда острые. выражение не зависит от выбора точки О на оси вращения. В случае несимметричного тела вектор L направлен под произвольным углом к оси вращения и прецессирует вокруг нее. В случае симметричного тела и нахождения точки О на оси симметрии направление момента импульса тела совпадает с направлением его угловой скорости, т.к. всегда найдется пара симметричных точек, для которых составляющие вектора L, в направлении перпендикулярном оси вращения, скомпенсированы. Следовательно, для симметричного тела, вращающегося вокруг оси симметрии справедливо векторное равенство: L = I·w.     (7.3)