Основы теории надежности

Закон случайных величин применим к задачам надежных изделий и  их технической жизни.                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0, t₁) - первый период повышенных интенсивных отказов. Это связано с выявлением дефектов при изготовлении.

(t₁, t₂) – второй период, характеризующий постоянные значения интенсивных отказов. Это участок нормальной эксплуатации изделия.

(t₂, ¥) Третий период, характеризующий повышенную интенсивность отказов. Здесь начинается процесс старения.

Второй период характеризует  эксплуатацию и распределение.

 Первый и третий  период характеризует распределение  Вейбула.

При m < 1 распределение Вейбула можно использовать для оценки надежности изделий при наработке стажа по прошествии времени.

 

Методы расчета  надежности.

 

Для расчета надежности радиоэлектронной аппаратуры в зависимости  от ее надежности (не восстанавливаемость  и восстанавливаемость),  все зависит от режима обслуживания, от условий хранения, от структуры использования различных методов расчета надежности.

Различные методы для расчета надежности системы с учетом восстановления и без учета восстановления.

 

Для расчета надежности без учета восстановления используется два метода: графовероятностный и логико-вероятностный. Прежде всего, необходимо определить критерии отказа сбоя систем.

Критерии отказа систем являются нарушением способности этой системы выполнять свое назначение, при этом могут не соответствовать выходные параметры и будут применены какие от действия по известным нормам.

При создании математической модели структуры технической системы  выявятся ее критерии, при которых определяется состояние элементов составляющих данную систему. В этом случае каждый из элементов может находиться в  двух состояниях работоспособном и неработоспособном. Второе состояние выражает отказ системы. Состояние системы определяется совокупностью состояния ее элементов. Критерии отказа позволяют все множество элементов разделить на два подмножества

1. Характеризует состояние работоспособности системы.
2. Состояние отказа.

Для сложной структуры анализ надежности системы сводится к представлению  системы в виде некоторого элемента.

Графовероятностный метод. Основывается на представлении схемы расчета надежности в виде связного двухполюсного графа, имеющего два полюса: входной и выходной. Физически это можно представить как определение возможности прохождение некоторого сигнала от входа некоторой системы характерной сетевой структуры, к выходу.

Схемы распределения  надежности различают по критерию работоспособности  или отказа. Всевозможные структуры  систем можно свести к последовательным и комбинированным.

Последовательные  системы называются системы, которые работоспособны тогда, когда работоспособны все ее элементы. Если говорить о состоянии отказа, то последовательные системы отказывают, если отказывает хотя бы один ее элемент.

Обозначим: n – число элементов в последовательной системе, а событие состояний в работоспособной 8 – го элемента через х₈, а событие состояний b работоспособность всей системы через s, тогда схема расчета надежности  по критерию работоспособности и отказа и по дереву работоспособности и отказа будут иметь следующий вид: в дереве работоспособности базисное событие, определяемое работоспособность элементов х₈, связано между собой логическими звеньями, а в дереве отказов базисное событие, определяемое, отказами элементов х₈ связано между собой логическими звеньями или (v) ® схема расчета по критерию работоспособности изображена ниже:

 

     

Схема распределения  по критерию отказа.     Схема расчета по дереву работоспособности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема расчета по дереву отказа.

 

На рисунках соединены  исходный узел А узлом Е расчеты, на схеме расчет надежности существует тогда, когда работоспособны все ее элементы. Из рисунка б) видно, что система отказывает, если хотя бы 1 элемент, поэтому начальные и конечные сигналы всех веток должны совпадать с начальным узлом системы А и конечным Е. Все события на рисунках представляют схему со включенными элементами.

 

Надежность последовательной системной  оценки определяется формулой:

Где P_i(t) коэффициент надежности. I – его элементная система.

 

Параллельные системы.

 

Называется такая система, которая  работоспособна, если работоспособен хотя бы 1 из ее элементов, т.е. система  отказывает тогда, когда отказывают все элементы. События состоят в том, что восьмой элемент работоспособен обозначим его как х₈ где х₈ = 1, 2…, n, n – число в системе. События состояния отказа s, тогда схема работоспособна и расчет по критерию работоспособности и отказа будет иметь следующий вид:

 

Схема расчета по критерию работоспособности.

 

Схема расчета по критерию отказа.

 

 

 

Схема расчета по дереву работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

Отказ.

где P_i(t) –надежность i- того элемента.

Вторая формула пригодна для равно наделенных элементов.

 

 

 

Надежность системы с последовательно параллельной структурой.

 

Для последовательно параллельной структуры эффективным является метод свертки. Он основан на поэтапном  преобразовании этой структуры в  последовательные структуры.

 

 

 

 

 

 

; ;

 

 

Метод свертки.

 

Схема мажоритарного регулирования

 

 

 

 

P₃₁ = 1 –(1 – P₂)(1 – P₂₂) ==>

P = (P₁₁ · P₃₁ · P₁₀)

На выходе получается тот  же сигнал большинство которых Р₀. Если Р_Р0 =1 то: получим две схемы.

 

 

 

 

 

 

 

Не все схемы надежности можно представить в виде комбинации последовательной и параллельной. Поэтому для расчета схем используют приближенные методы.

Метод минимальных путей и сечений.

 

Минимальным путем называется такой  j - минимальный путь, который состоит из min совокупности m подсистем, необходимый для безотказной работы системы независимо от состояния остальных подсистем.

В структуре системы есть несколько  min путей. Характерным признаком min пути является то, что отказ хотя бы одной подсистемы (если работоспособна только подсистема одного пути) влечет за собой отказ системы.

 

 

 

Минимальное сечение это такое  сечение k – min сечения, которое состоит из минимальной совокупности подсистемы N_k, чей одновременный отказ влечет за собой отказ системы независимо от состояния остальных подсистем.

Характерный сбой min сечения является то, что восстановлен хотя бы первая подсистема в min сечении (если остальные подсистемы работают) влечет за собой восстановление подсистемы.

Min сечения: 513, 524, 5164.

По методу min путей и сечений можно получить только оценки P_H и Р_В т.е. вероятности безотказной работы системы соответствует снизу и сверху

Р_Н £ Р_С £ Р_В.

Вероятность Р_Н выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последней включенной группы подсистем соответственно min сечениями системы.

Каждая группа состоит  параллельно  включенных подсистем соответственно min сечения. Вероятность выражений, как вероятность безотказной работы вспомогательных систем, составленной из последней включенной  группы подсистем соответственно, если min путям системы.

Каждая группа состоит из последовательных включенных подсистем соответственного минимального пути.

 

Эквивалентная схема min пути

по критерию работоспособности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Минимальный путь определяет Р_В, минимального сечения – Р_Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р_Н = [1 – (1 – P)²] [1 – (1 – P)³]² » 0,97814 Если Р = 0,9.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы исключения элементов.

 

 

 

 

 

Сущность этого метода заключается  в том, из структурной схемы выбрасывается 1 или несколько элементов и затем производится расчет показателя надежности для 2-х крайних случаев. В одном случае предполагается, что выбрасываемые элементы надежны (Р = 1), во 2 – м не надежны (Р = 0).

В 1 – м случае 2 – е точки  схемы, к которым подключены элементы, которые соединяются постоянной связью, во втором связь м/д этими  точками отсутствует.

Для этих двух вырожденных структур определить вероятность безотказной  работы соответствует P_max и P_min, затем определяем взвешенность значений вероятности безотказной работы исключаемых элементов: P_i – вероятность безотказной работы i – го элемента. n – число исключенных элементов.

Окончательная вероятность безотказной  работы структурной схемы определяется по следующим формулам:

(надежность системы) Р_С = Р_min + (P_max – P_min) P_ср.

Если Р_ср = 1(надежный элемент), то Р_с = Р_max

Если Р_ср = 0(не надежный элемент), то Р_с = Р_mix

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логико-вероятностный метод.

Он состоит из представления  состояния каждого компонента изделия  в виде булевой переменной. Одни компоненты работоспособны, а другие в состоянии отказа.

 

 

Для работоспособного изделия в  целом строится таблица истинности, которая состоит из 2ⁿ строк, где n – число компонентов изделия. Из таблицы истинности записывается булевская функция работоспособности в СДНФ.

Следующим этапом является переход (запись булевской функции как вероятностную), т.е. из СДНФ можно перейти к вероятностной. .

Существуют несколько форм преобразования форм функции из СДНФ  либо ОДНФ (нормальная ортогональная дизъюнктивная форма), либо в ДНФ. Из этих форм можно сразу переходить к вероятностям.

ОДНФ является такой формой ДНФ, члены которой попарно ортогональны.  Каждую пару элементарной конъюнкции z_i и z_j всегда входят некоторые х_а, причем в одну из конечных инверсий, а в другую без инверсий.

ОДНФ: u(х) = х₁х₂ v х₁х₂х₃ v х₁х₂х₄  не ОДНФ: u(х) = х₁х₂ v х₁х₃х₄ Повторной формой булевой функции называется такое ее представление, когда элементарная конъюнкция булевской функции не содержит одноименных переменных.

Функция u(х) = (х₁х₂vх₃)х₄vх₅ задана дизъюнктивной бесповторной формой. Используя правило Де Моргана можно получить конъюнктивной бесповоротной формы:

u(х) = х₁х₂х₃х₄х₅.

Логико-вероятностный метод является точным методом оценки надежности в отличии от графического.

 

Логико-вероятностный метод.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы расчета надежности для  систем с восстановлением.

 

Метод расчета надежности с использованием теории Марковских процессов.

Пусть имеется некоторая система  s. Говорят, что в  s происходит случайный процесс, если он к стечением времени под влиянием случайных факторов (например, отказов и восстановлений отдельных компонентов) переходит из одного состояния в другое.