Электромеханические системы позиционирования

Рис. 6. Схема структурная преобразователя координат ПК2

Рис. 7. Макроблок преобразователя координат ПК2

     

     

     

2. Обратная  задача кинематики манипулятора

     Обратная  задача кинематики манипулятора заключается в определении шарнирных координат манипулятора (координат привода, обобщенных координат), соответствующих заданному положению и ориентации схвата в пространстве рабочей зоны в глобальной системе координат.

      Необходимость решения обратной задачи кинематики обусловлено тем, что задание  движения (траектории для контурных  систем) производится в глобальной системе координат, связанной с  рабочим пространством робота, а  реализовывать это задание можно, только воздействуя на координаты приводов, расположенных в шарнирах многозвенного  манипулятора.

     В основу решения обратной задачи кинематики положено решение уравнений связи (преобразования координат) относительно неизвестных шарнирных координат, полагая глобальные координаты положения  и ориентацию схвата известными заданными  величинами.

      Получим аналитическое решение обратной задачи кинематики для обобщенного  робота на основе геометрического анализа  его кинематической схемы. Рассмотрим для этого кинематическую схему  при заданной конфигурации манипулятора.

Рис. 8. Анализ кинематический манипулятора 
 

     Для кинематического анализа спроецируем  конфигурацию руки манипулятора и координатную систему схвата ( ) на плоскость 0, глобальной системы координат.

      Считая  известными величинами, найдем из геометрического анализа.

      Треугольник (теорема косинусов)

          _.                                                             (7)

     Определим стороны треугольника через параметры  манипулятора:

                                                                                                                        (8)

     Треугольника  (теорема Пифагора):

          _.                                                                                                   (9)

     Выразим из (7) , учитывая соотношения (8)-(9):

      _,                                                                             (10)

     

причём  _.

      Для исключения неоднозначности на угол накладываем ограничение –  :

          _.                            (11)

     Треугольник (теорема косинусов):

      ,                           (12)

_{или с учётом (8)-(9):}

            .                          (13) 
 

     Учитывая  ограничение на шарнирную координату , получим:

      .                                                                     (14)

     Углы и связаны соотношением:

      .  

     Треугольник :

      .                                                                                               (15)

     Получим соотношение для :

      .                         (16)

      Аналитическое решение для  имеет вид:

          .                               (17)

     Построим  структурную схему преобразователя  координат ПК1 манипулятора по уравнениям системы (11), (16), (17), учитывая работу манипулятора в разных квадрантах плоскости.

Рис. 9. Схема структурная преобразователя координат ПК1

     Макроблок структурной схемы преобразователя  координат ПК1 представлен на рис. 10.

Рис. 10. Макроблок преобразователя координат ПК1

3. ИСПЫТАНИЕ РАБОТЫ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ  ПРИ ОТРАБОТКЕ ТРАЕКТОРИЙ ВО ВСЁМ ПРОСТРАНСТВЕ РАБОЧЕЙ ЗОНЫ

 

     Эскиз рабочей зоны манипулятора имеет вид:

Рис. 11. Эскизы траекторий движения манипулятора в пространстве рабочей зоны 

     Для испытания преобразователей координат зададим произвольные круговые траектории в плоскостях  xy, xz и yz рабочей зоны манипулятора.

     Плоскость ХY:

                                                                             (18)

     Плоскость ХZ:

                                                                                      (19)

     

     Плоскость YZ:

                                                                              (20)

     Структурная схема для испытания преобразователей координат манипулятора приведена на рис. 12.

Рис. 12. Схема испытания преобразователей координат 

     Правильность  работы преобразователей координат  заключается в том, чтобы координаты с выхода ПК2 X, Y, Z  соответствовали X_ref, Y_ref, Z_ref .

     

     Диаграммы работы преобразователей координат  в плоскости XY.

Рис. 13. Графики заданной траектории  движения в плоскости  XY  рабочей зоны и графики с выхода преобразователя координат ПК2 

Рис. 14. Графики с выхода преобразователя координат ПК1 при заданной траектории 

движения  в плоскости XY рабочей зоны

     Диаграммы работы преобразователей координат  в плоскости XZ.

Рис. 15. Графики заданной траектории  движения в плоскости XZ рабочей зоны и графики с выхода преобразователя координат ПК2

Рис. 16. Графики с выхода преобразователя координат ПК1 при заданной траектории  движения в плоскости XZ рабочей зоны

 

Диаграммы работы преобразователей координат  в плоскости YZ.

Рис. 17. Графики заданной траектории  движения в плоскости YZ рабочей зоны и графики с выхода преобразователя координат ПК2

Рис. 18. Графики с выхода преобразователя координат ПК1 при заданной траектории  движения в плоскости YZ рабочей зоны

 

     Вышеприведенныепроцессы показывают, что диаграммы на выходе преобразователя координат ПК2 соответствуют диаграммам на входе преобразователя ПК1, то есть заданным траекториям движения. Из этого следует, что преобразователи координат спроектированы правильно.  

     

4. РАЗРАБОТКА  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

МАНИПУЛЯТОРА 

     Кинематическая  схема манипулятора изображена на рисунке 1. Моменты инерции звеньев указаны относительно оси вращения каждого звена; инерционностью и весом приводов пренебрегаем.

1. Определение координат центров масс звеньев

манипулятора

      Координаты центра масс первого звена манипулятора:

                             (21)

     

     Координаты центра масс второго звена манипулятора:

           (22)

     Кординаты центра масс третьего звена манипулятора:

                                 (23)

2. Определение потенциальной энергии манипулятора

     

     

     Потенциальная энергия манипулятора определяется как сумма потенциальных энергий его звеньев:

           (24)

 

3. Определение векторов и квадратов  модулей векторов

скоростей поступательного  движения центра масс звеньев манипулятора 

     Первое  звено манипулятора:

 (25)

     

     Второе  звено манипулятора:

      (26)

                                   (27)

     Третье звено манипулятора:

          (28)

                                      (29) 

4. Определение векторов и квадратов  модулей скоростей 

вращательного движения звеньев  манипулятора вокруг осей, проходящих через  их центры масс. 

     Первое  звено манипулятора:

     Собственная скорость звена:

                                                      (30)

                                                                       (31)

     Относительная скорость звена:

                         (32)

     Абсолютная  скорость звена (глобальная система  координат):

     

                                                                                                 (33) 
 
 
 

     Абсолютная  скорость звена (собственная система  координат):

                         (34)

     Квадрат модуля абсолютной скорости первого  звена манипулятора:

                                                                                                 (35)

     Второе звено манипулятора:

     Собственная скорость звена:

                                                                                   (36)

Относительная скорость звена: