Исследование линейной непрерывной стационарной системы автоматического регулирования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Факультет автоматики и вычислительной техники 
Кафедра АиКС 
Основы теории управления

 

 

 

 

 

 

Отчет по лабораторной работе №5

“Исследование линейной непрерывной стационарной системы  автоматического регулирования”

Вариант 1

 

 

 

 

 

 

Выполнил

Студент группы 8830

Алиханов А.В.

 

Проверил 

Доцент кафедры АиКС

Казьмин В.П.

 

 

 

 

 

 

 

 

Томск 2005

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Исследовать линейную непрерывную  систему автоматического регулирования (САР), согласно заданной принципиальной схеме, численным значениям ее параметров, дифференциальным уравнениям элементов  системы.

2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В данной лабораторной работе потребуются знания об устойчивости систем и критериях оценки устойчивости систем.

Существует ряд критериев  оценки устойчивости, такие как: критерий Гурвица, Найквиста или Михайлова. В данной работе необходимы два из них: Михайлова и Найквиста. Оба  они основаны на изучении АФЧХ систем.

Критерий Михайлова

Характеристический паленом в общем виде выглядит так:

Если заменить , то можно перейти к представлению такого вида:

, где U(ω) – вещественная часть, а V(ω) – мнимая. ω принимает значения от 0 до ∞, при этом конец D(j ω) описывает на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова.

Критерий Михайлова применяется  для замкнутых систем и гласит, что система является устойчивой, если годограф Михайлова (АФЧХ) начинался  на вещественной полуплоскости и  последовательно обходил n квадрантов только против часовой стрелки.

Критерий Найквиста

Применяется к разомкнутым  системам. Опишем лишь случай неустойчивой разомкнутой системы. Тогда критерий Найквиста говорит, что замкнутая  система тогда устойчива, когда  АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;0) К/2 раз, причем к равно  числу правых полюсов разомкнутой  мкнутой системы.

Критическому передаточному  коэффициенту К_кр соответствует прохождение годографа разомкнутой системы через точку Найквиста (-1;j0).  Для нахождения критического коэффициента усиления необходимо воспользоваться понятиями «запас устойчивости по амплитуде» и «запас устойчивости по фазе». Эти величины должны быть равны нулю.

 

3. ЗАДАНИЕ
1. По заданной принципиальной схеме САР составить функциональную схему  и дать краткое описание её функционирования.
2. Используя приведенные в приложении дифференциальные уравнения элементов САР получить их передаточные функции и составить структурную схему САР.
3. Получить передаточную функцию разомкнутой системы W_рс(S) и передаточные функции замкнутой САР по задающему и возмущающему воздействиям W^g_зс(S), W^f_зс(S), соответственно.
4. Используя пакеты прикладных программ Matlab или Classic построить частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ. Пояснить полученные результаты.
5. Проверить САР на устойчивость, используя любой из критериев:

а) критерий устойчивости Гурвица;

б) критерий устойчивости Михайлова;

в) критерий устойчивости Найквиста.

6. Определить запас устойчивости  системы по амплитуде и фазе. Если система при заданных  значениях параметров является  неустойчивой, необходимо определить  новые значения параметров изменяемых  при настройке системы,  обеспечивающие  необходимый запас устойчивости.

7. Определить критический  коэффициент усиления разомкнутой  системы по любому из

критериев устойчивости.

8. Построить переходную  и импульсную переходную характеристики  системы, определить показатели  качества процесса регулирования.

9. Определить корни характеристического  уравнения системы, объяснить  характер переходного процесса  на основании значений корней  характеристического уравнения.

4. ХОД РАБОТЫ

1. Принципиальная схема  представлена на рис.1. (САР температуры  в электропечи)

Рис. 1. Принципиальная схема САР

Задана принципиальная схема  CAP температуры печи. Первоначально определим объект управления и управляемую (регулируемую) величину. В рассматриваемом примере объектом управления является нагревательный элемент (электропечь), а управляемой (регулируемой) величиной является температура внутри печи. Контроль управляемой величины производится с помощью 2 датчиков температуры. Они преобразуют температуру обратно в напряжение.

1. Составим функциональную схему САР Рис. 2.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Функциональная схема САР

Обозначения:

ЗУ – задающее устройство.

ССУ – сравнивающее - суммирующее устройство.

ДТмос - датчик температуры местной обратной связи.

ДТГОС  – датчик температуры  главной обратной связи.

ЭП – электропечь.

ТП – тиристорный преобразователь.

2) Определим передаточные функции элементов системы и составим структурную схему (рис. 3).

Для ССУ: DU_ВЫХ(t) = K_У1U₁(t) - K_У2U₂(t) - K_У3U₃(t)

Для ТП: Тогда .

Для ОУ (ЭП):

Для ДТ_мос:

Для ДТ_гос:

Рис. 3. Структурная схема

3) Получим передаточную функцию  разомкнутой системы W_рс(S).

Для этого   отбросим все входные воздействия (задающее и возмущающее) и разрываем главную ОС.  Преобразованная схема (рис. 4). 

К_у1=4.3; К_у2=4.3; К_у3=4.3; К_тп=6.5; Т_тп  =0с;  К_и=5град/В; Т_и=250с; К_п=0.9;Т_п=790с; Кт1=0,5В/град; Т_т1=2.35с; К_т2=0.5В/град; Т_т2=28.1с; f_н=18˚.

 

Рис. 4. Структурная схема разомкнутой системы

 

 

 

Получим передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию W^g_зс(S) (рис. 5).

Рис. 5. Структурная схема замкнутой системы по задающему воздействию

 

 

 

 

 

 

Получим передаточную функцию передаточную функции замкнутой САР по возмущающему воздействию W^f_зс(S). Для этого необходимо отбросить задающее воздействие (рис. 6)

Рис. 6. Структурная схема замкнутой САР по возмущающему воздействию

 

 

 

 

4. Проведем исследование свойств САР с помощью временных и частотных  характеристик. Построим временные характеристики h(t) и ω(t) для W_рс(S), W^g_зс(S), W^f_зс(S), частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ для W_рс(S).

 

Рис. 7. Переходная характеристика для разомкнутой системы

 

Рис. 8. Переходная характеристика для замкнутой по задающему воздействию системы

 

Рис.9. Переходная характеристика для замкнутой по возмущающему воздействию  системы

 

Для всех рассмотренных систем графики  имеют сходящийся вид. Системы устойчивы. В случае разомкнутой САР – переходный процесс апериодический (монотонный), в случае замкнутой – колебательный характер. Все графики выходят из нуля.

Для разомкнутой системы W_рс(S) частотные характеристики АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ. (рис. 13, рис.14)

Рис. 13. АФЧХ разомкнутой системы

Рис. 14. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

 

Максимальный  угол поворота определяется как 90˚∙k, где k=n-m, разница старших степеней полиномов числителя и знаменателя. В нашем случае угол поворота равен 270˚(рис. 14), т.е.  k=3. Следовательно, разомкнутая система представляет собой звено третьего порядка, это соответствует передаточной функции .

5. Проверим САР на устойчивость.

Воспользуемся критерием Найквиста.  Если система  в разомкнутом состоянии устойчивая, то для того, что бы она была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал  точку с координатами [-1;j0].

Исходя  из графика переходного процесса (рис. 7) разомкнутая система устойчива. АФЧХ направлена по часовой стрелке  и не охватывает точку [-1;j0], следовательно, замкнутая система устойчива.

Также можно определить устойчивость системы по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ: система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ  φ= - π будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот.

Рис. 15. ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой по задающему воздействию системы

6. Определим запас устойчивости  системы по амплитуде и фазе. Рассмотрим замкнутую по задающему воздействию систему. (рис. 16)

Рис. 16. АФЧХ замкнутой по задающему воздействию системы

Запас устойчивости по амплитуде определяется удалением годографа АФЧХ разомкнутой от критической точки по вещественной оси и определяется расстоянием  от этой точки до точки пересечения годографом оси абсцисс .

Запас устойчивости по фазе характеризует  удаление годографа от критической  точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом  φ между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью (φ≈30˚).

Можно определить запас устойчивости по амплитуде (рис. 17) h по ЛАЧХ. Он соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где φ= - π, но в логарифмическом масштабе.

Запас устойчивости по фазе Δφ определяется как  расстояние от линии φ= - π до ЛФЧХ на частоте среза.( Δφ=30)

Рис. 17. ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы

 

7. Определим критический коэффициент  усиления разомкнутой системы.

Под критическим коэффициентом К_КР САР понимается значение коэффициента разомкнутой системы К_РС, при котором САР в замкнутом состоянии является нейтральной.

Согласно критерию Гурвица,  если хотя бы один определитель равен нулю, а остальные больше нуля, то система является нейтральной. Следовательно, для определения значения критического коэффициента К_КР системы, достаточно воспользоваться предпоследним определителем и, приравняв его к нулю, найти значение К_КР.

Характеристическое  уравнение разомкнутой системы:

 

Определитель Гурвица:

 

 

6.2606e+015-3.6997e+013=3.6997e+013

= 168

8. По переходной характеристике  системы, определить показатели  качества процесса регулирования.

Основные  показатели качества: перерегулирование  , время регулирования (время процесса)

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) - отношение разности максимального значения переходной характеристики и ее установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

.

Время регулирования - длительность переходного процесса. Правда, в идеальной системе переходный процесс бесконечен. Поэтому временем регулирования считают тот интервал времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики от установившегося значения не превышают D. Мы будем брать Δ=5%.

По  рисункам 7, 9, 11 нашли, что

  Для разомкнутой системы: h=h_max σ=0%, =8310 сек, установившееся значение 62,8.

Для замкнутой по задающему воздействию  системы , =384 сек.

Для замкнутой по возмущению системы: , =384 сек.

Допустимое  значение перерегулирования 30%.

Несмотря  на то, что в разомкнутой системе  время переходного процесса больше, сам процесс происходит более плавно, без «скачков» (нет перерегулирования).

Колебательность для замкнутых систем равна 2 (рис. 9,11).

Степень затухания определяется как 

 

Для замкнутой по задающему воздействию системы А=1.77, для замкнутой по возмущающему воздействию А =8.2.

9.  Определим корни характеристического  уравнения системы, замкнутой  по задающему воздействию. 

Все корни характеристического уравнения  левые, что еще раз доказывает, что система устойчива. Наличие  комплексно-сопряженных корней говорит  о колебательном характере процесса.

Отметим также, что комплексные числа, при  которых числитель обращается в  нуль, называются нулями, а числа, при  которых знаменатель равен нулю – полюсами. Для данной системы  характерно наличие, как полюсов, так  и нулей.

Корень, ближайший к мнимой оси - доминирующий корень. Может быть и пара доминирующих корней (если они комплексные сопряженные)

Расстояние  доминирующих корней до мнимой оси - a₀, - степень устойчивости системы, равна модулю вещественной части доминируюущего корня. Для данной системы a₀=0.00692 Степень устойчивости позволяет определить приближенно время переходного процесса = 3/a₀. В данном случае, приближенно время переходного процесса равно 433 сек (точное время 384 сек). Т.е. чем дальше корень от оси ординат, тем меньше время переходного процесса.