Статистика страхового ранка

Таблицы периодически пересчитываются в  связи с изменением показателей  смертности населения. Они содержат конкретные цифры смертности для  каждого возраста (в полных годах) для 100 000 населения с последовательным уменьшением доживающих при переходе от одной возрастной группы в другую группу, имеющую возраст больше на 1 год. 

По таблицам смертности вероятность умереть  в возрастеХ -лет, не дожив до возрастах + 1 год, определяется по формуле

q _х = d_x / l_x .

Вероятность дожить до любого возраста р_х - определяется как разность между 1,0 иq_x , т.е.

р_х = 1 - q_x .

Достоверность и математическая точность данных таблиц смертности позволяют использовать их для финансовых расчетов, включая  расчет нетто-ставки по видам страхования  жизни.

Только  используя таблицы смертности, можно  рассчитать, какой величины страховой  фонд, например, по страхованию жизни  «на дожитие» необходимо иметь страховщику  к определенному моменту, учитывая разные возрасты застрахованных лиц  и сроки страхования по совокупности договоров страхования.

Зная  требуемую величину страхового фонда  для страховых выплат, количество доживающих до данного момента застрахованных лиц, доходность от инвестирования страховых  резервов по страхованию жизни, можно  рассчитать нетто-ставку на дожитие.

Расчеты нетто-ставки весьма сложны, так как  требуют учета не только возраста застрахованных лиц, но и порядка, сроков и периодичности уплаты страховых  премий (взносов), нормы доходности инвестиций, а также размеров, периодичности  и продолжительности страховых  выплат..

В расчетах тарифных ставок по всем видам страхования  жизни возникает необходимость  получения ответа на вопрос: каким  должен быть размер уплачиваемой страхователем  страховой премии (взноса) в начале страхового периода для того, чтобы  через п лет срока страхования при определенном порядке внесения страховых платежей, норме доходности (норме годового процента) инвестирования страховых резервов застрахованный (выгодоприобретатель) получил страховую выплату (страховую сумму)B_n ?

Ответ на этот вопрос при единовременной уплате страховой премии можно получить из расчета увеличения банковского вклада при начислении дохода по сложным процентам.

Например, сумма банковского вклада равна А, годовой процент по вкладу (допустим, постоянный) - i , срок вклада по договору -п лет.

По годам  сумма А будет увеличиваться и формировать промежуточные значения конечной накапливаемой суммы вклада с начисленными процентами зап лет-B_n ,в частности:

Страховые резервы страховщики размещают  не только в банковские вклады, поэтому  этот принцип нарастания первоначальных сумм, полученных страховыми компаниями по страхованию жизни, применяется  в расчетах и для других направлений  инвестирования средств.

Величина  (1+ і) называется процентным множителем. За п лет он составит величину (1+ i ) ⁿ.

Исходя  из выявленной зависимости формирования фонда денежных средств от нормы  доходности и срока инвестирования страховых резервов по страхованию  жизни, можно вывести формулу для определения величины уплачиваемой страховой нетто-премии в начале страхования А:

А = В _.

С целью  упрощения расчетов формула преобразуется  заменой сомножителя в виде дроби  на дисконтирующий множитель (дисконт) V :

V = .

Возведенный в степень п, он будет дисконтом (дисконтирующим множителем) за п лет :

Vⁿ= ( 1 ) 

Дисконтирующий  множитель определяет, какую долю от величины фонда денежных средств, предусмотренного к получению от страховщика в виде страховых выплат через - п лет при норме доходности инвестиций -і , необходимо уплатить страхователю в форме страховой нетто-премии сегодня, в начале страхования.

Дисконт в относительной величине — по отношению к фонду денежных средств, планируемому к выплате, — устанавливает  современную стоимость этого  фонда средств.

Поэтому современная стоимость (на начало страхования) требующегося фонда денежных средств  ( A_x ) может быть рассчитана по формуле с использованием дисконтирующего множителя Vⁿ:

A_x = B_n • Vⁿ = B ₅ • V ⁵ = 8 962 грн.

Такая сумма — 6 348 963 грн. — должна быть получена страховщиком в виде уплаченной страхователями страховой нетто-премии для обеспечения выплат страховых сумм в размере 100 грн. через 5 лет всем дожившим до окончания срока страхования и возраста 45 лет застрахованным в 40-летнем возрасте лицам.

Для того чтобы определить, какую сумму  нетто-премии должен заплатить каждый страхователь, необходимо разделить  A_x на количество вступивших в страхование лиц L_x = 91 366 человек.

Это и  будет единовременная нетто-ставка( _n E_x ) по страхованию на дожитие со 100 грн., страховой суммы для возрастах = 40 лет при сроке страхования п = 5 лет и норме доходности i = 0,07.

В результате преобразований формула для расчета 

единовременной  нетто-ставки на дожитие с 1 гривни страховой суммы( _n E_x ) будет иметь следующий вид:

_n E_x = . ( 2 )

Анализируя  выведенную формулу, можно сделать  два вывода:

• чем длительнее срок страхования на дожитие, тем ниже нетто-ставка, так как увеличивается сумма учитываемого в расчете и снижающего нетто-ставку дохода от инвестируемых страховых резервов по страхованию жизни;
• нетто-ставка выше для меньшего возраста застрахованных лиц в сравнении с нетто-ставкой для лиц большего возраста при одинаковом сроке страхования на дожитие, так как среди более молодых ниже смертность.

Проводя аналогичные рассуждения, рассчитаем единовременную нетто-ставку по страхованию на случай смерти по тем же исходным данным и числу умирающих в каждом году страхования из таблицы смертности.

Общая величина необходимого фонда денежных средств В _n для выплаты страховых сумм S в размере 100 руб. по случаю смерти застрахованных лиц всем их выгодоприобретателям, начиная с первого и до последнего года страхования ,может рассчитываться по формуле

,

где d _х , d_{x +1} , d_{x +2}, ...d_{x + n -1} - число умирающих по срокам страхования в годах.

Современная стоимость (на начало страхования) необходимого фонда денежных средств (А_х) рассчитывается с учетом дисконтирующего множителя по формуле

.

Для определения  единовременной нетто-ставки по страхованию на случай смерти (_пА_х)с 100 грн. страховой суммы необходимо A_x разделить на число вступивших в страхование лиц L_x, т.е.

.

Окончательная рабочая формула для расчета  единовременной нетто-ставки на случай смерти с 1 гривни страховой суммы( _n А_х ) будет иметь следующий вид:

 . (3)

Брутто-ставка( Т_б ) при страховании рассчитывается по формуле

(4)

Где Т_н - соответствующая единовременная нетто-ставка по виду страхования

f= К_вд + К_пр - удельный вес нагрузки в структуре брутто-ставки:

К_вд - норматив расходов на ведение дела;;

К_пр -норматив прибыли .

Формулы для расчета норматива расходов на ведение дела( К_вд ) и норматива прибыли ( К_пр ) нами были представлены ранее в теме «Актуарные расчеты в страховании ».

Переход от единовременной нетто-ставки к ставке при уплате страховой премии в рассрочку

В случае уплаты страховых взносов ежегодно в течение установленного договором  страхования периода для всего  срока страхования жизни страховщик не может получить такой же доход  от инвестирования страховых резервов, как при единовременной уплате страховой  премии.

Кроме того, часть взносов страховщик вообще не получит из-за уменьшения числа  застрахованных лиц вследствие их смертности.

Поэтому нетто-ставку при рассрочке страховых  платежей нельзя определять простым  делением единовременной нетто-ставки на число лет страхования.

Чтобы обеспечить получение страховой  премии при рассрочке ее уплаты по годам страхования в сумме, эквивалентной (с компенсацией потерь части доходов  от инвестирования средств резервов и страховых взносов), но не равной арифметически уплачиваемой единовременно  страховой премии, рассчитываются годичные нетто-ставки .

Годичные  нетто-ставки исчисляются делением единовременных нетто-ставок на коэффициенты рассрочки.

Значения  коэффициентов рассрочки всегда несколько меньше числа лет (срока) страхования.

Поэтому полученные с помощью коэффициентов  рассрочки годичные нетто-ставки взносов  по величине больше, чем их значения, получаемые простым делением единовременных нетто-ставок на количество лет страхования.

За счет такого различия в величине годичных и единовременных нетто-ставок компенсируются потери страховщика в связи с  рассрочкой уплаты страховой премии в сравнении с единовременным страховым платежом.

Применяются два вида коэффициента рассрочки в зависимости от времени уплаты годовой суммы страхового взноса:

• коэффициент рассрочки постнумерандо — при уплате взноса в конце года;
• коэффициент рассрочки пренумерандо — при уплате взноса в начале страхового года.

Формула для расчета, например коэффициента рассрочки постнумерандо, выводится путем использования следующего алгоритма расчета и математических зависимостей между рассматриваемыми в примере показателями:

1 Допускается, что к концу каждого года страхования все страхователи уплачивают страховой взнос в размере 1 грн.

2 Общая  сумма уплаченных взносов в  конце каждого года страхования  определяется умножением числа  доживших(по таблице смертности) до возрастной группы следующего года L_{x +1} на 1 грн. годового взноса.

Например, для первого года страхования  общая величина уплаченных страховых  взносов равна L_x+1 . 1.0 = L_{x+1 .}

Для второго  года- L_{x +2} .

Для n –го года L_{x+ n} .

3 Современная  стоимость общей суммы уплаченных  всеми страхователями в конце  первого страхового года взносов  определяется умножением суммы  взносов - L _х+1 на дисконтирующий множитель - V,

т.е.L _х+1 • V .

Современная стоимость взносов второго года будет равна - L _х+2 • V ², а n -го года — L_{х+ n} • Vⁿ .

4 Для  каждого из вступивших в страхование  лицL _х величина современной стоимости общей суммы годичных взносов за срок страхования n лет с уплатой их в конце каждого страхового года ( _па'_х ) определяется по формуле ( коэффициент рассрочки платежа постнумерандо ):

, (5)

где_п а'_х -представляет собой современную стоимость годичной ставки взноса в размере 1 грн. при сроке страхования п лет и норме доходности - i .