Статистическая обработка результатов измерений

3. Находим основные  числовые характеристики для признака  у (3-ий столбец табл.1).

3.1. Находим среднюю арифметическую (выборочное среднее) – показатель центра распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности.

     Простая средняя арифметическая определяется по формуле: 

= 1,9

3.2. Находим среднюю квадратическую по формуле:

=

= 1,52

3.3 Находим выборочную моду.

Мода (Мо_х) – это элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Очевидно, что  Мо_{х 1}=1,5, Мо_{х 2} = 2,4

3.4. Находим выборочную медиану.

     Медиана (Me_x) – число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие одинаковое количество элементов.

     Если  объем выборки n = 2l (четен), то

 

Следовательно, 30 = 2l, l =15

Me_x =

3.5. Размах (R) – простейшая мера разброса выборки

. R = X_max – X _min

R = 2,8-1,2 = 1,6

3.6. Находим выборочную дисперсию.

Для вариационного  ряда:

D_x = - )²

D_x = 0,2

3.7. Находим среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение используется в качестве меры рассеяния в практике статистических исследований. Его квадрат есть выборочная дисперсия.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение находим по формуле:

=

= = 0,45

3.8. Находим коэффициент вариации.

Коэффициент вариации служит для сравнения изменчивости признаков и характеризует относительные показатели вариации.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле: 

v_x =

100%

v_x = 100% = 23 % 

3.9. Находим стандартную ошибку генерального среднего по формуле:

m_x =

4.0. . Находим границы доверительного интервала (М) генерального среднего по формуле:

,где

        – значение двухстороннего критерия Стьюдента, взятое в соответствующей таблице.

      а) Вероятность 90%,  m_x =, n = 30, = 1,697.

      1,09-1,697*0,08

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,9 генеральное среднее значение выборки заключено от 0,95 до 1,23;

      б) Вероятность 95%,  m_x =, n = 30, = 2,042

      1,09-2,042*0,08

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,95 генеральное среднее значение выборки заключено от 0,93 до 1,25;

      в) Вероятность 99%,  m_x =, n = 30, = 2,750

      1,09-2,750*0,08

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,99 генеральное среднее значение выборки заключено от 0,87 до 1,31;

      г) Вероятность 99,9%,  m_x =, n = 30, = 3,646

      1,09-3,646*0,08

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,999 генеральное среднее значение выборки заключено от 0,8 до 1,38; 

4.1.Находим асимметрию по формуле:

A_x = 0, 07

4.2. Находим эксцесс  – меру крутости кривой распределения.  Он вычисляется по формуле:

A_э = - 1,3 
 
 

4.3. Построение полигона частот и гистограммы частот для признака  х.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, n₁), (x₂, n₂), …,  (x_i, n_i).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают  варианты x_i, , а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Построим таблицу  частот для признака  у. 
 

Таблица 5.

xi	ni	Wi
1,2	1	0,03
1,25	1	0,03
1,35	2	0,07
1,4	1	0,03
1,45	1	0,03
1,5	3	0,10
1,55	1	0,03
1,7	2	0,07
1,8	1	0,03
1,85	2	0,07
1,95	1	0,03
2	1	0,03
2,05	1	0,03
2,1	1	0,03
2,2	1	0,03
2,25	1	0,03
2,3	1	0,03
2,35	2	0,07
2,4	3	0,10
2,45	1	0,03
2,6	1	0,03
2,8	1	0,03
Сумма	30	1

 
 

 
 

Гистограммой  частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы h, которые откладываются на оси абсцисс. На оси ординат откладываются

высоты  прямоугольников, равные значениям  частот выборки (или n_i /h – плотность частоты).

Строим  гистограмму частот по данным таблицы  5. 
 
 
 

  

4.4. Найдем основные  статистики выборки у с помощью Пакета анализа Excel и построим гистограмму.

Таблица 6.

Столбец1
Среднее	1,92
Стандартная ошибка	0,08
Медиана	1,90
Мода	1,50
Стандартное отклонение	0,45
Дисперсия выборки	0,20
Эксцесс	-1,18
Асимметричность	0,08
Интервал	1,6
Минимум	1,2
Максимум	2,8
Сумма	57,55
Счет	30
Наибольший(1)	2,8
Наименьший(1)	1,2
Уровень надежности(90,0%)	0,14
Уровень надежности(95,0%)	0,17
Уровень надежности(99,0%)	0,23
Уровень надежности(99,9%)	0,30

Таблица 7.

Карман	Частота	Интегральный %
1,2	1	3,33%
1,25	1	6,67%
1,35	2	13,33%
1,4	1	16,67%
1,45	1	20,00%
1,5	3	30,00%
1,55	1	33,33%
1,7	2	40,00%
1,8	1	43,33%
1,85	2	50,00%
1,95	1	53,33%
2	1	56,67%
2,05	1	60,00%
2,1	1	63,33%
2,2	1	66,67%
2,25	1	70,00%
2,3	1	73,33%
2,35	2	80,00%
2,4	3	90,00%
2,45	1	93,33%
2,6	1	96,67%
2,8	1	100,00%

Построим гистограмму.

4.5. Выводы (признак у).

     4.4.1. Коэффициент вариации v_x=23% лежит в пределах 11-25%, значит выборка считается однородной.

Коэффициент вариации v_x оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины. По оценочной шкале

0% < v_x ≤ 40% – колеблемость незначительная.

    4.4.2.Характеристики центра распределения равняются:

=1, 9

  Мо =1,5

Ме =1,9,

Ме > Мо, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака.

4.4.3.Точный показатель асимметрии формы распределения – коэффициент асимметрии:

A_x = 0, 07, так как A_x имеет место правосторонняя асимметрия.

По оценочной  шкале асимметричности A_x≤ 0,25 – асимметрия незначительная.

      4.4.4. Крутизну кривой распределения  характеризует показатель эксцесса - коэффициент эксцесса A_э = - 1,3, так как A_э кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения

признака не концентрируются в центральной  части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от x_min до x_max..

5. Корреляционный анализ выборки

Основные  задачи корреляционного  анализа

1. Измерение тесноты связи  между переменными (признаками). Задача решается путем  вычисления корреляционного отношения  и коэффициента корреляции.
2. Определение важнейших факторов, влияющих на результативный признак. Задача решается путем оценки тесноты связи факторов с результатом.

 

5.1. Рассчитаем  линейный коэффициент корреляции  по формуле:

r = 0, 97

Так как , то связь между признаками х и у: по степени тесноты – сильная, по направленности – прямая.