Статистическая обработка результатов измерений

 
 

     Государственное образовательное учреждение

     высшего профессионального образования

     «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

     МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ  ФАКУЛЬТЕТ 

     Кафедра «Управление качеством и сертификация» 
 

     Контрольная работа

     по  дисциплине

     «Программные  статистические комплексы»

     на  тему

     Статистическая  обработка результатов  измерений 
 

     Выполнил  Чеботарева Н.В.

                                                                                  Группа 279

           Проверил Лопатина Е. Э. 

             
 

     Задание. По двухмерной выборке, которая содержит 30 пар значений (х, у) (таблица 1.):

• найти основные числовые выборочные характеристики;
• построить таблицу частот, гистограмму и полигон частот для каждого признака;
• определить границы доверительных интервалов для генеральных средних значений каждого признака с вероятностями 90%, 95%, 99%, 99,9%, используя таблицу двухстороннего t – критерия Стьюдента;
• найти основные статистики каждой из выборок и построить гистограммы с помощью Пакета анализа Excel;
• рассчитать линейный коэффициент корреляции, коэффициент ранговой корреляции Спирмена и коэффициент корреляции Фехнера по известным формулам;
• найти линейный коэффициент корреляции с помощью Пакета анализа Excel;
• построить диаграмму рассеяния;
• сделать выводы.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1.

№	Диаметр (х), мм	Вес (у), мг
1	0,9	1,7
2	1,0	1,5
3	0,7	1,25
4	1,0	1,20
5	0,8	1,50
6	1,1	2,00
7	1,2	2,05
8	0,9	1,40
9	1,0	1,35
10	1,5	2,80
11	1,2	2,20
12	1,2	2,40
13	1,1	1,95
14	1,2	2,25
15	1,3	2,35
16	1,1	2,35
17	0,8	1,45
18	1,1	1,85
19	1,0	1,35
20	1,3	2,30
21	1,3	2,40
22	1,0	1,80
23	1,1	1,70
24	1,2	2,45
25	1,1	1,55
26	1,0	2,10
27	1,3	2,60
28	0,9	1,50
29	1,4	2,40
30	0,9	1,85

 
 
 
 
 
 

Решение.

1. Находим основные  числовые характеристики для признака х (2-ой столбец табл.1).

1.1. Находим среднюю арифметическую (выборочное среднее) – показатель центра распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности.

     Простая средняя арифметическая определяется по формуле: 

= 1,09

1.2. Находим среднюю квадратическую по формуле:

=

= 1,1

1.3 Находим выборочную моду.

Мода (Мо_х) – это элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Очевидно, что  Мо_х =1.

1.4. Находим выборочную медиану.

     Медиана (Me_x) – число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие одинаковое количество элементов.

     Если  объем выборки n = 2l (четен), то

Следовательно, 30 = 2l, l =15

Me_x =

1.5. Размах (R) – простейшая мера разброса выборки

R = X_max – X _min

R = 1,5 - 0,7 = 0,8

1.6. Находим выборочную дисперсию.

Для вариационного  ряда:

D_x = - )²

D_x = 0, 03

1.7. Находим среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение используется в качестве меры рассеяния в практике статистических исследований. Его квадрат есть выборочная дисперсия.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение находим по формуле:

=

= = 0,19

1.8. Находим коэффициент вариации.

Коэффициент вариации служит для сравнения изменчивости признаков и характеризует относительные показатели вариации.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

v_x =

100%

v_x = 100% = 17 % 

1.9. Находим стандартную ошибку генерального среднего по формуле:

m_x =

2.0. . Находим границы доверительного интервала (М) генерального среднего по формуле:

,где

        – значение двухстороннего критерия Стьюдента, взятое в соответствующей таблице.

      а) Вероятность 90%,  m_x =, n = 30, = 1,697.

      1,09-1,697*0,03

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,9 генеральное среднее значение выборки заключено от 1,04 до 1,14;

      б) Вероятность 95%,  m_x =, n = 30, = 2,042

      1,09-2,042*0,03

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,95 генеральное среднее значение выборки заключено от 1,03 до 1,15;

      в) Вероятность 99%,  m_x =, n = 30, = 2,750

      1,09-2,750*0,03

 М  = , 

т.е. с надежностью 0,99 генеральное среднее значение выборки заключено от 1,01 до 1,17;

      г) Вероятность 99,9%,  m_x =, n = 30, = 3,646

      1,09-3,646*0,03

 М  = ,

т.е. с надежностью 0,999 генеральное среднее значение выборки заключено от 0,99 до 1,19; 

2.1.Находим асимметрию по формуле:

A_x = 0, 06

2.2. Находим эксцесс  – меру крутости кривой распределения.  Он вычисляется по формуле:

A_э = - 0, 25 
 

2.3. Построение полигона частот и гистограммы частот для признака  х.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, n₁), (x₂, n₂), …,  (x_i, n_i).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают  варианты x_i, , а на оси ординат - соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Построим таблицу  частот для признака  х.

Таблица 2.

xi	ni	Wi
0,7	1	0,03
0,8	2	0,07
0,9	4	0,13
1	6	0,20
1,1	6	0,20
1,2	5	0,17
1,3	4	0,13
1,4	1	0,03
1,5	1	0,03
Cумма	30	1,00

 

X_i – значение вариант выборки;

n_i – частоты выборки (количество вариант, встречающихся в выборке; сумма частот равна n=30 -  объему выборки);

W_i – относительные частоты выборки (W_i= n_i / n; сумма относительных частот равна единице).

Строим  полигон частот по данным таблицы 2. 
 
 
 
 

 

Гистограммой  частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы h, которые откладываются на оси абсцисс. На оси ординат откладываются

высоты  прямоугольников, равные значениям  частот выборки (или n_i /h – плотность частоты).

Строим  гистограмму частот по данным таблицы 2. 
 

   

2.4. Найдем основные  статистики выборки  х с помощью Пакета анализа Excel и построим гистограмму.

Таблица 3.

Столбец1
Среднее	1,09
Стандартная ошибка	0,03
Медиана	1,1
Мода	1,0
Стандартное отклонение	0,19
Дисперсия выборки	0,03
Эксцесс	-0,25
Асимметричность	0,07
Интервал	0,8
Минимум	0,7
Максимум	1,5
Сумма	32,6
Счет	30
Наибольший(1)	1,5
Наименьший(1)	0,7
Уровень надежности(90,0%)	0,06
Уровень надежности(95,0%)	0,07
Уровень надежности(99,0%)	0,09
Уровень надежности(99,9%)	0,12

 

Таблица 4.

Карман	Частота	Интегральный %
0,7	1	3,33%
0,8	2	10,00%
0,9	4	23,33%
1	6	43,33%
1,1	6	63,33%
1,2	5	80,00%
1,3	4	93,33%
1,4	1	96,67%
1,5	1	100,00%

 

 

2.5. Выводы (признак х).

     2.5.1. Коэффициент вариации v_x=17% лежит в пределах 11-25%, значит выборка считается однородной.

Коэффициент вариации v_x оценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины. По оценочной шкале

0% < v_x ≤ 40% – колеблемость незначительная.

    2.5.2.Характеристики центра распределения:

=1,09

  Мо =1,0

Ме =1,1,

значит форма  распределения почти симметрична и максимальная ордината прямой располагается в центре кривой.

2.5.3.Точный показатель асимметрии формы распределения – коэффициент асимметрии:

A_x = 0,06, так как A_x имеет место правосторонняя асимметрия.

      2.5.4 Крутизну кривой распределения характеризует показатель эксцесса - коэффициент эксцесса A_э = - 0,58, так как A_э кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от x_min до x_max..