Регрессионный анализ

                                 Лучников Андрей  Александрович. ММвЭ-ке  в/о 3-1. Вариант №16

Результативный  признак:

Y – ожидаемая продолжительность жизни женщины (в годах)

Факторные признаки:

– численность  населения (в тыс. чел.)

– рождаемость (на 1000 чел.)

– среднее число детей в семье

– ВВП на душу населения (в долл. США по покупательной способности валют)

– плотность населения (количество человек на кв. км) 

1. Множественный линейный регрессионный анализ 

1. Модель множественного линейного регрессионного анализа признака Y: 

; i = 1,2,…,52 

 независимы и имеют одинаковое нормальное распределение или, иначе, наблюдения  независимы и имеют нормальное распределение 

 

Функция 

 

называется  линейной функцией множественной регрессии. 

Исходные данные: 

 

2. Матрица оценок коэффициентов парной корреляции: 

 

*жирным шрифтом  выделены коэффициенты корреляции, оценки которые по модулю близки  или превосходят 0,7 

Выводы:

1) Судя по  наблюдениям, наиболее сильна  линейная связь результативного  признака  с факторным признаком (рождаемость на 1000 чел.) и - среднее число детей в семье.

, , т.к. модуль оценки соответствующих коэффициентов парной корреляции выше 0,7, т.е. достаточно велик. Линейная связь с х⁴ так же достаточно сильна: ; связи с x¹, x⁵ выражены слабее: ,

2) Сильна линейная  связь между регрессорами х², х³: - это может свидетельствовать о коллинеарности регрессоров х², х³. Малые абсолютные значения оценок коэффициентов корреляции между остальными регрессорами говорят об относительно слабой линейной связи между ними. 

3. Расчёт оценок , , , , ,

 и

  параметров модели  линейной регрессии.

= 84,011744

= -0,000007

 = -0,075403

= -3,851457

= 0,000284

= -0,000515 

 

Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

Оценка  коэффициента множественной  линейной детерминации:

Судя по наблюдениям, 80% вариации ожидаемой продолжительности жизни женщины (в годах) обусловлено линейным влиянием на него данных факторов. 

Оценка  коэффициента множественной  линейной корреляции:

 — такова, судя по наблюдениям, степень линейной зависимости от , ,…, . 

Оценка  нормированного коэффициента линейной детерминации:

Уравнение регрессии  адекватно. 

Стандартная ошибка регрессии:

;

 

4. а) Количества степеней свободы случайных величин.

 для

 для 

 для 

Заметим, что: 

 

Проверка гипотезы производится на основе анализа статистики

имеющей (в предположении  справедливости ) распределение Фишера – Снедекора с и степенями свободы. В данном случае , что больше критической точки , поэтому, с вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом. 

Для данной модели значимость , меньше - уравнение значимо. 

б) Проверим теперь гипотезы при альтернативах

Статистика  при выполнении гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенью свободы. Область отклонения гипотезы (на уровне значимости ) такова .

Критическая точка  , следовательно, гипотезы , , отвергаются, т.к. оценки ,   параметров , ,   значимы, а гипотезы , не отвергаются, т.к. оценки параметров не значимы. 

Уровни значимости гипотез  - это вероятности (гипотезу отвергают при альтернативе , если ).

Гипотезы  , , отвергаются, а гипотезы , не отвергаются, так как =0,05.

Кроме того,

Интервалы для a¹, a³, a⁴ не содержит 0 , следовательно, гипотезы отвергаются.  

5. Таким образом, в построенном уравнение регрессии только 2 коэффициента оказались не значимы.

Исключим из уравнения регрессор  , при котором коэффициент не значим, а соответствующая этому коэффициенту абсолютная величина значения статистики является наименьшей (рассчитанный уровень значимости является наибольшим). 

Оценка  линейной функции  регрессии будет  такой:

Стандартная ошибка , средняя относительная ошибка аппроксимации