Построение вариационного ряда

1 Построение вариационного ряда

     Рассчитать  статистические характеристики ряда измерений  физической величины, n = 100, и построить его эмпирические характеристики.

 

1. Между крайними значениями ряда вычисляется разность, называемая размахом выравнивания или широтой распределения:

R = X_max – X_min = 6,10– (-1,85)= 7.95

2. Определяется возможное число разрядов :

после округления имеем  . Принимаем q = 7.

3. Определяем ширину разряда:

∆X = R / q = 7,95/7 = 1,1357 ≈ 1,14 .

Здесь округление произведено в большую  сторону до числа десятичных разрядов, равных полученным экспериментальным данным.  

Так как  правая граница последнего разряда определяется как

^,

то, следовательно, округление величин  в большую сторону приведёт к тому, что величина . Поэтому правую границу принимают равной . При этом ширина последнего разряда будет меньше, чем у остальных. Если число округляется в меньшую сторону, то величина , или несколько ближайших к ней величин, окажутся за пределами правой границы последнего разряда. И в этом случае за правую границу последнего разряда принимают величину , но ширина его будет больше, чем у остальных.

4. Определяются границы разрядов и числа – количество результатов измерений, попадающих в каждый разряд .

Для вычисления целесообразно все данные свести в таблицу:

 
 

5. Для вычисления среднего арифметического суммируются данные колонки 6:

. 
 

6. Для вычисления дисперсии и СКО выполняется ряд промежуточных действий:

     – определяются отклонения от среднего (колонка 7);

     – определяются квадраты отклонений от среднего (колонка 8);

     – определяются произведения квадратов отклонений от среднего на частоту (колонка 9).

7. Дисперсия D = .

        СКО  σ = .

8. Вычисляем СКО среднего арифметического:

= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2 Построение статистических графиков 

Рис. 1 Гистограмма  и полигон

Рис. 2 Кумулятивная кривая 
 

3 Проверка гипотезы о принятом законе распределения

По виду гистограммы (рис. 1) выдвигаем гипотезу о нормальном распределении. Для вычислений целесообразно все данные свести в таблицу:

 

Сначала от реальных середин интервалов переходят к нормированным серединам:

     Затем для каждого значения t_j по таблицам дифференциальной функции нормального распределения (табл. П1 приложения) находят значение функции плотности вероятностей. Либо ее находят с помощью аналитической модели , например, для нормального закона распределения

. 

     По  найденному значению рассчитывают плотность вероятности физической величины теоретической функции распределения в единицах этой величины:

. 

     Определяют  ту часть n_j имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов:

,                                 

где – общее число наблюдений.

Вычисляем интервальные значения критерия Пирсона

и величину . 

При нахождении χ²_j, учитывается, что n₇ = 1 < 5. Поэтому в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом.

 = 2,224.

Для нахождения граничных значений критерия определяют число степеней свободы:

      ,

где – число разрядов, – число связей, накладываемое законом распределения, – число укрепленных интервалов.

При и уровне значимости по таблице П. 2 приложения находят граничные значения критерия :

;

     Так как  , то гипотеза о нормальном распределении принимается. 

4 Проверка гипотезы о равномерном распределении по критерию

Определяем оценки границ интервала по :

,   ,   .

;    =2,41

;        =2,13

.

     Математическое  ожидание и дисперсия для данного  закона связана с параметрами  и зависимостями:

;   ;   .      

     При проверке гипотезы эмпирическое распределение  заменяется теоретическим таким образом, чтобы , , .

Определяем  вероятности попадания случайной  величины для эмпирического распределения.

.