Парная нелинейная корреляционная зависимость в исследованиях экономических вопросов

     - получившаяся формула есть  дисперсия объясненная, факторная,  тогда  ; 

отсюда, можно построить коэффициент (индекс корреляции ) для нелинейной регрессии

    

.

    Т.к. формулы для связи TSS, RSS, ESS мы получили в предположении что , то при , полученная формула не будет справедливой. 

 

     6. Оценка качества модели 

    Оценку  качества построенной модели можно  определить через коэффициент (индекс) детерминации, а также с помощью средней ошибки аппроксимации.

    Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических  в процентах:

    

.

    Предел  значений считаем допустимым при построении модели.

    Средний коэффициент эластичночти показывает, на сколько %  в среднем по совокупности изменится результат от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения

    

     - характеризует соотношение  прироста результата и фактора  для соответствующей формы связи.

    Т.к., коэффициент Э не всегда const, то используем среднее значение - .

    В таблице представлены формулы эластичности для наиболее употребительных функций.

 

    Иногда  коэффициент Э экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда  для рассматриваемых признаков  бессмысленно определение изменения  значений в процентах. Например, изменение  роста заработной платы с ростом стажа работы на 1%.

    Если  линеаризация не затрагивает зависимую  переменную, например , то требование МНК: выполнимо, то  (коэффициент корреляции совпадает с индексом корреляции), в этом легко убедиться. 

    Использование F-критерия

    С помощью F-критерия можно оценить качество построенной функции.          

    Поскольку при заданном объеме наблюдений ( , ) факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от одной константы - коэффициента регрессии , то говорят, что данная сумма квадратов имеет одну степень свободы.

    К этому же выводу мы придем формальным путем, а именно, . Но свободный член , тогда

    

при заданном наборе переменных и , расчетное значение является в линейной регрессии функцией только одного параметра . Соответственно факторная сумма квадратов отклонений имеет число степеней свободы равное 1.

    Любая сумма квадратов отклонений связана  с числом степеней свободы, т.е. с  числом свободы независимого варьирования признака. Значит число степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показывать, сколько независимых отклонений из возможных  требуется для образования данной суммы квадратов. Так для общей суммы квадратов требуется независимое отклонение, ибо по совокупности из единиц после расчета среднего уровня , свободно варьируют лишь числом отклонений.

    Например, имеем ряд 1, 2, 3, 4, 5. Среднее  =3, тогда n отклонений от среднего: -2, -1, 0, 1, 2. Т.к. то свободно варьируют 4 отклонения, а пятое может быть определено, если 4 известны.

    Число степеней свободы в левой и  правой частях соотношения (*) должно совпадать, то число степеней свободы второго  слагаемого должно быть равно (n - 2).

    То  есть   .

    Разделив  каждую сумму квадратов на соответствующее  ей число степеней свободы, получим  средний квадрат отклонений, или, что тоже самое, дисперсию на одну степень свободы D

     .

    Это приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточные дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F - отношения (F- критерия):

     , где F- критерий для проверки нулевой гипотезы :  .

    Если  нулевая гипотеза справедлива, то и не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, то есть, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

     - это максимальная величина  отношения дисперсий, которая  может иметь место при случайном  их расхождении для данного  уровня вероятности.

    F-критерий - это оценивание качества уравнения регрессии, которое состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и значений F критерия Фишера-Снедекора. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

     .

     - это максимально возможное  значение критерия под влиянием  случайных факторов при данных  степенях свободы и уровне  значимости . Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно .

    Если  < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

    Если  > , то - гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. 

 

     7. Интервальная оценка функции регрессии и её параметров.

    Для оценки статистической значимости коэффициентов  регрессии и корреляции рассчитывается - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью - критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.

    Рассчитываются: .

    Уравнение регрессии  представимо в виде:

    

.

    Стандартная ошибка , т.е. стандартная ошибка прогнозного значения зависит от ошибки и ошибки коэффициента регрессии.

    Для доказательства этого рассмотрим дисперсии: .

     - здесь учтено, что  неслучайная (детерминированная) величина, при вынесении которой за знак дисперсии её необходимо возвести в квадрат,

    

    Т.о.  .

    Определим стандартную ошибку через остаточную дисперсию на одну степень свободы:

                                   или      

                    

                         

    Сравнивая фактические и табличные значения - статистики и принимаем или отвергаем гипотезу . Установим связь между F-критерием Фишера и - статистикой Стьюдента:

                          ,     

                          но   , очевидно  .     

                         

    Следовательно: .

    Т.о. проверка гипотез о значимости коэффициентов  регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

    Если  < , но отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Если > , то не отклоняется и признается случайная природа формирования или .

    Для расчета доверительного интервала  определяем предельную ошибку для каждого показателя:

    

,

    тогда формула для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

    

    Если  в границы доверительного интервала  попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый  параметр принимается нулевым, т.к. он не может одновременно принимать  и положительное и отрицательное  значения.

    Прогнозное  значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего прогнозного значения . Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

    

    и строится доверительный интервал прогноза

    

.

    Рассмотренные формулы стандартных ошибок предсказываемого среднего значения при заданном характеризует ошибку положения линии регрессии, при , и возрастает при удалении от .

    Но  фактические значения варьируют около среднего , индивидуальные значения могут отклоняться на величину , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы, поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения должна включать не только , но и случайную составляющую , или          

    

. 
 

 

     8. Метод наименьших квадратов.

    При оценке параметров уравнения регрессии  применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей

     .

     - ненаблюдаемая величина. После  того, как произведена оценка  параметров модели, рассчитывая  разности фактических и теоретических  значений , можно определить оценки случайной составляющей  . Поскольку они не являются реальными случайными остатками, их можно считать некоторой выборочной реализацией неизвестного остатка заданного уравнения, т.е. . При изменении спецификации модели, добавлении в неё новых наблюдений, выборочные оценки остатков могут меняться. Поэтому в задачу регрессионного анализа входит не только построение самой модели, но и исследование случайных отклонений , т.е. остатков.

    До  сих пор мы останавливались на формальных проверках статистической достоверности коэффициентов регрессии  и корреляции с помощью  - критерия Стьюдента, - критерия Фишера. Оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям. Они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными.

    Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Следовательно, при большом числе выборочных оцениваний, остатки не будут накапливаться и найденный параметр можно рассматривать как среднее значение из возможного большого числа несмещенных оценок.