Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения

 
 
 
 
 
 

Лабораторная  работа №1

На  тему: Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения 
 
 
 

                                          Выполнила:

                                          ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2 

                                          Принял: преподаватель  кафедры 
 
 
 
 
 

 

      Лабораторная работа № 2

     Моделирование датчиков случайных  чисел с заданным законом распределения 

     I Цель работы 

     Целью работы является:

1. Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения
2. Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения
3. Проверка адекватности полученного датчика

 

     II Теоретические сведения 

     1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения

     При исследовании и моделировании различных  сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x1,x2….xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси).

     Тогда равномерно-распределенные случайные  числа будут представлять собой  независимые реализации случайной  величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции  RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Требуется получить последовательность y1,y2,..yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения: 

     F(y)=     P(ksi y)          (1) 

     или плотностью вероятности 

     f(y)=F’(y)                 (2) 

     Функции f(y) и F(y) могут быть заданы  графически или аналитически.

     Для получения случайной величины    η с функцией распределения F(y) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1], используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся:

     - метод обратной функции

     - метод отбора или исключения

     - метод композиции. 

     2. Метод обратной функции

     Если  ζ- равномерно-распределенная на интервале  [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования: 

     η=F^-1 (ζ)                                     (3) 

     Где F^-1 (ζ) - обратная функция по отношению к функции распределения F(ζ)

 

                  F(y)

                       1 

                       ζ      

     

                         0                       η y

     Рис 1 Функция распределения F(ζ) 

     Действительно, при таком определении случайной  величины η  имеем: 

     P(η y)=P{F^-1(ζ) y}=P{ ζ F(y) }= F(y)       (4) 

     В данной цепочке равенств первое равенство  следует из (3), второе из неубывающего характера функций F(ζ) и F^-1 (ζ)  и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ.

     Таким образом, если задана функция распределения  F(y), то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию.

     Для нахождения обратной функции можно  использовать два метода: аналитический и графический. 

     3.Метод  отбора или исключения

     Данный  метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения  задан плотностью вероятности  f(y). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок (a,b), а плотность вероятности f(y) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η^* и ζ^* можно ограничить ступенчатой кривой:

                            0, если y<a

                g(y)=   fmax, если  a y b               (25)

                          0, если y>b 

     Затем берутся с помощью генератора случайных чисел (RND(ζ))  два равномерно-распределенных числа ζ_{1 и} ζ₂ , по которым определяются равномерные на интервале [a,b] независимые величины: 

     η ’=a +  (b-a)*ζ₁

     ζ’=fmax*   ζ₂                                               (26) 

     Где a,b – границы возможных значений случайной величины η,

       fmax- максимальное значение функции   f(y) (Рис.7) 
 

f(y)        g(y)

fmax        
 

                                                                            f(y)

       ζ  

                       a                  η ’               b

     Рис.7 Заданная плотность  вероятности 

     Если  ζ’ f (η ’) , то η ’ принимается в качестве очередной реализации случайной величины _η. В противном случае η ’ отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ₁ и ζ₂ . Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности.

 

      4. Метод композиции

     Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη (x) по формуле полной вероятности: 

     fη (x)=                  (27) 

     Где H(z)=P(ζ z)– интегральная функция распределения случайной величины ζ;

     P(x/z )- условная плотность вероятности.

     Переходя  к дискретной форме, интеграл  заменяется на сумму и тогда получаем 

     fη (x)= P_j*f_j (x)      (28) 

     где P_j=1                                (29)

     f_j (x) -условная плотность вероятности 

     Таким образом, для  любой заданной плотности  вероятности ее фигура единичной  площади, ограниченной осью x и кривой fη(x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей g_j (i=1,k),с площадями P_j (j=1,k),  (Рис.8)

 

Рис.8Разбивка плотности вероятности  на отдельном участке

        fη(x)

 

                                 g₁ (Р₁)

                                         g₂ (Р₂)       g₃ (Р₃)

  x

                       

          g₁ (Р₁)  
 
 

 x 

Рис. 9 Условные плотности 

вероятности

       g₂ (Р₂) 

 

 x 

       g₃ (Р₃)

      x 

     Условные  плотности вероятности имеют  вид (Рис.9)

     Для полученных условных плотностей вероятности  одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые  в сумме дадут требуемую случайную  последовательность с заданной плотностью вероятности. 

     5. Оценка закона распределения

     Для полученной случайной последовательности y_1, y_2,…,y_n с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y_1, y_2,…,y_n строится статистическая функция распределения

     F* (y) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F(y) для заданного закона распределения и производится сопоставление F*(y) и F(y). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова. Для этого вычисляется статистика: 

     Ди=max F*(y) - F(y)           (30) 

     Для конечных решений и распределения  статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.). По этой таблице для заданных объемов последовательности и и значению статистики Ди определяется уровень значимости .

     Если  гипотеза верна то статистика Ди* имеет в пределе при n распределение Колмогорова и квантили уровня P= (1-2) близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования. 

                                                                        F(y)

F(y)  1                                                                

   

                           F*(y)

                                  

       0.5           D_n {