Математические модели в системном анализе

     При наличии результатов наблюдений над парами X_i и Y_i предварительно вычисляются средние значения M_y и M_x, а затем  производится оценка коэффициента b в виде 

     b =    = R_xy                                        

     что следует из определения коэффициента корреляции.

     После этого вычисляется оценка для  a  в виде

     a = M_y - b _X                                                                      

     и производится проверка значимости полученных результатов.          Таким образом,  регрессионный анализ является мощным, хотя  и  далеко не всегда  допустимым расширением корреляционного анализа, решая  всё  ту же задачу оценки связей в сложной системе.

      1.7  Элементы теории статистических решений 

     Что такое - статистическое решение? В качестве простейшего  примера рассмотрим ситуацию, в которой вам предлагают сыграть в такую игру:    

     · вам заплатят 2 доллара, если подброшенная монета упадет вверх гербом;

     · вы заплатите 1 доллар, если она упадет гербом вниз.             

     Скорее  всего, вы согласитесь сыграть, хотя понимаете степень риска. Вы  сознаете, "знаете" о равновероятности появления  герба  и  "вычисляете"  свой выигрыш  0.5 · 1- 0.5 · 1= + $0.5.

     Усложним  игру —  вы видите, что монета несколько изогнута и  возможно будет падать чаще одной из сторон. Теперь решение играть или  не  играть по-прежнему зависит от вероятности выигрыша, которая не  может  быть заранее (по латыни — apriori) принята равной 0.5.

     Человек, знакомый со  статистикой, попытается оценить эту вероятность с помощью опытов,  если  конечно  они возможны и стоят не очень дорого. Немедленно возникает вопрос - сколько таких бросаний вам будет достаточно?

     Пусть с вас причитается 5 центов за одно  экспериментальное  бросание, а ставки в игре составляют $2000  против $1000. Скорее  всего, вы  согласитесь  сыграть,  заплатив  сравнительно  небольшую  сумму   за 100..200 экспериментальных бросков. Вы, наверное, будете  вести  подсчет удачных падений и, если их число составит 20 из 100, прекратите эксперимент и сыграете на ставку $2000 против $1000, так  как ожидаемый выигрыш оценивается в  0.8·2000 + 0.2·1000 -100·0.05=$1795.                         

     В приведенных примерах главным для  принятия  решения  была  вероятность благоприятного исхода падения монетки. В первом случае  — априорная вероятность, а во втором —  апостериорная. Такую информацию принято называть данными о состоянии природы.         

       Приведенные примеры имеют самое  непосредственное отношение к  существу нашего предмета. В самом  деле —  при системном управлении приходится принимать  решения в условиях, когда последствия таких решений заранее достоверно неизвестны. При этом вопрос:  играть или не играть — не стоит! "Играть" надо, надо управлять системой.       
 
 

                 Глава 2. Математическое описание объектов

 
            Полное математическое описание (модель) объекта обычно содержит уравнения статики и динамики. 
Математическое описание статики объекта — это совокупность математических выражений, характеризующих установившийся во времени режим работы объекта. 
Математическое описание динамики объекта — это совокупность математических выражений, описывающих изменения во времени выходных переменных объекта. 
 
2.1. Аналитический подход к построению моделей 
Математическое описание статики. Можно рекомендовать следующую последовательность описания статики объекта: 
1. Выбор объекта исследования. Здесь следует четко определить границы объекта и учесть связи его с окружающей средой. 
2. Изучение объекта. На этом этапе необходимо ориентировочно установить, какие процессы следует учитывать при выводе уравнений статики. 
3. Составление структурной схемы объекта. Эта задача является весьма ответственной и трудно формализуемой. Следует отчетливо понимать, что глубина расчленения объекта на звенья (элементы) не имеет предела. Необходимо найти компромисс между требуемой или желаемой точностью описания статических свойств объекта и возможностью количественной оценки явлений, протекающих в объекте. 
4. Составление математического описания отдельных звеньев (элементов). Каждый элемент описывается с помощью математических уравнений, исходя из известных закономерностей, действующих в данном элементе. В результате получаем множество уравнений:  
y_i = F (X_i), i = 1,2,…, 
где y_i – выход i-го элемента; X_i – множество входов i-го элемента. 
5. Определение параметров уравнений звеньев. Часть интересующей нас информации можно получить из постановки задачи, часть из литературы. Для определения некоторых констант потребуется проведение специальных исследований. 
6. Составление и анализ уравнений статики всего объекта. В математическое описание статики входят уравнения отдельных звеньев и связей между ними, граничные и начальные условия, а также ограничения на диапазоны изменения входных и выходных переменных. 
7. Выбор метода решения уравнений статики. Вычисление значений у по уравнениям, а тем более интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, обычно осуществляется на компьютере. В связи с этим необходимо из множества существующих методов и алгоритмов решения уравнений выбрать подходящий. 
8. Оценка точности математического описания объекта.  
Для этого проводится эксперимент на объекте, заключающийся в регистрации множества из п различных значений входных переменных и соответствующих им установившихся значений выходных. 
Математическое описание динамики. Универсальным описанием динамических характеристик являются дифференциальные уравнения. Переходные процессы в объектах с сосредоточенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных, в которых в качестве независимой переменной выступает время t. 
Идея аналитического вывода уравнений динамики основана на том, что скорость изменения выходной переменной какого-либо звена в первом приближении пропорциональна разности расходов входящих (образующих) и выходящих (расходуемых) потоков веществ или энергии. В частном случае, когда «приход» и «расход» веществ (энергии) равны, скорость изменения выходной переменной во времени равна нулю и уравнение динамики превращается в уравнение статики. 
В уравнения динамики обычно входят в явной или неявной форме статические характеристики. Поэтому методика аналитического составления уравнений динамики в основном аналогична последовательности вывода статических зависимостей. 
1-3. См. математическое описание статики. 
4. Составление уравнений статики отдельных звеньев. 
5. Написание уравнений динамики отдельных звеньев. 
6. Нахождение параметров уравнений динамики. 
7. Составление уравнений динамики всего объекта. В математическое описание динамики входят: дифференциальные уравнения отдельных звеньев, алгебраические уравнения связей между звеньями, начальные условия, граничные условия, ограничения на диапазоны входных и выходных переменных.

     8. Выбор методов решения уравнений  динамики. Полученные уравнения  динамики обычно нелинейные, поэтому  здесь без компьютера, конечно, не обойтись. 
9. Оценка точности математического описания динамических свойств объекта.  

     2.2. Экспериментальное определение статических и динамических характеристик объектов.

      
         Экспериментальное исследование в любой области науки включает в себя следующие основные этапы:

      
1)подготовка и планирование эксперимента; 
2) проведение эксперимента; 
3) обработка результатов.

      
Возможны две формы проведения эксперимента: активный и пассивный  эксперимент. 
Активный эксперимент предполагает, как правило, регулярные целенаправленные воздействия исследователя на объект. 
При пассивном эксперименте исследователь находится в роли пассивного наблюдателя, никак не влияющего на объект. Единственное, чем он может управлять, так это временем наблюдения. Пассивные эксперимент имеет свои преимущества и недостатки. Преимуществом является то, что нет вмешательства в работу объекта, наблюдения ведутся, как говорится, в режиме нормальной эксплуатации. Проведение такого эксперимента не требует больших затрат, что позволяет собрать довольно большое число экспериментальных данных. Но «недостатки — продолжение наших достоинств»: пассивное наблюдение за объектом ограничивает область его исследования только тем диапазоном изменения входных переменных, в котором они «желают» меняться. Это, конечно, затрудняет построение качественной модели. Ведь объект может долго находиться в состоянии, когда входные переменные практически не изменяются или изменяются мало. 
Определение статических характеристик. Ограничимся рассмотрением только активного эксперимента, поскольку пассивный эксперимент сводится в основном к обработке результатов наблюдений (определение статических моделей по данным пассивного эксперимента можно по-смотреть в книге). Активный эксперимент предусматривает изменение входных переменных (x₁,...,x_n) и регистрацию установившихся значений выходной переменной (у). 
1. Подготовка и планирование эксперимента. Первоначально необходимо сформировать таблицу для записи значений входных и выходной переменных.

     При этом необходимо решить следующие вопросы: 
а) сколько экспериментальных точек необходимо для построения модели? 
б) по какой схеме (алгоритму) изменять значения входных переменных? 
в) через какой промежуток времени после изменения входных переменных фиксировать в таблице значения выходных переменных? 
С позиции математической статистики, чем больше имеется экспериментальных данных, тем надежнее математическая модель. Однако каждое возмущение объекта приводит к определенным потерям. Кроме того, проведение активного эксперимента требует затрат, иногда значитель-ных. 
Автор однажды строил математическую модель по результатам активного эксперимента, где одна экспериментальная точка стоила дороже пяти автомобилей «Волга». 
В практике рекомендуется применять следующую эмпирическую оценку: для определения одного параметра (коэффициента) модели необходимо 5—10 экспериментальных точек (чем более "зашумлен" объект, тем больше необходимо точек). К сожалению, априори неизвестно, сколько параметров модели придется оценивать, поскольку это зависит от структуры модели. Поэтому априори приходится ориентироваться на некоторую «разумную» структуру. 
Как только мы определились с числом экспериментальных точек, можно заняться так называемым планированием эксперимента. Под планом эксперимента понимается совокупность значений, задаваемых переменной х в эксперименте. Главная задача планирования эксперимента заключается в том, чтобы извлечь максимум информации из ограниченного числа экспериментальных точек. 
Пример. Возьмем две экспериментальные точки, в которых значение выходной переменной (у) измеряется с некоторой ошибкой (рис. 4). Если точки находятся близко друг к другу (рис. 4, а), то ошибка в оценке наклона линии зависимости у от х будет очень большой. Если взять точки, отдаленные друг от друга (рис. 4, б), то ошибка резко уменьшится.

     Из  примера видно, что информация об объекте зависит не только от числа  экспериментальных точек, но и от их расположения. Поэтому так важно  на этапе подготовки рационально  выбрать значения входных переменных, которые будут занесены в таблицу. 
Записывать значения выходной переменной можно только после того, как закончится переходный процесс в объекте. Поэтому на этапе подготовки к эксперименту необходимо оценить одну динамическую характеристику — время установления Т_у (длительность переходного процесса) как время, за которое переходная функция исследуемого объекта достигнет 98%-го уровня своего установившегося значения. На практике за Т_у можно брать время от начала возмущения до того момента, когда значения выходной переменной практически не изменяются. Неконтролируемые входы во время эксперимента по возможности должны быть стабилизированы. Для полной уверенности в том, что переходный процесс завершился, фиксировать значение выходной переменной рекомендуется через (1,5...2)Т_у. 
2. Проведение эксперимента заключается в задании значений входных переменных в соответствии с таблицей,выдержке времени порядка (1,5...2)Т_у и записи значения выходной переменной. 
3. Обработка результатов эксперимента. На основании заполненной таблицы строится математическая модель. Если входных переменных немного (от одной до трех), то первичная обработка, чаще всего, начинается с построения графиков. Графическое представление результатов эксперимента позволяет оценить линейность зависимостей, а для нелинейных зависимостей - их вид. Дальнейшая обработка заключается в подборе структуры модели. 
При наличии помех (в виде неконтролируемых переменных и шумов) экспериментальные значения у имеют некоторое рассеяние от «истинных» значений. Здесь мы имеем дело с задачей аппроксимации, которая решается с помощью регрессионного анализа. 
Аппроксимация - это приближенное выражение каких-либо величин через другие, более простые величины. 
В случае аппроксимации мы имеем дело с неточными значениями неизвестной функции. Поэтому, во-первых, выбор структуры модели производится в классе простых функций, а во-вторых, модельная функция не должна стремиться к экспериментальным точкам — оценку каждого параметра модели необходимо производить по нескольким точкам методом наименьших квадратов. Чем выше уровень помех, тем выбирается более простая структура модели, поскольку «раскачка» модели в промежуточных точках в этом случае происходит быстрее. Здесь неоценимую услугу оказывают контрольные точки (точки, не принимавшие участие в оценивании параметров модели), которые выступают в роли «стражей», предупреждая об опасности «ухода» модели от «истинной» зависимости. 
Определение динамических характеристик. Известно несколько способов оценки динамических свойств объекта. Самым универсальным, конечно, является описание динамики с помощью дифференциальных уравнений, но превратить экспериментальные наблюдения в дифференциальные уравнения не так уж просто. Мы же здесь ограничимся задачей определения переходной функции h(t) и некоторых констант (например, времени запаздывания τ, постоянной времени Т и коэффициента усиления k). 
Рассмотрим проведение активного эксперимента. 
1. Подготовка и планирование эксперимента. Обычно динамические характеристики исследуются по каждой паре (каналу) вход-выход (х_i —> у_j, i= 1,...,n; j = 1,...,m). Поэтому предварительно необходимо провести структурный анализ объекта исследования.  
Далее необходимо выбрать:

      
• вид возмущающих воздействий; 
• количество опытов; 
• величину амплитуды испытательного сигнала.

 
Испытательные воздействия делятся на апериодические и периодические. К первым относятся:

 
• ступенчатая функция,  
• прямоугольный импульс.

 
К периодическим испытательным воздействиям относятся прямоугольная волна, синусоида и др. 
Для снятия переходной функции h(t,) чаще применяются апериодические воздействия, обычно при воздействии А и —A. Кроме того, желательна постановка еще двух опытов при амплитуде 1,5А. При наличии помех количество опытов по снятию переходной функции увеличивается. 
Для оценки длительности наблюдения определяется время установления Ту. Далее интервал, равный Т_у, разбивается на n подинтервалов (значение п выбирается в зависимости от уровня помех -в среднем n = 20).

      
2. Проведение эксперимента. Возмущение  наносится в момент времени,  называемый нулевым: t = 0. Регистрация значений y(t) прекращается через промежуток времени, равный Т_у. 
На этом этапе можно проверить предположения о линейности и стационарности объекта. Для этого по всем экспериментальным кривым h(t) вычисляют значения коэффициента усиления к = h(T_y)/A и сравнивают их между собой. Для проверки линейности сравнивают результаты от воздействия величинами А и —А и проверяют справедливость принципа суперпозиции при воздействиях величинами А и 1,5А. Для проверки справедливости гипотезы о стационарности динамических свойств объекта требуется постановка серии экспериментов через достаточно большие (по сравнению с Т_у) промежутки времени. У стационарного объекта значения коэффициента усиления для всей серии экспериментов будут равны. 
3. Обработка результатов по снятию переходных функций. Задачами этого этапа являются оценка «чистого» запаздывания и нахождение дифференциальных уравнений по переходным функциям h(t). 
Первоначально производится нормализация и усреднение экспериментальных кривых h_i(t), снятых при различных испытательных сигналах A_i, i=1,2,...,z

     Пример. Суть сглаживания скользящим средним  можно показать на примере сглаживания  по трем точкам. Пусть имеется k значений прогнозируемого показателя P1, P2, …, Pk. По трем соседним точкам Pi, Pi=1, …, Pi+2, где i=1, …, k-2, находится сглаженное значение средней точки

     Также можно сглаживать по 5, 7 и более  нечетным точкам, причем сглаживание  можно повторить несколько раз. 
Затем выделяется время «чистого» запаздывания τ как отрезок времени.