Линейная регрессивная модель

       Содержание             1.Описание задания       2     2.Линейная регрессивная модель     3     3.Построение степной регрессивной модели   5     4. Показательная регрессивная модель    7          Выводы         10

  Список литературы       12 

     1. ОПИСАНИЕ ЗАДАНИЯ 

     На  основании данных нижеприведенной таблицы построить линейное и степенное уравнения регрессии.

     Для построенных уравнений вычислить:

1. коэффициент корреляции;
2. коэффициент детерминации;
3. дисперсионное отношение Фишера;
4. стандартные ошибки коэффициентов регрессии;
5. t — статистики Стьюдента;
6. доверительные границы коэффициентов регрессии;
7. усредненное значение коэффициента эластичности;
8. среднюю ошибку аппроксимации.

Имеются данные за 5 лет по области об обеспечении жильем вынужденных переселенцев. Y-число семей, получивших жилье(тыс.чел); х- всего нуждающихся(тыс.чел).

Таблица 1.                          1) для характеристики зависимости у от х рассчитываются параметры следующих функций (линейной, степенной, показательной, равносторонней гиперболы).

     2) оценивается каждая модель через  среднюю  ошибку аппроксимации  А и F- критерии Фишера.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                            2.ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

                 Для расчета параметров а и  b линейной регрессии у=а+b∙x  ,решаем  систему нормальных уравнений  относительно а и b:

n∙a+b∙∑x=∑y

                                                        yx- y∙x

a∙∑x+b∙∑x²=∑y∙x  получаем  b=       σ²x

табл.№2

год	у	х	ух	x²	y²	ŷx	у – ŷx	Аi
2001	21.5	28.3	608.45	800.89	462.25	21.96	-0.46	2.1
2002	21.8	31.2	680.16	973.44	475.24	21.35	0.45	2.1
2003	19.2	27.9	535.68	778.41	368.64	22.04	-2.84	14.8
2004	17.6	31.4	552.64	985.96	309.76	21.31	-3.71	21.1
2005	23.8	45.6	1085.28	2079.36	566.44	18.33	5.47	22.9
Итого	103.9	164.4	3462.21	5618.06	2182.33			63
Среднее значение	20.78	32.88	692.44	1123.61	436.47			12.6
σ	2.158	6.5199
σ²	4.66	42.51

 

Дисперсия получается, по формуле 

                       1

 σy²= n   ∑(yi-y)²

                                                                                    σy²=437.47-20.78²=4.66          σх²=1123.61-32.88²=42.51         ух-у∙х

b=     σ²x        =(692.44-20.78*32.88)/ 42.51=0.21                   а= у-b∙x=20.78+0.2164*32.88=27.9        уравнение регрессии ŷ=100,9-0.21х

ŷ2001=27.9-0.21∙28.3=21.96

ŷ2002=27.9-0,21∙31.2=21.35

ŷ2003=27.9-0.21*27.9=22.04

ŷ2004=27.9-0,21*31.4=21.31

ŷ2005=27.99-0,21*45.6=18.33          

Считаем линейный коэффициент парной корреляции

rху=b∙σx ∕ σy=0.21*6.5199/5.5025=0.24                 rху²= 0.24²=0.0576 коэффициент детерминации.     Вариация результата на 57% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения ŷx и занесем их в таблицу. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:                   

      |yi-ŷxi|

  Аi=     yi     *100% 

А2001=|-0.46|/21.5*100%=2.1%

А2002=0.45/21.8*100%=2.1%

А2003=|-2.84| / 19.2*100%=14.8%

А2004=|-3.71|/17.6*100%=21.1%

А2005=5.47 /23.8*100%=22.9% 

          В среднем расчетные значения  отклоняются от фактических на 12.6%

По каждому  наблюдению вычислим величину отклонения. Полученные данные занесем в таблицу.          Рассчитываем F критерий                       ∑(ỹx-y)²/m                                                             r²xy

Fфакт=                                                =                       =0,0576/(1-0,0576)*(5-2)=0.19

                    ∑(y-ỹ)² /(n-m-1)           1-r²xy   (n-2) 

  т.к  Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fтабл> Fфакт отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.                                                                                                                                                                                                                                                                3.ПОСТРОЕНИЕ СТЕПЕННОЙ РЕГРЕССИВНОЙ МОДЕЛИ 

          У=а*х предшествует процедура  линеаризации переменных. Линеаризация  производится путем логарифмирования  обеих частей уравнения:

Lg y=lg a+b* lg x;

Y=C+b*X  где

Y=lg y.,C= lg a., X= lg x

Табл.№3 
 

№ п/п	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
2001	1,33	1,45	1,9285	1,7689	2.1025	20,83	0,67	0,449	3,12
2002	1,34	1,49	1,9966	1,7956	2,2201	22.97	-1,17	1,369	5,37
2003	1,28	1,44	1,8432	1,6384	2,0736	20,54	-1,34	1,796	6,98
2004	1,25	1,50	1,875	1,5625	2,25	23,11	-5,51	30,36	31,31
2005	1,38	1,66	2,2908	1,9044	2,7556	33,57	-9,77	95,46	41,05
Итого	6,58	7,54	9,9341	8,6698	11,402			174,97	87,83
Сред.знач	1,316	1,508	1,98682	1,7339	2,2804			34,99	17,57
σ	0,0448	0,0793
σ²	0,0020	0,0063

                                                                                                                                                            σ²x= n   ∑(хi-х)²=2,2804-1,508²=0,0063       σy²= n   ∑(yi-y)²=1,7339-1,73189²=0,0020       вычислим значения С и b по формуле: 

b=  yx-y∙x    =(1,98682-1,316*1,508)/0,0063=0,36825     С=Y+b∙X=1,316+0,36825*1,508=1,8713                       Получим линейное уравнение  Ỹ=1,8713-0,36825*Х, после потенцировании

                                                             1,8713         0.36825                              0.36825

получим: ŷ=10     *х  =315,7    *х

Подставляя  в данное уравнение фактические  значения х, получаем теоритические  значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi

          

          1.8713

Ŷ2001=10  *28.3=20,83

         1,8713

Ŷ2002=10   *31,2=22,97

         1,8713

Ŷ2003=10   *27,9=20,54

         1,8713

Ŷ2004=10   *31,4=23,11

         1,8713

Ŷ2005=10   *45,6=33,57 далее рассчитаем Аi 

        l                        (yi-ỹхi)

А=   n    ∑  Аi =          уi           ∙100%

                                                                  А2001=0,67/21,5*100%=3,12%

         А2002=1,17/21,8*100%=5,37%

         А2003=1,34/19,2*100%=6,98%

        А2004=5,51/17,6*100%=31,31%

       А2005=9,77/23,8*100%=41,05% 

ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-34,99/4,66=0,27     определим коэффициент по формуле детерминации:

r²xy=(Pxy)²=(0,27)²=0,0729        Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.                                                                                                                                                                             4.ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ

            Построению уравнения показательной  кривой у=а ·bx предшествует процедура  линеаризации переменных при  логарифмировании обеих частей  уравнения:

Lg y=lg a+x*lgb

Y=C+Bx  где,

Y=lg y., C=lg a., B=lgb

Табл.№4

год	Y	X	YX	Y²	X²	ŷx	yi-ŷx	(yi-ŷx)²	Ai
2001	1,33	28,3	37,639	1,7689	800,89	20,18	1,32	1,742	6,14
2002	1,34	31,2	41,808	1,7956	973,44	22,91	-1,11	1,232	5,09
2003	1,28	27,9	35,712	1,6384	778,41	20,24	-1,04	1,081	5,42
2004	1,25	31,4	39,25	1,5625	985,96	22,84	-5,24	27,46	29,77
2005	1,38	45,6	62,928	1,9044	2079,36	33,46	-9,66	93,32	40,93
Итого	6,58	164,4	217,337	8,6698	5618,06	119,63		124,84	87,35
Сред.знач	1,316	32,88	47,467	1,7339	1123,61			24,967	17,47
σ	0,046	6,52
σ²	0,0021	42,52