Корреляционно-регреционный анализ

     Однофакторные и многофакторные связи. По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются: однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (т.к. рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, то есть одновременно и во взаимосвязи. Например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих,  производственным стажем, простоями и другими факторными признаками. С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи.

     Статистические  методы моделирования связи

     Для исследования стохастических связей широко используется метод сопоставления  двух параллельных рядов, метод аналитических  группировок, корреляционный анализ, регрессионный  анализ и некоторые непараметрические методы.

     Метод сопоставления двух параллельных рядов  является одним из простейших методов. Для этого факторы, характеризующие результативный признак располагают в возрастающем или убывающем порядке (в зависимости от эволюции процесса и цели исследования), а затем прослеживают изменение величины результативного признака. Сопоставление и анализ расположенных таким образом рядов значений изучаемых величин позволяют установить наличие связи и ее направление. Зависимость между факторами и показателями может прослеживаться во времени (параллельные динамические ряды).

     Метод аналитических группировок  тоже относится к простейшим методам. Чтобы выявить зависимость с помощью этого метода, нужно произвести группировку единиц совокупности по факторному признаку и для каждой группы вычислить среднее или относительное значение результативного признака. Сопоставляя затем изменения результативного признака по мере изменения факторного можно выявить направление, характер и тесноту связи между ними.

     В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления и силы связи, но и в определении формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный. Для ее решения применяют методы корреляционного и регрессионного анализа.

     Статистическое  моделирование связи методом   корреляционного и регрессионного анализа.

     Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

     Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчётных значений зависимой переменной (функции регрессии).

     Решение всех названных задач приводит к  необходимости комплексного использования  этих методов.

     Корреляционный  и регрессионный анализ. Исследование связей в условиях массового наблюдения и действия случайных факторов осуществляется, как правило, с помощью экономико-статистических моделей. В широком смысле модель – это аналог, условный образ (изображение, описание, схема, чертёж и т.п.) какого-либо объекта, процесса или события, приближенно воссоздающий «оригинал». Модель представляет собой логическое или математическое описание компонентов и функций, отображающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса, даёт возможность установить основные закономерности изменения оригинала. В модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение и модели в виде функциональных уравнений используют для расчёта средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов.

     По  количеству включаемых факторов модели могут бытьоднофакторными и многофакторными (два и более факторов).

     В зависимости от познавательной цели статистические модели подразделяются на структурные, динамические и модели связи.

     Двухмерная  линейная модель корреляционного  и регрессионного анализа (однофакторный  линейный корреляционный и регрессионный  анализ). Наиболее разработанной в теории статистики является методология так называемой парной корреляции, рассматривающая влияние вариации факторного анализа х на результативный признак у и представляющая собой однофакторный корреляционный и регрессионный анализ. Овладение теорией и практикой построения и анализа двухмерной модели корреляционного и регрессионного анализа представляет собой исходную основу для изучения многофакторных стохастических связей.

     Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти такую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками. Выбор типов функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опят предыдущих аналогичных исследований, или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

     При изучении связи экономических показателей  производства (деятельности) используют различного вида уравнения прямолинейной и криволинейной связи. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму. Уравнение однофакторной (парной) линейной корреляционной связи имеет вид:

     ŷ = a₀ + a₁x ,

     где ŷ - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;  

     a₀, a₁ - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

     Поскольку a₀ является средним значением у в точке х=0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

     Коэффициент парной линейной регрессии a₁  имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a₁указывает направление этого изменения.

     Параметры уравнения a₀, a₁ находят методом наименьших квадратов(метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных ŷ :

     S(y_i – ŷ)² = S(y_i – a₀ – a₁x_i)² ® min

     Для нахождения минимума данной функции  приравняем к нулю ее частные производные  и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

     

     

     Решим эту систему в общем виде:

        

     

     Параметры уравнения парной линейной регрессии  иногда удобно исчислять по следующим  формулам, дающим тот же результат:

     

     Определив значения a₀, a₁  и подставив их в уравнение связи ŷ = a₀ + a₁x , находим значения ŷ , зависящие только от заданного значения х.

     Рассмотрим  построение однофакторного уравнения  регрессии зависимости работающих активов у от капитала х (см. приложение,таблица 1).

     Здесь представлены показатели 32 банков: размер капитала и работающих активов. Передо мной стоит задача определить, есть ли зависимость между этими двумя признаками и, если она существует, определить форму этой зависимости, то есть уравнение регрессии.

     За  факторный признак я взяла размер капитала банка, а за результативный признак – работающие активы.

     Сопоставление данных параллельных рядов признаков х и у показывает, что с убыванием признака х (капитал), в большинстве случаев убывает и признак у (работающие активы).

     Следовательно, можно предположить, что между х и у существует прямая зависимость, пусть неполная, но выраженная достаточно ясно.

     Для уточнения формы связи между  рассматриваемыми признаками я использовала графический метод. Я нанесла  на график точки, соответствующие значениям х и у, и получила корреляционное поле (см. приложение, график 1).

     Анализируя  поле корреляции, можно предположить, что возрастание признака у идет пропорционально признаку х. В основе этой зависимости лежит прямолинейная связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

     ŷ = a₀ + a₁x,

     где ŷ - теоретические расчётные значения результативного признака (работающие активы), полученные по уравнению регрессии; 

     a₀, a₁ - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии;

     х – капитал исследуемых банков.

     Пользуясь вышеуказанными формулами для вычисления параметров линейного уравнения  регрессии и расчётными значениями из таблицы 1, получаем:

     

     Следовательно, регрессионная модель зависимости  работающих активов от капитала банков может быть записана в виде конкретного простого уравнения регрессии:

      .

     Это уравнение характеризует зависимость  работающих активов от капитала банка. Расчётные значения ŷ , найденные по этому уравнению, приведены в таблице 1. Правильность расчёта параметров уравнения регрессии может быть проверена сравниванием сумм ∑у = ∑ŷ. В моем случае эти суммы равны.

     Но  для того, чтобы применить мою  формулу, надо рассчитать, насколько  она приближенна к реальности, то есть проверить ее адекватность. 

     Список  использованной литературы

     1. «Теория статистики», учебник  под ред. Р.А. Шмойловой, М.: Финансы  и статистика, 2000. - 510 с.

     2. «Практикум по теории статистики»., под ред. Р.А. Шмойловой, М.: Финансы  и статистика, 2001. - 456 с.

     3. «Общая теория статистики» И.И.  Елисеева, М.М. Юзбашев, М.: Финансы и статистика, 2002. – 480 с.

     4. «Теория статистики» В.М. Гусаров,  М.: ЮНИТИ, 2001. – 247 с.

     5. Журнал «Профиль», № 12, 25 марта  2002 г.