Изучение динамики общественных явлений

   Система средних показателей динамики включает:

   средний уровень ряда,

   средний абсолютный прирост,

   средний темп роста,

   средний темп прироста.

   Средний уровень ряда —это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

    Для интервальных рядов с равными периодами  времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:

   где n или (n +1) — общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Yi (i = 1, 2, ..., n или i == 0, 1, 2, ..., n).

   Если  в интервальном ряду отрезки имеют неравную длительность, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической: 

   

   Выбор формулы определяется характером исходных данных; при этом числитель должен иметь реальное содержание.

   Для моментных временных рядов величина среднего уровня зависит от того, как шло развитие явления в рамках интервалов, разделяющих отдельные наблюдения. Обычно считают, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень находится как среднее значение из средних по каждому интервалу. Для моментного ряда с равноотстоящими моментами получаем в итоге формулу средней хронологической.

   Вид формулы определяется способом нумерации  уровней. Если уровни нумеруются начиная  с нуля, то средняя хронологическая имеет вид 

    Для моментного ряда с неравными интервалами  предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов: 

   

   Рассмотрим  примеры. 1. По данным табл. 5.1, 

   

   2. Имеются данные о валютном курсе на ММВБ (руб./долл.):

 

   

   Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).

     

   5.4. Структура ряда  динамики. Проверка ряда на наличие тренда

   Всякий  ряд динамики теоретически может  быть представлен в виде составляющих:

   1) тренд — основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);

   2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные; 3) случайные колебания. Изучение тренда включает два основных этапа:

   1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

   2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

   Проверка  на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по нескольким критериям.

   1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина (У1, У2). Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда.

   2.Фазочастотный критерий знаков первой разности (Валлиса и Мура). Суть его заключается в следующем: наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы — изменение знака разности первого порядка (абсолютного цепного прироста).

   3. Критерий Кокса и Стюарта. Весь анализируемый ряд динамики разбивают на три равные по числу уровней группы (в том случае, если количество уровней ряда динамики не делится на три, недостающие уровни нужно добавить) и сравнивают между собой уровни первой и последней групп. 

   Непосредственное  выделение тренда может быть произведено тремя методами.

   1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

   2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т. д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

   При нечетном сглаживании полученное среднее  арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

   Недостаток  методики сглаживания скользящими  средними состоит в условности определения  сглаженных уровней для точек  в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами — расчетом средней арифметической взвешенной. Так, при сглаживании по трем точкам выравненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле

    Для последней  точки расчет симметричен. При сглаживании  по пяти точкам имеем:

    Для последних  двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках.

    Формулы расчета  по скользящей средней выглядят, в  частности, следующим образом: 
 

   3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

    Целью аналитического выравнивания динамического ряде является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции, функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

   Чаще  всего при выравнивании используются следующие зависимости:

   

   Линейная  зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

   Параболическая  зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

   Экспоненциальные  зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, — устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т. п.). 

   Оценка параметров (а0, а1, a2, ...) осуществляется следующими методами:

   1 ) методом избранных точек,

   2) методом наименьших расстояний,

   3) методом наименьших квадратов (МНК).

    В большинстве  расчетов используют метод наименьших квадратов (см. гл. 7), который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

    Для линейной зависимости (f(t) == а0 + a1t) параметр а0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как Обобщенный начальный уровень ряда; а1 — сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а, можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (Fфакт.) сравнивается с теоретическим (табличным) значением: 
 
 

    В качестве примера  рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

   Выравнивание  проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

    Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: а0 = 11,077 — это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а1 =-0,146— показатель силы связи, т. е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 %о ежегодно.

   Следующий шаг аналитического выравнивания — оценка надежности уравнения регрессии:

   

   

   5.5. Анализ сезонных колебаний

   Если  в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (как в большую, так и в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, — возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.). Уровень сезонности оценивается с помощью:

   1) индексов сезонности;

   2) гармонического анализа.

   Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный, индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности — это, по существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

    Если  тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) 

   гдеУ_t — уровень показателя за месяц (квартал) t;

   У_ср — общий средний уровень показателя.

    Как отмечалось выше, для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени. В этом случае