Автоматизированный априорный анализ статистической совокупности в среде MS Excel

     Задача 5. Анализ адекватности и практической пригодности построенной линейной регрессионной модели.

     Анализ  адекватности регрессионной модели преследует цель оценить, насколько построенная теоретическая модель взаимосвязи признаков отражает фактическую зависимость между этими признаками, и тем самым оценить практическую пригодность синтезированной модели связи.

     Оценка  соответствия построенной регрессионной  модели исходным (фактическим) значениям признаков X и Y выполняется в 4 этапа:

1. оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а₀, а₁ и определение их доверительных интервалов для заданного уровня надежности;
2. определение практической пригодности построенной модели на основе оценок линейного коэффициента корреляции  r  и индекса детерминации R²;
3. проверка значимости уравнения регрессии в целом по F-критерию Фишера;
4. оценка погрешности регрессионной модели.
1. Оценка статистической значимости коэффициентов уравнения а₀, а₁ и определение их доверительных интервалов

     Так как коэффициенты уравнения а₀ , а₁ рассчитывались, исходя из значений признаков только для 30-ти пар (x_i , y_i), то полученные значения коэффициентов являются лишь приближенными оценками фактических параметров связи а₀ , а₁. Поэтому необходимо:

1. проверить значения коэффициентов на неслучайность (т.е. узнать, насколько они типичны для всей генеральной совокупности предприятий отрасли);
2. определить (с заданной доверительной вероятностью 0,95 и 0,683) пределы, в которых могут находиться значения а₀, а₁ для генеральной совокупности предприятий.

     Для анализа коэффициентов а₀, а₁ линейного уравнения регрессии используется табл.2.7, в которой:

         – значения  коэффициентов а₀, а₁ приведены в ячейках В91 и В92 соответственно;

         – рассчитанный  уровень значимости коэффициентов  уравнения приведен в ячейках  Е91 и Е92;

         – доверительные  интервалы коэффициентов с уровнем  надежности Р=0,95 и Р=0,683 указаны в диапазоне ячеек F91:I92.

     5.1.1. Определение значимости  коэффициентов уравнения

     Уровень значимости – это величина α=1–Р, где Р – заданный уровень надежности (доверительная вероятность).

     Режим работы инструмента Регрессия использует по умолчанию уровень надежности Р=0,95. Для этого уровня надежности уровень значимости равен α = 1 – 0,95 = 0,05. Этот уровень значимости считается заданным.

     В инструменте Регрессия надстройки Пакет анализа для каждого из коэффициентов а₀ и а₁ вычисляется уровень его значимости α_р, который указан в результативной таблице (табл.2.7 термин "Р-значение"). Если рассчитанный для коэффициентов а₀, а₁ уровень значимости α_р, меньше заданного уровня значимости α= 0,05, то этот коэффициент признается неслучайным (т.е. типичным для генеральной совокупности), в противном случае – случайным.

     Примечание. В случае, если признается случайным свободный член а₀, то уравнение регрессии целесообразно построить заново без свободного члена а₀. В этом случае в диалоговом окне Регрессия необходимо задать те же самые параметры за исключением лишь того, что следует активизировать флажок Константа-ноль (это означает, что модель будет строиться при условии а₀=0). В лабораторной работе такой шаг не предусмотрен.

     Если  незначимым (случайным) является коэффициент  регрессии а₁, то взаимосвязь  между признаками X и Y в принципе не может аппроксимироваться  линейной моделью.

     Вывод:

     Для свободного члена а₀ уравнения регрессии рассчитанный уровень значимости есть α_р =0,113. Так как он больше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а₀ признается случайным.

     Для коэффициента регрессии  а₁  рассчитанный  уровень  значимости есть α_р =1,98×10^-12 Так как он меньше заданного уровня значимости α=0,05, то коэффициент а₁ признается типичным.

5.1.2. Зависимость доверительных  интервалов коэффициентов  уравнения от заданного  уровня надежности

     Доверительные интервалы коэффициентов а₀, а₁ построенного уравнения регрессии при уровнях надежности Р=0,95 и Р=0,683 представлены в табл.2.7, на основе которой формируется табл.2.9.

 

     Таблица 2.9

     Границы доверительных интервалов коэффициентов уравнения

     Вывод:

     В  генеральной  совокупности  предприятий  значение  коэффициента  а₀ следует ожидать с надежностью Р=0,95 в пределах а₀ , значение коэффициента а₁ в пределах а₁ . Уменьшение уровня надежности ведет к сужению доверительных интервалов коэффициентов уравнения.

2. Определение практической пригодности построенной регрессионной модели.

     Практическую  пригодность построенной модели можно охарактеризовать по величине линейного коэффициента корреляции r:

• близость к единице свидетельствует о хорошей аппроксимации исходных (фактических) данных с помощью построенной линейной функции связи ;
• близость к нулю означает, что связь между фактическими данными Х и Y нельзя аппроксимировать как построенной, так и любой другой линейной моделью, и, следовательно, для моделирования связи следует использовать какую-либо подходящую нелинейную модель.
• Пригодность построенной регрессионной модели для практического использования можно оценить и по величине индекса детерминации R², показывающего, какая часть общей вариации признака Y объясняется в построенной модели вариацией фактора X.
• В основе такой оценки лежит равенство R = r (имеющее место для линейных моделей связи), а также шкала Чэддока, устанавливающая качественную характеристику тесноты связи в зависимости от величины r.
• Согласно шкале Чэддока высокая степень тесноты связи признаков достигается лишь при >0,7, т.е. при >0,7. Для индекса детерминации R² это означает выполнение неравенства R² >0,5.
• При недостаточно тесной связи признаков X, Y (слабой, умеренной, заметной) имеет место неравенство 0,7, а следовательно, и неравенство .
• С учетом вышесказанного, практическая пригодность построенной модели связи оценивается по величине R² следующим образом:
• неравенство R² >0,5 позволяет считать, что построенная модель пригодна для практического применения, т.к. в ней достигается высокая степень тесноты связи признаков X и Y, при которой более 50% вариации признака Y объясняется влиянием фактора Х;
• неравенство означает, что построенная модель связи практического значения не имеет ввиду недостаточной тесноты связи между признаками X и Y, при которой менее 50% вариации признака Y объясняется влиянием фактора Х, и, следовательно, фактор Х влияет на вариацию Y в значительно меньшей степени, чем другие (неучтенные в модели) факторы.

     Значение  индекса детерминации R² приводится в табл.2.5 в ячейке В79 (термин "R - квадрат").

     Вывод:

     Значение линейного коэффициента корреляции r и значение индекса детерминации R² согласно табл. 2.5 равны: r =0,913, R² =0,8339. Поскольку и , то построенная линейная регрессионная модель связи  пригодна для практического использования.

3. Общая оценка адекватности  регрессионной модели по F-критерию Фишера

     Адекватность  построенной регрессионной модели фактическим данным (x_i, y_i) устанавливается по критерию Р.Фишера, оценивающему статистическую значимость (неслучайность) индекса детерминации R².

     Рассчитанная  для уравнения регрессии оценка значимости R² приведена в табл.2.6 в ячейке F86 (термин "Значимость F"). Если она меньше заданного уровня значимости α=0,05, то величина R² признается неслучайной и, следовательно, построенное уравнение регрессии может быть использовано как модель связи между признаками Х и Y для генеральной совокупности предприятий отрасли.

     Вывод:

     Рассчитанный  уровень значимости α_р индекса детерминации R² есть

       α_р= 1,97× 10^-12 Так как он меньше заданного уровня значимости α=0,05, то значение R² признается типичным и модель связи между признаками Х и Y применима для генеральной совокупности предприятий отрасли в целом.

4. Оценка погрешности регрессионной модели

     Погрешность регрессионной модели можно оценить  по величине стандартной ошибки построенного линейного уравнения регрессии . Величина ошибки оценивается как среднее квадратическое отклонение по совокупности отклонений исходных (фактических) значений y_i признака Y от его теоретических значений , рассчитанных по построенной модели.

     Погрешность регрессионной модели выражается в  процентах и рассчитывается как  величина ^.100.

     В адекватных моделях погрешность  не должна превышать 12%-15%.

     Значение  приводится в выходной таблице "Регрессионная статистика" (табл.2.5) в ячейке В81 (термин "Стандартная ошибка"), значение    – в таблице описательных  статистик (ЛР-1, Лист 1, табл.3, столбец 2).

     Вывод:

     Погрешность линейной регрессионной модели составляет %, что подтверждает адекватность построенной модели

Задача 6. Дать экономическую интерпретацию:

1) коэффициента регрессии а₁;

3) остаточных величин  _i.

2) коэффициента эластичности К_Э;

6.1. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии а₁

     В случае линейного уравнения регрессии  =a₀+a₁x величина коэффициента регрессии a₁ показывает, на сколько в среднем (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака Y при изменении фактора Х на единицу его измерения. Знак при a₁ показывает направление этого изменения.

     Вывод:

Коэффициент регрессии а₁ =1,089 показывает, что при увеличении факторного признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов на 1 млн руб. значение результативного признака Выпуск продукции увеличивается в среднем на 1,089 млн руб.

 
 

6.2. Экономическая интерпретация  коэффициента эластичности.

     С целью расширения возможностей экономического анализа явления используется коэффициент эластичности , который измеряется в процентах и показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на 1%.