Расчёт сигнала на выходе линейной цепи

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники (ТУСУР)

 

 

 

 

 

 

Кафедра электронных систем

Автоматизации и управления (ЭСАУ)

Расчёт сигнала на выходе линейной цепи

Пояснительная записка к курсовому проекту  по дисциплине 
“Электротехника и электроника”

 

 

 

Студент группы 588-2 
_________А. А. Березников 
«____»_________2010г.

 

Руководитель

Доцент  кафедры ЭСАУ 
_________А.А.Шибаев

«____»_________2010г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                              Томск, 2010

 

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ ЧЕТВЕРТОГО СЕМЕСТРА

 по дисциплине "ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА"

 

Выдано студенту гр. 588-2 Березникову Алексею Алексеевичу

 

Тема: "Расчет сигнала на выходе линейной цепи"

 

Исходные  данные:

1. Схема линейной цепи, вариант - 1          2.  Воздействие s_вх (t) , вариант - 4

 

 Ход  выполнения курсовой работы:

1. Исследовать частотные и временные  свойства линейной цепи, при этом

1.1. Определить и построить АЧХ — K (ω) и ФЧХ — φ (ω) для заданной цепи.

1.2. Определить и построить  переходную характеристику линейной  цепи h(t), проверить выполнение предельных соотношений между K(ω) и h(t).

1.3. Определить и построить,  используя известное соотношение  импульсную реакцию линейной цепи.

1.4. Привести объяснение  полученных результатов на основе  физических представлений о свойствах  данной цепи.

 

2. Исследовать частотные свойства  заданного сигнала, при этом

2.1. Записать математические  модели заданного сигнала для  двух случаев: непериодический  сигнал и периодический сигнал, приняв за период интервал времени Т. Сделать описание временных свойств сигналов.

2.2. Выполнить спектральный  анализ непериодического сигнала  s_вх(t), воспользовавшись методикой “экспресс – спектрального анализа”.

2.3. Определить ширину  спектра непериодического сигнала  s_вх (t), задавшись η = 0.9.

2.4. Построить графики  спектральной плотности S(ω) и фазового спектра φ(ω)

2.5. Выполнить спектральный  анализ периодического сигнала  s_вх(t), при этом амплитуды спектральных составляющих допустимо определить на основе известного соотношения, связывающего спектры непериодического и периодического сигналов.

2.6. Определить ширину  спектра периодического сигнала  s_вх(t), приняв η = 0.9.

 

3. Определить сигнал на выходе  линейной цепи на основе принципа  суперпозиции 

(одним из двух методов — по выбору)

3.1. Определить сигнал на выходе линейной цепи на основе принципа суперпозиции операторным методом или одним из методов временного интегрирования для случая непериодического воздействия s_вх(t). По результатам расчёта построить в едином масштабе времени графики непериодического воздействия s_вх(t) и отклика s_вых(t) на выходе линейной цепи.

3.2. Исследовать влияние соотношения между ω_o=1/τ и Т, характеризующих инерционные свойства цепи и временные свойства сигнала на форму отклика (расчеты выполнить для ω_o·Т = 0,1; 1; 10). Привести объяснение полученных результатов, основываясь на физических представлениях о свойствах данной цепи.

 

4. Компьютерное моделирование.

4.1. С помощью одного из пакетов прикладных программ выполнить моделирование частотных и временных свойств заданной цепи. Промоделировать отклик заданной цепи на заданное воздействие во временной области при различных соотношениях между ω_o и Т: ω_oТ=0,1;1;10.

 

 

5. Сделать обобщающие выводы:

5.1. По временным и  спектральным свойствам линейной  цепи.

5.2. По временным и  спектральным свойствам воздействия.

5.3. По сопоставлению результатов  расчета на основе временных  (спектральных) методов, сравнивая полученные аналитические результаты и физические представления о работе цепи, а также результаты компьютерного моделирования.

 

 

Срок сдачи выполненной работы на проверку………………………………_____________ 2010г.

 

 

Задание выдал доцент кафедры ЭСАУ A.А.Шибаев........................................15 февраля 2010г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1 Введение 5

2 Данные для работы 5

2.1 Схема линейной цепи 5

3 Исследование частотных и временных свойств линейной цепи 6

3.1 Определение АЧХ — K(w) и ФЧХ — j (w) 6

3.2 Определение переходной характеристики линейной цепи 7

3.3 Определение импульсной реакции линейной цепи 8

3.4 Объяснение полученных результатов 9

4 Исследование частотных свойств заданного сигнала 11

4.1 Математические модели непериодического и периодического сигналов 11

4.2 Спектральный анализ непериодического сигнала 12

4.3 Ширина спектра непериодического сигнала 13

4.4 Спектральный анализ периодического сигнала……………………………………14

4.5 Ширина спектра периодического сигнала 16

5 Определение сигнала на выходе цепи. 18

5.1 Определение отклика 18

5.2 Исследование влияния соотношения между w₀ и T 18

6      Моделирование в пакете MicroCap 8.0 19

6.1. Определение АЧХ и ФЧХ 19

6.2. Определение сигнала на выходе линейной цепи 21

7 Обобщающие выводы 22

7.1 Выводы по временным и частотным свойствам линейной цепи 22

7.2 Выводы по временным и частотным свойствам воздействия 22

7.3 Выводы по результатам расчета сигнала на выходе цепи 22

7.4 Обобщающий вывод по проделанной работе 22

 

Введение

Основной целью работы является исследование временных и  частотных свойств заданной цепи, исследование частотных свойств  заданных сигналов, а так же определение  отклика цепи на воздействие (непериодический  сигнал), применяя один из методов временного интегрирования. Исходные данные приведены  ниже.

Исходная цепь

                                        Входной непериодический сигнал

                              

                       

Входной периодический  сигнал

w₀=1/CR=1/t; w=2p/T; 
3. Исследование частотных и временных свойств линейной цепи.

1. Определение АЧХ и ФЧХ

Найдём передаточную функцию  K (w):

 

 

Приняв wτ=x получим:

 

Модуль K комплексной передаточной функции является амплитудно-частотной функцией цепи (АЧХ). Выделим её из предыдущего выражения:

Аргумент комплексного числа  является фазовой частотной функцией цепи (ФЧХ). Выделим эту функцию из выражения, определяющего (х) для данной цепи при помощи встроенной функции MathCad, которая вычисляет аргумент комплексного числа (функции).

Ниже  приведены графики АЧХ и ФЧХ  для исследуемой цепи.

 

 

2. Определение переходной характеристики

Переходная характеристика цепи h(t) есть отклик этой цепи на воздействие на неё единичного скачка напряжения или тока i(t). Для определения переходной характеристики можно воспользоваться операторным методом. По известному изображению комплексной передаточной функции K(р) можно определить изображение отклика, т.е. переходной характеристики:

,

где 1/р – изображение по Лапласу единичной функции (функции Хевисайда) .

p=wi;  x=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полюсами  в данном выражении являются :

 

 

 

 

 

Полученные вычеты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходная характеристика равна сумме полученных вычетов:

     

 

 

 

 

Если приблизительно вычислить значения простых дробей:

 

      

 

Для удобства построения графика и  увеличения наглядности пронормируем h(t) – введем

переменную 

 

 

 

Рис 1.2.1 Переходная характеристика h(x)

Переходная характеристика и передаточная функция связаны  между собой предельными соотношениями:

 

Предыдущие выражения  подтверждают выполнение этих соотношений  для проведённых исследований данной цепи.

 

3.   Определение импульсной реакции

Важной характеристикой  линейной цепи является её импульсная характеристика g(t). Импульсная характеристика есть реакция цепи на импульс очень малой длительности и с достаточно большой амплитудой, которые определяют его энергию. Фактически этот импульс математическая абстракция, обозначаемая как дельта-импульс d(t). Определяется импульсная реакция цепи исходя из соотношения:

;

Воспользуемся этим соотношением для вычисления g(t), подставив в него пронормированное h(t):

 

 

Рис 1.3.1  Импульсная реакция цепи g(t)

3.4. Объяснение полученных результатов на основе физических                                       представлений о свойствах цепи.

 

В основе объяснения полученных результатов  лежит представление о том, что  идеальный конденсатор при воздействии на него напряжением с представляет собой разрыв, с ростом частоты сопротивление конденсатора уменьшается, и на бесконечно высокой частоте конденсатор представляет собой короткое замыкание.

Пусть, модуль комплексного сопротивления обоих конденсаторов равен нулю, эквивалентная схема цепи для данного случая:

 

                                

Т.к . на выходе присутствует короткое замыкание, то всё приложенное напряжение падает на параллельно соединённых  резисторах и сигнал на выходе равен  нулю.

При уменьшении частоты входного сигнала возрастает модуль комплексного сопротивления конденсаторов и увеличивается падение напряжения на них. Т.к. один из конденсаторов подключен параллельно выходу, то соответственно увеличивается и выходное напряжение.  При дальнейшем уменьшении частоты сопротивление конденсаторов становится больше сопротивления резисторов и при эквивалентная схема имеет вид

 

 

 

                :  

Т.е. при  коэффициент передачи цепи стремится к 1.

Из фазочастотной характеристики цепи видно, что выходной  сигнал по фазе отстает от входного. Максимальный сдвиг фаз между выходным и входным сигналами -90⁰ при. Это объясняется тем, что в этом случае весь ток цепи протекает через емкостные элементы, как имеющие нулевое сопротивление. А так как напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰, то и выходное напряжение будет отставать от входного напряжения на 90⁰ . При уменьшении частоты входного сигнала доля емкостной составляющей в токе, протекающем в цепи, уменьшается и цепь приобретает всё более резистивный характер, соответственно и сдвиг фаз между входным и выходным сигналами уменьшается и при стремится к 0.

            Таким образом, данная цепь  является простым фильтром низких частот, с коэффициентом передачи, стремящимся к 1.  

На поведение h(t) и g(t) основное влияние оказывает конденсатор, подключенный параллельно выходу цепи,  т.к. второй конденсатор подключен последовательно одному из резисторов и параллельно второму.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Исследование частотных свойств сигнала

 

4.1. Математические модели и временные свойства сигналов

 

Для непериодического сигнала:

 

 

   Где функция Хэвисайда

Входной непериодический  сигнал

                              

                                 

                                  Входной периодический сигнал

 

 

Для периодического сигнала:

 

 

Временные свойства: представляет собой периодически повторяющуюся последовательность состоящую из линейного понижения амплитуды с 2E на времени 0 до Е на времени Т/2, резкого падения до -E и затем линейного увеличения амплитуды до 0 длительностью на времени T.

 

2. Спектральный анализ непериодического сигнала

Спектральный анализ непериодического сигнала основывается на интегральных преобразованиях Лапласа, а также равенстве Парсеваля. Применим преобразование Лапласа для нахождения комплексной спектральной функции сигнала, а затем её модуля и аргумента.

 

 

 

 

 

Откуда получим комплексную  спектральную функцию:

 

 

 

 

График спектральной плотности  сигнала: