Анализ  электрического состояния  линейных и нелинейных электрических цепей  постоянного тока.

1.1 Расчет  линейных электрических цепей  постоянного тока                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

Для электрической  цепи, изображенной на рисунке  выполнить  следующее:

1) составить  на основании законов Кирхгофа  систему уравнений для определения  токов во всех ветвях схемы;

2) определить  токи во всех ветвях схемы,  используя метод контурных токов;

3) определить  токи во всех ветвях схемы  на основании метода наложения;

4) составить  баланс мощностей для заданной  схемы;

5) результаты  расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы  и сравнить;

6) определить  ток во второй ветви методом  эквивалентного генератора;

7) построить  потенциальную диаграмму для  любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС. 

Дано: Е₁=50В; Е₂=30В; R₁=53Ом; R₂=34Ом; R₃=24Ом; R₄ =18Ом; R₅=25Ом; R₆=42Ом;   r₀₁=1Ом;   r₀₂=1Ом; 

  

Определить: I₁; I₂; I₃; I₄; I₅; I₆ 

Решение:

                                

1. Составим  систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения  токов во всех ветвях.

 Метод  узловых и контурных уравнений  основан на применении первого  и второго законов Кирхгофа. При  расчёте данным методом произвольно  задаём направление токов в  ветвях I₁; I₂; I₃; I₄; I₅; I₆. Составим систему уравнений. В системе должно быть шесть уравнений         (m = 6), т.к. число неизвестных токов также 6. По первому закону Кирхгофа составим   (n—1) уравнений, где n-число узлов. В данной цепи четыре узла, значит, число уравнений: n–1=4–1=3 уравнения.

Составим  три уравнения для любых 3-х  узлов, например, для узлов A,B,D.

Узел A:  I₅ + I₃ – I₄  = 0

Узел B:  I₆ – I₅ – I₁ = 0

Узел D:  I₄ + I₁ – I₂ = 0                                                                                        

Три недостающих уравнения составляем для линейно независимых контуров. Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур  DBAD - обход против часовой стрелки  

 

           Е₁ = –I₁(R₁+ r₀₁) + I₅R₅ + I₄R₄      

Контур  DCBD - обход против часовой стрелки 

           Е₂ – Е₁ = I₂(R₂+ r₀₂) +I₆R₆  + I₁(R₁+ r₀₁) 

Контур  CABC - обход против часовой стрелки  

           0 = I₃R₃ – I₅R₅ – I₆R₆ 

Мы получили систему из шести уравнений с  шестью неизвестными:

               I₅ + I₃ – I₄ = 0

               I₆ – I₅ – I₁ = 0

               I₄ + I₁ – I₂ = 0                                                                                      

               Е₁ = –I₁(R₁+ r₀₁) + I₅R₅ + I₄R₄    

             Е₂ – Е₁ = I₂(R₂+ r₀₂) +I₆R₆  + I₁(R₁+ r₀₁)

              0 = I₃R₃ – I₅R₅ – I₆R₆ 

Решив систему, определим величину и направление  тока во всех ветвях схемы. 

               I₅ + I₃ – I₄ = 0         0   0   1-  1   1     0       0 

               I₆ – I₅ – I₁ = 0    -1   0   0   0 -1     1    0  

               I₄ + I₁ – I₂ = 0                    1   -1 0   1   0     0     0                                                                      

               –54I₁+ 25I₅ + 18I₄  = 50       -54 0 0 18 25    0     50

              35I₂+42I₆  + 54I₁= -20    54 35 0   0    0    42   -20

              24I₃ – 25I₅ – 45I₆  = 0    0   0   24 0   -25 -45  10 
 

I₁ = – 254410/524598 = – 0,48A

I₂ =    134160/524598 = 0,255A

I₃ =    168670/524598 = 0,32A

I₄ =    388570/524598 = 0,74A

I₅ =    219900/524598 = 0,42A

I₆ =  –34510 /524598 = –0,065A 
 

2) Определить токи  во всех ветвях  схемы, используя  метод контурных токов.

Он основан  на использовании второго закона Кирхгофа, что позволяет уменьшить  число уравнений в системе  на n–1. В заданной цепи можно рассмотреть  три контура – ячейки (DBAD; DCBD; CABC) и ввести для них контурные токи Iк₁; Iк₂; Iк₃. Контуры – ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

 

Составляем  уравнения и решаем их.

             

              Е₁ = Iк₁(R₁+ r₀₁+R₄ + R₅) – Iк₂(R₂+ r₀₂) – Iк₃R₅

              Е₂ – Е₁ = Iк₂(R₂+ r₀₂+R₆ + R₁+ r₀₁ ) – Iк₁(R₁+ r₀₁) – Iк₃R₆

              0 =  Iк₃(R₃ +R₅+R₆) – Iк₁R₅ – Iк₂R₆

               97Iк₁ – 54Iк₂ – 25Iк₃ = 50

              –54Iк₁ + 127Iк₂ –45Iк₃  = –20

               –25Iк₁ – 45Iк₂ + 91Iк₃  =  0  

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы Δ  и частные определители Δ₁; Δ₂; Δ₃.

        

              97 -54 -25

   D =   -54 127  -45     = 458373

            -25 -45  91

              

           50 -54    -25

  D₁ =   -20 127   -45     = 355820           

            0    -45    91

         

           97   50   -25     

  D₂ =   -54 -20 -45      = 137910

           -25   0     91

                      

            97   -54  50

 D₃ =    -54 127 -20    = 165950

          -25 -45  0

                       

Вычислим  контурные токи:  

Ik₁ = A 

  Ik₂ = A 

  Ik₃ = A 

Действительные  токи ветвей:

     

 I₁ =  Iк₂ - Iк₁ = -0,48 А

 I₂ =  Iк₂= 0,3 А

 I₃ =  Iк₃ = 0,036 А

 I₄ =  Iк₁ =0,78 А

 I₅ =  Iк₁ - Iк₃ = 0,42 А

 I₆ = Iк₂ - Iк₃ = -0,06 А  

3) Определить токи  во всех ветвях  схемы на основании  метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке  цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных  каждой ЭДС в отдельности.

а) Определим  частные токи от ЭДС Е₁, при отсутствии ЭДС Е₂, то есть рассчитываем цепь по рисунку. Показываем направление частных токов от ЭДС E₁ и обозначаем буквой I с одним штрихом ( I' ).

          R'_2,02 = R₂ + R₀₂  = 35 Ом                                                                                                                

        

R'_A = Oм ;  R'_C = Oм ;            

R'_D = Oм ; 

R'_5A = R₅ + R'_A = 25+5,61 = 30,61 Ом

R'_6C = R₆ + R'_C = 42+10,9 = 52,9 Ом

R'_5,6,A,C = Ом

R'_ЭКВ = R_D + R₁ + R_5,6,A,C + R₀₁ = 81,57 Ом ;

Ток источника:

I'= I'₁ = I'_D = I'_5,6,A,C= А ; 

U'_R1 = I'₁ R₁ = 0,61 * 53 = 32,48  B ;

U'_D = I'_D R'_D = 0,61 * 8,18 = 5,013  B ;

U'_5,6,A,C = I'_5,6,A,C R'_5,6,A,C = 11,88  B ; 

Применяя  форму разброса и 1-й закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей: 

I'₅ = A ;        I'₆ = A ; 
 

I'₃R₃ + I'₅R₅ – I'₆R₆ = 0  ; 

I'₃ = A ;

I'₄ = I'₅ + I'₃ = 0,39 A ;  

I'_2,02 = I'₂  = I'₆ - I'₃ = 0,21 A ; 

б) Определим  частные токи от ЭДС Е₂ при отсутствии ЭДС Е₁, т. е. рассчитываем цепь по рисунку. Показываем направление частных токов от  ЭДС Е₂  и обозначим их ( I '')

Общее сопротивление  цепи:                       

 

  
 

R''_A = Oм ;  R''_B = Oм ; 

R''_C = Oм ;   
 

 

R''_6B = R₆ + R''_B = 13,91+42 = 55,91 Ом

R''_3A = R₃ + R''_A = 4,6 + 24 = 28,6 Ом