Понятие метода иерархий при анализе альтернативных вариантов

g="0" cellpadding="0" style="border-collapse:collapse;margin:0 auto">

	Е1	Е2	...	Еn
Е1	v1/v1	v1/v2	...	v1/vn
Е2	v2/v1	v2/v2	...	v2/vn
...	...	...	...
Еn	vn/v1	vn/v2	...	vn/vn

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т.е.

aij = 1/aji, где aij = vi/vj.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [E], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [E] проводится на основании равенства

,

(1)

где - максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [E] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению , с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле:

,

(2)

где e = {1,1,1,…,1}T - единичный вектор;

k = 1, 2, 3, … - показатель степени;

С - константа;

Т - знак транспонирования.

Вычисления собственного вектора W по выражению (1) производятся до достижения заданной точности:

,

(3)

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2; l = 3, k = 3 и т. д.;

- допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

= eT [E] W.

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была бы взята для сравнения i-го элемента с j-м, aji приписывается значение обратной величины, т.е. aji = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в "a" раз предпочтительнее другого, то последний только в "1/а" раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений[8]. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения от порядка матрицы n.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (ОО) в соответствии со следующими выражениями:

ИО = ( - n)/(n - 1);

OO = ИО/М(ИО),

где М(ИО) - среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл.2).

Таблица 2

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

Порядок матрицы (n) М(ИО) Порядок матрицы (n) М(ИО) Порядок матрицы (n) М(ИО) 1 0,00 6 1,24 11 1,51 2 0,00 7 1,32 12 1,48 3 0,58 8 1,41 13 1,56 4 0,90 9 1,45 14 1,57 5 1,12 10 1,49 15 1,59

В качестве допустимого используется значение ОО 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности ОО > 0,10 то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

Иерархический синтез используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза.

Шаг 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив WA(Bij) относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i=S). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j - порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив WAS относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе отношений (2) и (3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

WAS = {WAES1, WAES2,..., WAESp}

Шаг 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (рис 1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

E12 E13 E23 E13 v1/v1 v1/v2 E23 v2/v1 v2/v2

E22 E23 E33 En3 E23 v2/v2 v2/v3 v2/vn E33 v3/v2 v3/v3 v3/vn En3 vn/v2 vn/v3 vn/vn

Em2 E23 E33 En3 E23 v2/v2 v2/v3 v2/vn E33 v3/v2 v3/v3 v3/vn En3 vn/v2 vn/v3 vn/vn

В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов:

WE = {WE(Eij)}

Полученные значения векторов WE(Eij) используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eij, находящихся на всех иерархических уровнях, кроме последнего, содержащего элементы ESj. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

WAEij = [WAE1i-1, WAE2i-1,..., WAEni-1] WEEji-1

где WAEij - вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1i-1, определяющий j-й столбец матрицы;

WEEij - вектор приоритетов элементов E1i-1, E2i-1, …, Eni-1, связанных с элементом Eij вышележащего уровня иерархии.

Ниже рассмотрен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (Е3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (рис. 1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:

WAE21 = [WAE31 WAE32] WEE21;

WAE22 = [WAE32 WAE33 ... WAE3n] WEE22;

WAE2m = [WAE32 WAE33 ... WAE3n] WEE2m.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии E11 вычисляется следующим образом:

WAE11 = [WAE21 WAE22 ... WAE2m] WEE11

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вычисления индекса ИОи и отношения ООи однородности иерархии[9]. Пусть задана иерархия критериев и альтернатив (рис. 3) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

ИО1 - индекс однородности 1-го уровня;

{ИО2, ИО3} - индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО4, ИО5, ИО6} - индексы однородности для 3-го уровня;