Автоматизированное управление в технических системах

   Рассмотрим  основные понятия, используемые в операционной модели управления запасами:

   Q₁ - объем пополняемого запаса (объем заказываемой партии),шт.

   U - скорость поступления заказанной партии, шт./ед. вр.;

   возможно U = ∞, т.е. мгновенное поступление всей партии Q  ;

   V - скорость расходования запаса, шт./ед. вр.;

   t^Q - интервал между соседними заказами, ед.вр.;

   Т - рассматриваемый (плановый) период времени, ед. вр.

   Рассмотрим  издержки, связанные с созданием  и содержанием запаса. Эти издержки можно сгруппировать следующим образом:

   1) затраты на создание Запаса;

   2) затраты на закупку партии;

   2) затраты на хранение запасов.

   Затраты на создание запаса включают расходы  на оформление заказа, размещение и  заключение договоров, почтовые и телеграфные расходы, расходы по разъездам агентов снабжения, оплату учетных оверашй и т.д. В первом приближении можно считать, что затраты на создание запаса не зависят от объема заказа Q.  Обозначим затраты на создание запаса a , руб.

   Затраты на закупку партии определяются закупочными  ценами единицы запасаемого продукта и объемом партии Q   . Затраты этого вида неизбежны в том случае, если необходимый продукт непрерывно поставляется и тут же потребляется без образования запаса. Поэтому эти затраты не участвуют собственно в модели создания и содержания запасов.

   3 затраты на хранение запасов входят расходы на складские операции; амортизационные расходы использования складского помещения; потери за счет омертвления средств при хранении запаса; потери за счет порчи и морального старения хранящегося продукта; загрузочно-разгурочные, транспортные расходы и т.д. Пусть расходы на хранение единицы продукта в единицу времени составляют b руб./ед.вр. Обозначим расходы в течение цикла t^Q на создание и хранение единицы продукта С. ,руб./шт. Эта величина складывается из затрат на создание в запас единицы продукта (1-я группа) и затрат на хранение единицы продукта (3-я группа).

   Пусть за период Т можно произвести несколько  заказов на однородный продукт с  объемом каждого заказа Q. Если размер разового заказа велик, то число поставок за период Т  небольшое, и издержки 1-й группы невелики, но при этом возрастает среднее количество хранимого запаса и возрастают затраты 3-й группы.

   Если  же делать заказы малыми партиями, то затраты  на хранение небольшого запаса будут велики, но зато из-за большого количества поставок в течение периода  Т   возрастут затраты на оформление большого числа заказов (издержки 1-й группы). Таким образом, задача определения наилучших значений Q и t^Q являются оптимизационной и суть ее сводится к отысканию оптимальных значений Q и t^Q, минимизирующих суммарные расходы на создание и хранение запасов за весь плановый период Т

   Рассмотрим  задачу определения значений  Qo и t^Q - для двух моделей: для модели без страховых запасов и для модели со страховыми запасами.

   Модель  без страховых  запасов

   Предполагается, что U и V ( u>V) - постоянные величины, и в момент полного исчерпания запасов начинается новая поставка, т.е. дефицит продукта не допускается. Графически действие такой модели изображено на рис.3.1.

   Уровень запасов в течение полного  цикла t^Q движения запасов, начинающийся в момент времени t = 0 можно описать следующим образом: 

   

   (3.1.) 
 
 
 
 
 
 
 
 

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Примем  во внимание следующие очевидные  соотношения: 

   

  (3.2.) 

   где Q  - объем заказа.

         С учетом (3.2) выражение (3.1) можно переписать в виде 

         (3.3.) 

   Определим средний объем запаса Q за цикл - t^Q: 

   

    (3.4.) 

   Тогда среднее время хранения единицы  запасенного продукта равно 

   

 

   Пусть b, руб./(шт.ед.вр.), есть затраты на хранение единицы продукта в единицу времени. Тогда за цикл tQ удельные затраты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., составят

   

  (3.5.)

   Удельные затраты на создание в запас единицы продукта,руб./шт., равны

   

   (3.6.)

   Тогда суммарные расходы на создание и  хранение единицы запаса, руб./шт., в  течение цикла t^Q составят

   

    (3.7.)

   

 

   Если  изобразить графически зависимость затрат на создание и содержание запасов от объема заказа Q (рис.3.2), то нетрудно убедиться, что суммарная кривая C(Q)   имеет экстремум, положение которого определяется соответствующими значениями величин правой части соотношения (3.7). Определим оптимальный объем заказываемой партии Q₀.    из условия 

   

  (3.8.) 

   Решая (3.8), получим 

   

                    (3.9.) 

   Если  постановка осуществляется мгновенно, т.е. l= 0 и U = ¥,  оптимальный объем пратии равен

   

    (3.10.) 

   Из  сопоставления (3.10) и (3.9) следует, что при постепенной поставке заказа объем заказываемой партии должен быть больше.

   Величина  удельных дополнительных расходов при  оптимальном объеме заказа q₀   равна 

   

  (3.11.)

   Наконец, оптимальная величина интервала  между соседними заказами составляет

   

  (3.12.)

   Модель  со страховым запасом

   Графически  действие этой модели изображено на рис.3.3., Привлекая рассуждения, которые использовались при рассмотрении предыдущей модели, нетрудно получить следующие результаты. Средее количество запаса Q_ср за цикл t^Q составит 

   

     (3.13)

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   При постоянной скорости расходования запасов V среднее время хранения единицы запасенного продукта равно 

   

  (3.14.) 

   Это выражение отличается от значения tсp   для предыдущей модели наличием постоянного слагаемого Q_cp/V . За цикл t^Q   удельные затраты на хранение единицы запасенного продукта, руб./шт., определяются по формуле

   

            (3.15.)

   Удельные  затраты за цикл на создание в запас  единицы продукта, руб./шт., равны  по-прежнему

   

         (3.16.) 

   В (3.16) не входят расходы на образование Q^CTP, поскольку страховой запас создается однажды и циклически не возобновляется. Дополнительные расходы на запасание и хранение единицы, руб./шт., для заказа объемом  Q   составляют

   

 (3.17.)

   Переменная  С.   в (3.17) имеет экстремум по Q   и величина экстремального значения C₀ , очевидно, отличается от (3.11) на постоя ную величину bQ^стр/V

   Приравняв нулю производную dc/dQ,  , получим: 

   

   откуда       (3.18.) 

   Следовательно, оптимальный объем заказываемой партии в модели со страховым запасом такой же, как и для модели без страхового запаса. Это означает, что и выражение для оптималвного интервала восполнения заказов имеет прежний вид 

   

  (3.19.) 

   Величина  удельных дополнительных расходов   Cо    , соответствую щих Q₀ равна 

   

         (3.20.) 

   что отличается лишь постоянным слагаемым  bq^стр/V от расходов для модели с

   нулевым страховым запасом.

   В модели страховых запасов весьма существенным является вопрос определения оптимального уровня страхового запаса Qo^стр Для определения Q^стр необходимы предположения о вероятностном поведении задержек пополнения запасов Dt и потерях заказчика в результате этих задержек.

   Предположим, что задержка Dt  в выполнении данного заказа не зависит от задержек выполнения других заказов. Кроме того, предположим, что вероятность того, что эта задержка превзойдет время  t , выражается экспоненциальной зависимостью, т.е.

   Тогда

   Плотность вероятности случаной величины  Dt имеет вид

   

   Для экспоненциального распределения  ,  ед. вр. и, следовательно, g   выражается в 1/ед. вр. Физически параметр  g  соответствует среднему количеству задержек в единицу времени, а величина 1/g  есть средняя продолжительность задержки Dt . Предположим далее, что потери заказчика в единицу времени простоя равны В  руб,/ед.вр.

   Время, в течение которого хватит страхового запаса для работы с прежним расходом V , равно

   

   Если  задержка  Dt > t^стр , то заказчик начинает нести потери вследствие простоя. Величина этих потерь равна В(t-t^стр). Величина средних потерь заказчика вследствие простоев определяется математическим ожиданием случайной величины которое можно представить в виде

   

   Рис. 3.4

   Плотность вероятности случайной величины   Dt > t^стр изображена на рис.3.4. Следовательно, для В можно записать 

   

 

   В расчете на единицу заказанного  продукта удельные средние потери, руб./шт., вследствие простоев равны 

   

 

   Дополнительные  удельные расходы, руб./шт., на хранение единицы страхового запаса есть 

   

 

   Таким образом, общие удельные (на единицу  продукта) расходы по хранению страхового запаса плюс средняя величина удельных потерь за счет возможных задержек выполнения заказов определяются выражением

   

   Из  условия   можно найти оптимальную  величину страхового запаса

   

   Ясно, что размер потерь от простоя объекта в единицу времени должен превышать расходы на хранение запаса объема Q₀ в единицу времени, иначе бы эксплуатация объекта стала делом невыгодным, а величина страхового запаса Q^ctp₀ получилась бы отрицательной.