Методы обработки изображений

Рис. 2.1. Моделируемое замутнение – (a); градиенты замутненного изображения  – (b); экстремумы градиентов – (c).

Рис. 2.2. Проекции на плоскость  функций размытия точки, моделирующей замутнение - (а) и восстановленной  по срезам - (b).

Рис. 2.3. Фрагмент исходного  изображения - (а), размытое изображение - (b) и результат его восстановления - (c).

С помощью синтезированной  ФРТ методом инверсной фильтрации затем восстанавливался размытый участок  изображения. На рис. 2.3.с приведен результат  восстановления замутненного фрагмента  рис. 2.3.b, а на рис. 2.3.а, для сравнения, приведено чистое исходное изображение. Отличия размытого и чистого  изображения в смысле квадратичного  критерия качества составили 10%, в то время как отличия восстановленного и чистого изображения составили 4%. Это убеждает в эффективности  предложенного подхода.

3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ СНИМКОВ AVHRR НА УЧАСТКАХ ЗАТЕНЕНИЯ ПОЛУПРОЗРАЧНОЙ ОБЛАЧНОСТЬЮ И ФРАГМЕНТАМИ ОБЛАКОВ

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГИСТОГРАММ

На первом этапе рассмотрим подход, основанный на методе преобразования гистограмм. Этот подход уместно использовать в тех случаях, когда наблюдаемое  изображение подвержено искажающему  влиянию полупрозрачного аэрозольного образования, кроме того, известна гистограмма  распределения яркостей этого участка  видеоданных, полученная в условиях хорошей видимости. Последнюю можно заменить гистограммой соседнего участка изображения, если он текстурно эквивалентен восстанавливаемому участку и не подвержен замутнению на данном снимке. Заметим, гистограмма изображения как усредненная статистическая характеристика более стабильна по сравнению с конкретной реализацией наблюдений. С учетом разрешения прибора AVHRR, когда участок ППЗ 1х1км² отображается в пикселях видеоданных, модель влияния замутнения на приземное изображение в математической форме имеет вид оператора свертки. Функция рассеяния точки для стратифицированных рассеивающих слоев, не прилегающих к отражающей поверхности, имеет дельта составляющую и медленно спадающие протяженные фронты, нам неизвестна.

Попытаемся описать эту  ситуацию с помощью гистограмм. Будем  полагать, что идеальные условия  наблюдения некоторого участка поверхности  Земли формируют распределение  радиояркостей, описываемое гистограммой , а влияние полупрозрачного тумана приводит к искажению гистограммы , так что мы наблюдаем распределение яркости , выраженной в уменьшении динамического диапазона и смещении области определения видеоданных. Вначале для простоты изложения, будем полагать и непрерывными величинами, . Распределение радиояркостей замутненного изображения будем описывать функцией плотности вероятностей . А распределение радиояркостей идеального (эталонного) изображения будем описывать распределением . Для восстановления изображения воспользуемся преобразованиями яркостей, выражаемыми следующим образом

, , (3.1)

где - значения яркости замутненного изображения, а - чистого изображения.

Будем рассматривать класс  восстанавливающих преобразований T(x) однозначных и строго монотонных на , так что и обратное преобразование T^-1(x), также будет строго монотонным на . Условие монотонности сохраняет порядок перехода от черного к белому в шкале яркости восстанавливаемого изображения.

Учитывая тот факт, что  величины и связаны функционально, их вероятностные распределения выражаются следующим образом [3]

, (3.2)

где - обратное преобразование.

Для нахождения преобразования рассмотрим следующую двухэтапную процедуру идентификации . Воспользуемся свойством интегральной функции распределения, интерпретируемой как преобразование, выравнивать частоты, а именно,

, (3.3)

где - интегральная функция распределения и величина распределена равномерно на интервале . С другой стороны по аналогии с (3.3) имеем

,

где - интегральная функция распределения, приравняв выражения , получим

, (3.4)

где обратное преобразование.

Таким образом, переходя на первом этапе к равномерному распределению  яркостей по формуле (3.3), а на втором этапе – обращая преобразование G(y), получим искомое распределение яркостей и выражение для корректирующего преобразования .

Теперь рассмотрим дискретный вариант преобразований (3.4). Пусть  фрагмент оцифрованного изображения (необязательно прямоугольный) и - количество пикселей этого фрагмента. Предположим, что этот фрагмент подвержен искажающему влиянию атмосферы, а - фрагмент оцифрованных данных, снятый в "хороших" условиях видения. Этот фрагмент позволяет восстановить гистограмму .

Когда уровни яркости принимают  дискретные значения, выражение (3.3) имеет  следующий табличный вид 

, , (3.5)

где - число дискретных уровней яркости, - количество элементов из общего числа , имеющих уровень в дискретном изображении.

Соответственно дискретная форма выражения (3.4) имеет вид  следующей таблицы

, , (3.6)

поэтому обращение такой  функции достигается перестановкой  входа и выхода и вместе с (3.5) может  быть использована для коррекции  радиояркостей методом преобразования гистограмм.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ  НА ОСНОВЕ РЕГРЕССИОННЫХ УРАВНЕНИЙ  ПРОГНОЗИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ  РАДИОЯРКОСТЕЙ.

Теперь рассмотрим подход восстановления видеоданных, основанный на использовании регрессионной  зависимости. Восстанавливаемые значения прогнозируемого поля будем описывать  случайной величиной  , а радиояркости полей, являющихся источниками прогнозирующей информации будем описывать случайным вектором , где - - мерное евклидово пространство, , - радиояркости -го канала прибора AVHRR, =5, -знак транспонирования. Взаимосвязь прогнозируемой переменной и вектора будем описывать функционалом регрессии следующего вида

, (3.7)

где - оператор математического ожидания, причем . Если существуют нижеследующие плотности вероятностей случайных величин и , то с учетом (3.7) имеем

, (3.8)

где , , - совместная плотность вероятностей случайных вектора и величины , - плотность вероятности случайного вектора , - плотность вероятности случайной величины , а - интегральная функция распределения . Если в нашем распоряжении имеется выборка попарно независимых одинаково распределенных случайных величин , где n - количество контрольных отсчетов на тестовом участке, для вычисления выражения (3.8) естественно воспользоваться непараметрическими оценками неизвестных распределений по выборочным данным , тогда

, (3.9)

где h - ширина окна (параметр сглаживания или масштаба), описываемого функцией . В качестве K(u) может быть взято ядро Епанечникова следующего вида , где I- индикаторная функция. Возникает проблема оценивания h с учетом конкретной выборки наблюдений . Воспользуемся для оценивания h методом скользящего контроля, заключающимся в том, что строится модифицированная оценка регрессии , в которой последовательно пропускается j-ое наблюдение , . Это наблюдение в точке теперь должно быть восстановлено по всем другим наблюдениям , входящим в уравнение (3.9), наилучшим образом. Критерий качества оценивания h зависит от способности предсказывать набор значений по наборам подвыборок

, (3.10)

где - весовая функция, которую, в простейших случаях, можно и не использовать (положить равной единице). Задача оптимизации (3.10) по параметру h решается численно поисковым методом адаптации. После того, как параметр h в выражении (3.9) для конкретизирован, уравнение регрессии можно использовать для восстановления значений по наблюдаемым и для фрагмента видеоданных, закрытых облаками.

ПРИМЕРЫ КОРРЕКЦИИ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ППЗ

При съемке ППЗ в осенний  и весенний периоды часто наблюдается следующая ситуация. В 1-ом и 2-ом спектральных каналах прибора AVHRR отмечается полупрозрачное замутнение некоторых участков видеоданных. В то же время в 3-ем, 4-ом и 5-ом каналах видим полное экранирование этих фрагментов изображений тепловыми аномалиями. Предпосылкой для использования развиваемых подходов является принцип подобия. На первом этапе восстановления таких изображений проводим коррекцию полупрозрачных участков методом преобразования гистограмм. С этой целью подбираем два текстурно-однородных фрагмента изображения, один из которых "чистый", а другой замутнен и подлежит коррекции. Оцениваем гистограммы с обоих участков и формируем зависимость (3.5), (3.6), на основании которой корректируем замутненный фрагмент. Результат коррекции приведен на рис. 3.2.a. Качество полученного изображения можно оценить по степени адекватности эталонной гистограммы и гистограммы скорректированного изображения (рис. 3.1.a, рис. 3.1.с). Следует учитывать линейчатый характер последней из гистограмм, связанный с дискретностью по яркости преобразуемого изображения. Затем восстанавливались регрессионные зависимости (3.9) на текстурно подобном незамутненном участке. Качество прогнозирования спектральных каналов на контрольном фрагменте, отличном от обучающего, составило 3,4%.

Рис. 3.1. Гистограммы фрагментов изображения: эталонного участка – (a); полупрозрачно замутненного фрагмента  – (b); восстановленного фрагмента – (c).

Рис. 3.2. Коррекция полупрозрачного  замутнения методом преобразования гистограмм (канал 1 и 2) – (a); экранирующая тепловая аномалия в 4-ом (и 5-ом) каналах  – (b); восстановление экранированного  участка изображения в 4-ом (и 5-ом) каналах – (с).

Наконец, на рис. 3.2.а,b,c показан  весь цикл двух этапной процедуры  коррекции и восстановления. На рис. 3.2.a показан фрагмент гистограммной  коррекции полупрозрачного замутнения в 1-м (2-ом) канале. На рис. 3.2.b показано экранирующее тепловое облако в 4-м (и 5-м) канале, которое  в 1-м канале было полупрозрачным. Наконец, на рис. 3.2.c приведен результат восстановления изображения 4-го (5-го) канала с помощью  уравнения непараметрической регрессии. В последнем случае качество восстановления оценить затруднительно, так как  истинное распределение радиояркостей  реконструированного участка нам  неизвестно.

С точки зрения распознавания  и анализа объектов на изображении  наиболее информативными являются не значения яркостей объектов, а характеристики их границ – контуров. Другими словами, основная информация заключена не в  яркости отдельных областей, а  в их очертаниях. Задача выделения  контуров состоит в построении изображения  именно границ объектов и очертаний  однородных областей. 
 
Как правило, граница предмета на фотографии отображается перепадом яркости между двумя сравнительно однотонными областями. Но перепад яркости может быть вызван также текстурой предмета, тенями, бликами, перепадами освещенности, и т.п.  
 
Будем называть контуром изображения совокупность его пикселей, в окрестности которых наблюдается скачкообразное изменение функции яркости. Так как при цифровой обработке изображение представлено как функция целочисленных аргументов, то контуры представляются линиями шириной, как минимум, в один пиксель. Если исходное изображение, кроме областей постоянной яркости, содержит участки с плавно меняющейся яркостью, то непрерывность контурных линий не гарантируется. С другой стороны, если на “кусочно-постоянном” изображении присутствует шум, то могут быть обнаружены “лишние” контуры в точках, которые не являются границами областей. 
 
При разработке алгоритмов выделения контуров нужно учитывать указанные особенности поведения контурных линий. Специальная дополнительная обработка выделенных контуров позволяет устранять разрывы и подавлять ложные контурные линии. 
 
Процедура построения бинарного изображения границ объектов обычно складывается из двух последовательных операций: выделения контуров и их пороговой обработки. 
 
Исходное изображение подвергается линейной или нелинейной обработке, с реакцией на перепады яркости. В результате этой операции формируется изображение, функция яркости которого существенно отличается от нуля только в областях резких изменений яркости изображения. Пороговой обработкой из этого изображения формируется контурный объект. Выбор порога на втором этапе должен производиться из следующих соображений. При слишком высоком пороге могут появиться разрывы контуров, а слабые перепады яркости не будут обнаружены. При слишком низком пороге из-за шумов и неоднородности областей могут появиться ложные контуры.  
 
Поиск границ на основе градиента. Одним из наиболее простых способов выделения границ является пространственное дифференцирование функции яркости. Для двумерной функции яркости A(x, y) перепады в направлениях x и y регистрируются частными производными A(x, y)/x и A(x, y)/y, которые пропорциональны скоростям изменения яркости в соответствующих направлениях.

 
 
 
Рис. 3.3

 
Выделение перепадов яркости иллюстрирует рис. 3.3. На нем можно видеть, что подчеркивание контуров, перпендикулярных к оси x, обеспечивает производная A(x, y)/x (рис. б), а подчеркивание контуров, перпендикулярных к оси y, – A(x, y)/y (рис. в). 
 
В практических задачах требуется выделять контуры, направление которых является произвольным. Для этих целей можно использовать модуль градиента функции яркости который пропорционален максимальной (по направлению) скорости изменения функции яркости в данной точке и не зависит от направления контура. Модуль градиента в отличие от частных производных принимает только неотрицательные значения, поэтому на получающемся изображении (рис. г) точки, соответствующие контурам, имеют повышенный уровень яркости. 
 
Для цифровых изображений аналогами частных производных и модуля градиента являются разностные функции. 
 
Практический пример выделения границ на фотоизображении приведен на рис. 3.4. Исходное изображение (1) является однотонным. На изображении (2) представлен результат вычисления вектора градиента яркости ÑА(x, y) = (A/x, A/y). Как видно на рисунке, в точках большого перепада яркости градиент имеет большую длину. Отфильтровав пиксели с длиной градиента, большей определенного порога a, мы получим изображение границ (3).  
 
 
 
 
Рис. 3.4. 
Недостаток алгоритма - пропуск границы с малыми перепадами яркости и включение в число границ деталей изображения с большими изменениями яркости (шкурка бурундука). При зашумлении изображения карту граничных точек будут загрязнять и просто шум, поскольку не учитывается, что граничные точки соответствуют не просто перепадам яркости, а перепадам яркости между относительно монотонными областями.  
 
Для снижения влияния данного недостатка изображение сначала подвергают сглаживающей гауссовской фильтрации. При сглаживающей фильтрации мелкие несущественные детали размываются быстрее перепадов между областями. Результат операции можно видеть на изображении (4). Однако при этом четко выраженные границы расплываются в жирные линии.  
 
Градиент яркости в каждой точке характеризуется длиной и направлением. Выше при поиске граничных точек использовалась только длина вектора. Направление градиента - это направление максимального возрастания функции, что позволяет использовать процедуру подавления немаксимумов. При этой процедуре для каждой точки рассматривается отрезок длиной в несколько пикселей, ориентированный по направлению градиента и с центром в рассматриваемом пикселе. Пиксель считается максимальным тогда и только тогда, когда длина градиента в нем максимальна среди всех длин градиентов пикселей отрезка. Граничными можно признать все максимальные пиксели с длинами градиента больше определенного порога. Градиент яркости в каждой точке перпендикулярен границе, поэтому после подавления немаксимумов жирных линий не остается. На каждом перпендикулярном сечении жирной линии останется один пиксель с максимальной длиной градиента. 
 
Перпендикулярность градиента яркости к границе может быть использована для прослеживания границы, начиная с некоторого граничного пикселя. Такое прослеживание используется в гистерезисной фильтрации максимальных пикселей. Идея гистерезисной фильтрации заключается в том, что длинный устойчивый граничный контур, скорее всего, содержит в себе пиксели с особенно большим перепадом яркости, и, начиная с такого пикселя, контур можно проследить, переходя по граничным пикселям с меньшим перепадом яркости. 
 
 
 
 
Рис. 3.5. 
При проведении гистерезисной фильтрации вводят не одно, а два пороговых значения. Меньшее (a) соответствует минимальной длине градиента, при которой пиксель может быть признан граничным. Большее (b), соответствует минимальной длине градиента, при которой пиксель может инициализировать контур. После того как контур инициализируется в максимальном пикселе P с длиной градиента, большей b, рассматриваются каждый соседний с ним максимальный пиксель Q. Если пиксель Q имеет длину градиента, большую a, и угол между векторами PQ и Ñ(P) близок к 90^o, то P добавляется к контуру, и процесс рекурсивно переходит к Q. Его результат для исходного изображения на рис. 3.4. показан на рис. 3.5.  
 
Таким образом, алгоритм нахождения границ на основе градиента заключается в последовательном применении следующих операций: 
 
- гауссовская сглаживающая фильтрация;  
 
- нахождение градиента яркости в каждом пикселе;  
 
- нахождение максимальных пикселей;  
 
- гистерезисная фильтрация максимальных пикселей. 
 
Этот алгоритм носит названия алгоритма Кэнни и наиболее часто применяется для нахождения границ.  
 
Поиск границ на основе лапласиана. Известно, что необходимым и достаточным условием экстремального значения первой производной функции в произвольной точке является равенство нулю второй производной в этой точке, причем вторая производная должна иметь разные знаки по разные стороны от точки.  
 
В двумерном варианте аналогом второй производной является лапласиан - скалярный оператор Ѳ(f) = (f/x + f/y).  
 
 
 
 
Рис. 3.6. 
Нахождение границ на изображении с использованием лапласиана может производиться по аналогии с одномерным случаем: граничными признаются точки, в которых лапласиан равен нулю и вокруг которых он имеет разные знаки. Оценка лапласиана при помощи линейной фильтрации также предваряется гауссовской сглаживающей фильтрацией, чтобы снизить чувствительность алгоритма к шуму. Гауссовское сглаживание и поиск лапласиана можно осуществить одновременно, поэтому нахождение границ при помощи такого фильтра производится быстрее, чем при помощи алгоритма Кэнни. Фильтр применяется в системах, где имеет значение и качество результата (обычно уступает алгоритму Кэнни), и быстродействие. Чтобы уменьшить чувствительность к несущественным деталям, из числа граничных точек также можно исключить те, длина градиента в которых меньше определенного порога (рис. 3.6).  
 
4. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯ  
При работе с изображением часто возникает необходимость отделить одну, значимую для пользователя часть (объект), от всего остального (фон). Так, например, в медицинских изображениях выделяется определенный объект для измерений его параметров. Алгоритмы решения этой задачи являются интерактивными, т.к. только пользователь может определить, что является интересующим его объектом, а что относится к фону.  
 
В принципе, поставленная задача может быть решена простейшим способом - пользователь просто обводит объект курсором мыши, но для сложных объектов это потребует значительных усилий и временных затрат.  
 
Алгоритм "Волшебная палочка" (Magic wand) был одним из первых алгоритмов интерактивной сегментации. Пользователь последовательно указывает точки объекта, а алгоритм выделяет окрестные пиксели с похожим цветом и (по решению пользователя) добавляет выделенную область к объекту. Для оценки "похожести" пользователем задается матрица порогов чувствительности расстояния между цветами. Чем он больше, тем больше пикселей выделится на одном шаге. При этом в область "похожих" цветов выделяются только связные пиксели. 
 
Алгоритм неплохо работает при выделении достаточно монотонных по цвету объектов. При сильных вариациях цвета аккуратно отделить объект от фона с помощью данного алгоритма невозможно. При слишком малом пороге чувствительности может не выделяться значительная часть объекта. Увеличение порога приводит к тому, что выделение "протекает" за пределы объекта. В случае пестрого объекта или размытой границы между фоном и объектом алгоритм практически беспомощен.  
 
Алгоритм "умные ножницы" используется с 1996 году, завоевал популярность и был встроен в распространенный редактор фотоизображений Adobe Photoshop. При использовании алгоритма пользователь обводит границу между объектом и фоном, указывая точки на границе с некоторым промежутком, а "умные ножницы" проводят граничную линию между последовательно указанными точками. 
 
 
 
 
Рис. 4.1. 
Представим себе растр изображения в виде графа (рис. 4.1) с ребрами, образованными сторонами пикселей. При указании пользователем двух последовательных точек P и Q алгоритм "ножниц" вычисляет минимальное расстояние между точками P и Q по ребрам графа, при этом условная геометрическая длина каждого ребра на этом пути имеет обратную зависимость от величины цветового перепада пикселей по его сторонам. Поскольку ребра, соответствующие резким цветовым перепадам, будут иметь меньшую условную длину, "умные ножницы" стремятся провести границу именно по таким ребрам.  
 
"Умные ножницы" существенно ускоряют процесс выделения объекта. Однако и они работают не очень хорошо при наличии пестрого фона и/или пестрого объекта. В таких случаях требуется указывать большее количество граничных точек. 
 
Сегментация при помощи разрезов на графах. Третий способ выделения объекта на фоне также основан на теории графов. Пользователь просто отмечает некоторое множество A пикселей, принадлежащих объекту, и некоторое множество B пикселей, принадлежащих фону. Поскольку эти пиксели не обязаны быть рядом с границей, такая разметка не требует от пользователя особых усилий. Результатом алгоритма служит сегментация, в которой все множество A относится к объекту, а множество B - к фону. 
 
Если результат выделения с первого раза не удовлетворяет пользователя, он добавляет в исходные множества пиксели, доотмечая их на изображении. Например, если алгоритм ошибочно отнес кусок объекта к фону, пользователь отмечает часть пикселей этого куска как пиксели объекта (множество A). Результатом перезапуска алгоритма служит уточненная сегментация. 
 
Рассмотрим, как работает алгоритм. Построим граф на растре следующим образом. Пиксельные вершины графа расположим в центре каждого пикселя, а под цветом вершины мы будем понимать цвет пикселя. Каждую вершину соединим с соседними вершинами и получим восемь ребер, которые соединяют центры соседних пикселей. Припишем каждому ребру вес: 
 
(l/L) exp(-s r(C₂, C₂)), 
 
где L - геометрическая длина ребра, C₁ и C₂ - цвета вершин, соединяемых ребром, λ и σ - некоторые (положительные) параметры, r(..) – матрица чувствительности по перепаду цвета. Данный вес тем меньше, чем больше разница между цветами вершин. 
 
Добавим в граф две терминальных вершины, называемые истоком и стоком, и соединим их ребрами с каждой вершиной графа. Ребрам, соединяющим исток с вершинами множества A, и ребрам, соединяющим сток с вершинами множества B, припишем бесконечный вес. 
 
Рассмотрим распределение цветов вершин множества A (например, как гистограмму). Для всех пиксельных вершин не из множества A, припишем ребрам, соединяющим их с истоком, вес, пропорциональный согласованности их цвета с этим распределением цветов, при этом вес ребра будет тем больше, чем больше "похож" цвет вершины на цвета вершин множества A. Аналогичную процедуру проделаем для множества B и ребер, соединяющих пиксельные вершины со стоком. 
 
Все ребра графа "разрежем" на два непересекающихся множества - истоковое и стоковое, и будем считать, что вершины, попавшие в истоковое множество, соответствуют пикселям объекта, а остальные, попавшие в стоковое множество соответствуют пикселям фона. Число возможных вариантов разрезов равно 2^P, где P - число пикселей, так как каждую пиксельную вершину можно отнести либо в истоковое, либо в стоковое множестве. 
 
 
 
 
Рис. 4.2. 
Весом разреза назовем сумму весов всех разрезанных ребер, за исключением ребер с бесконечным весом. Минимальным разрезом назовем разрез с минимальным весом, при этом истоковые пиксели этого разреза будут соответственно отнесены к пикселям объекта, а стоковые – к фону. Граница между объектом и фоном будет проведена по возможности между пикселями с сильно отличающимися цветами.  
 
Идеального разделения, естественно, быть не может. Например, участок изображения может быть похож по цвету на фон (пиксели множества B), но окружен пикселями множества A и не отделен от них резкой границей. В таких случаях выбор параметра λ в формуле веса ребер устанавливает баланс между последними двумя пунктами. При увеличении значения λ, увеличивается важность того, чтобы граница между фоном и объектом проходила между пикселями с разными цветами, а при уменьшении - увеличивается важность того, чтобы пиксели, похожие по цвету на пиксели множества A (или B), были отнесены к объекту (фону). Пример выделения объекта приведен на рис. 4.2. 
 
4.1. Выделение признаков объектов  
 
Выделение признаков позволяет упростить реализацию распознавания или идентификации объектов. При выборе наиболее информативных признаков необходимо учитывать как свойства самих объектов, так и возможности разрешающей способности первичных формирователей сигнала изображения. Выделение признаков проведем на примере обработки монохромных (однослойных) изображений. В цветных изображениях рассмотренные алгоритмы можно применять к каждому цвету в отдельности. 
 
При обработке предпочтительными являются следующие признаки объектов: 
 
– площадь и периметр изображения объекта; 
 
– размеры вписанных простейших геометрических фигур (окружностей, прямоугольников, треугольников и др.); 
 
– число и взаимное расположение углов; 
 
– моменты инерции изображений объектов. 
 
Важной особенностью большинства геометрических признаков является инвариантность относительно разворота изображения объекта, а путем нормирования геометрических признаков друг относительно друга достигается инвариантность относительно масштаба изображения объекта. 
 
Определение площади и периметра. Площадь изображения объекта вычисляется путём подсчёта числа элементов, относящихся к объекту: 
 
A=S(x, y), S(x, y) = , 
 
где L - множество координат массива S(x, y), принадлежащих выделенному объекту. 
 
Периметр изображения объекта Р вычисляется после выделения границ объекта путем суммирования множество контурных точек изображения объекта. 
 
На основе выделенных признаков нормированный признак, инвариантный к масштабу изображения U = A/P² . 
 
Определение радиусов вписанных и описанных окружностей (рис. 4.3) складывается из двух этапов. 
 
 
 
 
Рис. 4.3 
1. Определение координат геометрического центра изображения объекта:  
 
Х_ц = xS(x, y) /S(x, y), Y_ц = yS(x, y) /S(x, y), 
 
где x и y – номера строк и столбцов всех пикселей S(x, y), входящих в объект. 
 
2. Вычисление минимального и максимального расстояний от центра до границ изображения объекта. 
 
 
 
_{Rmax = r(x, ymax); Rmin = r(x, ymin), где x, y Î P (точки периметра).} 
 
Нормированный признак R′ = R_max ⁄ R_min инвариантен к масштабу изображения объекта. 
 
 
Рис. 4.4. 
Определение сторон описанного прямоугольника (рис. 4.4) выполняется следующим образом. Определяются максимальные и минимальные значения абсцисс и ординат изображения объекта x_max и x_min, y_max и y_min, после чего определяются высота и основание прямоугольника:  
 
L = x_max - x_min, H = y_max - y_min. 
 
Данный признак не инвариантен к развороту изображения объекта. 
 
Определение числа и взаимного положения углов. Классический способ определения угловых точек изображения объекта заключается в анализе небольшого фрагмента контура в окрестностях данной точки и в определении радиуса её кривизны. Если радиус окажется меньше установленного порога – это угловой элемент, в противном случае – нет.