где dφ – элементарное угловое  перемещение, т.е. угол, который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением х (рис. 6). Элементарное угловое перемещение dφ характеризуется не только численным значением, но и плоскостью, в которой оно происходит. Чтобы фиксировать эту плоскость, рассматривают вектор , перпендикулярный ей, направление которого находят по правилу буравчика: если буравчик вращать в сторону увеличения углового перемещения φ, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление  вектора . Это же направление будет иметь и вектор угловой скорости . Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду.

Связь между модулями линейной и угловой скоростей имеет вид

.                                     (32)

В векторной  форме 

.                                                 (33)

Рис. 7 поясняет формулу (33)

    Для характеристики равномерного движения точки по окружности вводят также  число полных оборотов п за единицу времени (частота вращения)

,                                                                          (34)

где N – число полных оборотов за время t. Между п и Т существует связь

                                                                                               (35) 

Из формул (28) и (32) следует 

Из формул (28) и (32) следует

.                                                                (36)

    Если  движение точки по окружности не является равномерным, то вводят понятие  углового ускорения .

.                                                                          (37)

Чтобы найти связь между линейным ускорением и угловым ускорением , нужно в выражение подставить значение скорости из (33).

.                                                                      (38)

Так как  , а , то

.                                                                         (39)

Полученное соотношение выражает известное разложение

= + ,                                                                                   (40)

где , = соответственно – тангенциальное и нормальное ускорения. Что касается численных значений, то

  а_τ=βR,

(41)

a_п= ωυ=ωωR= ω²R. 

Уравнения для  угловой скорости и углового перемещения  можно получить, воспользовавшись основными кинематическими уравнениями υ=υ₀+at, S=υ₀t+at²/2. Разделив обе части каждого из этих уравнений на радиус окружности R и учитывая, что φ=S/R, ω=υ/R и β=a/R, получим

ω =ω₀+βt,

(42)

где ω₀ – начальная угловая скорость движения материальной точки.

Лекция  к модулю 2

2.1. Электризация тел.  Электрический заряд.  Элементарный заряд

      Еще в VII в. до н. э. древнегреческий ученый Фалес обнаружил способность  янтаря, натертого шелком, притягивать  легкие предметы. Позже было установлено, что таким же свойством обладают многие тела, предварительно натертые кожей, сукном и т.д. Это явление было названо электризацией (от гр. электрон – "янтарь"). Было установлено, что электризация бывает двух родов: положительная и отрицательная и объясняется существованием электрических зарядов. Внешне электризация проявляется в механических взаимодействиях (притяжении или отталкивании). Заряды одного знака отталкиваются, заряды противоположных знаков – притягиваются. Электрический заряд не может быть сколь угодно малым. Это было обнаружено в ряде классических опытов (первым был опыт Милликена в 1909г.). Наименьший электрический заряд, положительный или отрицательный, равный величине заряда электрона , называется элементарным электрическим зарядом. Все элементарные частицы или обладают элементарным электрическим зарядом или являются незаряженными. Частицы с дробным элементарным зарядом не наблюдались.

      Основными свойствами электрических зарядов  являются: сохранение заряда и дискретность (квантование) заряда.

      Полный  заряд электрически изолированной  системы есть величина постоянная –  закон сохранения заряда:

       .           (1)

      Электрически  изолированной называется система, через границы которой не могут  проникать заряженные частицы. Закон сохранения заряда выполняется и тогда, когда в электрически изолированной системе появляются, либо исчезают электрические заряды. Заряженные частицы всегда появляются или исчезают парами с равными и противоположными зарядами. Закон сохранения заряда связан с релятивистской инвариантностью заряда. Это означает, что величина заряда в различных инерциальных системах отсчета одинакова, т.е. она не зависит от того, движется ли этот заряд или же покоится.

      Дискретность  заряда проявляется в том, что любой заряд есть совокупность элементарных зарядов, т.е. является целым кратным элементарного заряда e.

       ,            (2)

где N – 1, 2,3, ... – целое число.

2.2. Точечный заряд.  Закон Кулона

      От  элементарных зарядов следует отличать точечные заряды. Под ними понимают заряженные тела, линейными размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними. Таким образом, точечный заряд может состоять из множества элементарных зарядов.

      Электростатика  изучает взаимодействие и условия равновесия электрически заряженных тел. Первые количественные исследования по электростатике были выполнены Ш. Кулоном, который в 1785 г. экспериментально, с помощью крутильных весов, установил закон взаимодействия точечных зарядов – закон Кулона, основной количественный закон электростатики.

      Сила  взаимодействия двух точечных зарядов  и пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Для случая взаимодействия зарядов в вакууме (воздухе) закон Кулона имеет вид

       ,            (3)

где – коэффициент пропорциональности. В векторной форме закон Кулона записывается в виде

       .           (4)

      Вектор  совпадает с направлением вектора силы , действующей на заряд (рис. 1).

       В Международной системе единиц СИ k полагают равным , где – электрическая постоянная.

      Единицей  заряда в системе СИ является кулон, измеряется в метрах, тогда сила, вычисленная по формуле (3), измеряется в ньютонах.

      С учетом значения k формула (3) принимает вид

       .           (5)

      Если  взаимодействие зарядов происходит в какой – либо непроводящей среде (диэлектрике), то закон Кулона имеет  вид

       ,           (6)

где носит название диэлектрической проницаемости среды и показывает, во сколько раз сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме больше силы взаимодействия между этими же зарядами в среде.

       Закон Кулона справедлив также для  равномерно заряженных шаров. В этом случае есть расстояние между центрами шаров. Закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Его обобщение приводит, в частности, к электростатической теореме Гаусса. Проверка справедливости закона Кулона и установление границ его применения являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значительные усилия экспериментаторов. Непосредственными опытами и косвенными экспериментальными методами (в случае больших и малых расстояний) установлено, что  закон Кулона можно использовать от расстояний порядка до . Нет оснований сомневаться, что и за пределами этих расстояний закон Кулона также выполняется.

      Как показывает опыт, независимо от числа зарядов, закон Кулона можно использовать для вычисления силы взаимодействия каждой пары из этих зарядов. Это положение носит название принципа суперпозиции сил. Суть его состоит в том, что сила, действующая на выбранный заряд со стороны системы зарядов, есть векторная сумма сил, действующих на этот заряд со стороны каждого заряда системы.

       .            (7)

      В качестве примера найдем силу, действующую  на положительный заряд  со стороны положительных зарядов и . (рис. 2)  Сила, действующая на заряд со стороны заряда равна , а со стороны – . Результирующая сила равна и направлена, как указано на рисунке.

3. Электрическое поле. Напряженность электрического  поля. Однородное  поле и поле  точечного заряда

      Взаимодействие  электрических зарядов осуществляется с конечной скоростью посредством электрического поля. Каждая электрически заряженная частица создает электрическое поле, действующее на другие электрически заряженные частицы. Представление об электрическом (электромагнитном) поле было введено М. Фарадеем в 30-х гг. XIX в. Согласно Фарадею, каждый покоящийся заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле. Причем, электрические заряды всегда связаны с материальным носителем, и поэтому речь фактически идет об электрически заряженных телах. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот. Таким образом, электрическое поле одного заряда может быть обнаружено посредством другого заряда.

      Пусть имеется точечный электрический  заряд q, вокруг которого существует электрическое поле (электрическое поле неподвижных зарядов принято называть электростатическим полем). Назовем этот заряд источником поля, исследуем это поле посредством так называемого пробного точечного заряда . На пробный заряд , помещенный в некоторую точку поля, действует сила, по величине которой можно судить о поле. Величина этой силы зависит как от величины заряда q – источника поля, так и от величины пробного заряда . Таким образом, на разные пробные заряды , и т.д. действуют разные силы , и т.д. Однако отношение силы к величине пробного заряда для всех зарядов одно и то же и зависит лишь от заряда q – источника поля и расстояния до него. Это отношение используют в качестве силовой характеристики электрического поля и называют напряженностью.

       .            (8)

       Из (8) следует, что  и при , .  Таким образом,  напряженность электрического поля численно равна силе, с которой поле данного заряда действует на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. Направление вектора совпадает с направлением вектора силы , действующей на положительный заряд в данной точке поля. Если поле создано положительным зарядом, то вектор направлен по радиус – вектору от заряда (рис. 3). Если же поле создано отрицательным зарядом, вектор направлен к заряду (рис. 4).

      За  единицу напряженности электрического поля принимается напряженность  в такой его точке, где на заряд, равный единице, действует сила, величина которой также равна единице. Единицей измерения напряженности является В/м.