Система отсчета. Вектор перемещения

Лекция  к модулю 1.

Кинематика  1.1. Система отсчета. Вектор перемещения

     Положение материальной точки может  быть определено только по отношению к другому телу (телам), условно принимаемому за неподвижное, которое называют телом отсчета. С телом отсчета связывают систему координат и снабжают его часами (любым периодическим процессом). Тело отсчета, связанные с ним система координат и часы образуют систему отсчета. В кинематике, изучающей движение без рассмотрения  его причин, никакого принципиального различия между системами отсчета нет. Все они равноправны. Выбор систем отсчета определяется только соображениями удобства.

    Для задания положения материальной точки в выбранной системе отсчета достаточно одного радиус- вектора , конец которого совпадает с данной точкой (рис. 1). Если , , – единичные векторы (орты) осей прямоугольной системы координат, то

.                                                                  (1)

    Если  материальная точка движется, то ее положение в пространстве со временем меняется. Это значит, что радиус-вектор или его проекции (координаты х, у, z) на оси координат являются функциями времени.

,

х=х(t),                                                                        (2)

у=у(t),

z=z(t).

    Три скалярных уравнения или одно векторное называют кинематическими уравнениями движения  материальной точки.

    Отрезок, соединяющий начальное положение точки с конечным и направленный от первого к последнему, называется вектором перемещения или просто перемещением.

,                                                                   (3)

где ₁ и ₂ – радиус-векторы, определяющие начальное и конечное положения точки.

    1.2. Траектория. Путь. Векторы  скорости и ускорения

    Совокупность  последовательных положений, занимаемых материальной точкой в процессе движения, образует в пространстве линию, которую называют траекторией. Кинематические уравнения движения задают траекторию точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Решая эти уравнения и исключив из них параметр t, находят уравнение траектории. В зависимости от ее формы различают прямолинейное и криволинейное движения.

    Путь DS есть сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый интервал времени. Путь – величина скалярная и положительная.

    Скорость  и ускорение - основные кинематические характеристики движения. Мгновенной скоростью движения точки в момент времени t называется величина

,                                                       (4)

где – вектор перемещения точки.

     За  конечный промежуток времени Dt движение точки характеризуется вектором средней скорости

.                                                                                                       (5)

На практике чаще используют скалярную среднюю  скорость

.                                                                                               (6)

Мгновенной  скалярной скоростью  называется величина

.                                                                  (7)

Мгновенным  ускорением называется величина

,                                                                 (8)

где – приращение скорости.

    1.3. Равномерное и  равнопеременное  прямолинейные движения

    При равномерном прямолинейном движении  материальной точки вдоль оси  ох ее координата изменяется по закону

х=х₀+υt,                                                                               (9)

где х₀ – начальная координата, υ – скорость точки. Путь, пройденный точкой за время t

S=υt.                                                                            (10)

    При равноускоренном (ускорение постоянно) прямолинейном движении скорость меняется по закону

                                                                                            (11)

где – начальная скорость, – ускорение.

Координата  точки изменяется по закону

х=х₀+υ_0х t + .                                                                                  (12)

Путь, пройденный точкой,

S=υ₀ t + .                                                                (13)

Если  в задаче не задано время, то удобно пользоваться формулой

υ² – υ₀²= 2aS.                                                                                (14)

    Частным случаем прямолинейного равнопеременного движения является свободное падение  тела или движение тела, брошенного вертикально вверх. В этих случаях  ускорение тел постоянно и равно ускорению силы тяжести в данной точке.

    1.4. Криволинейное движение. Тангенциальная и  нормальная            составляющие ускорения

    Для описания криволинейного движения используют понятия радиуса кривизны R и кривизны кривой ρ в данной точке, которые связаны между собой соотношением

.                                                                           (15)

    В общем случае криволинейного неравномерного  движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение определяет оба вида изменения скорости. Криволинейное  движение, как и прямолинейное, характеризуется скоростью

,                                                                                    (16)

где – вектор перемещения, равный разности векторов (t+dt) и (t). Но теперь не только величина вектора , но и его направление зависят от времени. Вектор расположен  по касательной к траектории и направлен в сторону перемещения материальной точки. Если из заданной точки криволинейной траектории построить единичный вектор , направленный по касательной в сторону возрастания координаты S, то

,                                                                              (17)

где υ=dS/dt – величина скорости.

    Вектором  ускорения  называется величина

,                                                                          (18)

причем  , так как

    Направление вектора  в общем случае не совпадает с направлением вектора скорости в данной точке траектории. Вектор = + (рис.3).

     Ускорение

.                                                             (19)

,             (20)

.                  (21)

Величины  и называют соответственно нормальным и тангенциальным ускорениями. Вектор перпендикулярен скорости ₁ и   направлен к центру кривизны (поэтому его и называют нормальным ускорением). Его величина

.                                                                                                                   (22)

Таким образом, величина нормального ускорения в некоторой точке траектории равна отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории в этой точке. В векторной форме

,                                                                     (23)

где – единичный вектор, направленный к центру кривизны. Величина тангенциального ускорения

.                                                                          (24)

Мы учли, что  , где .

В векторной  форме

,                                                                          (25)

где – единичный вектор, касательный к траектории, т.е. вектор направлен по касательной к траектории в данной точке и показывает,  как быстро изменяется величина скорости, а вектор - как быстро изменяется скорость по направлению. Полное ускорение

= + .                                                                                   (26)

Модуль полного  ускорения

.                                                                         (27)

    Примерами криволинейного движения являются движения тел, брошенных горизонтально и  под углом к горизонту, движения планет вокруг Солнца и спутников  вокруг планет, перемещение точек  на ободе вращающегося колеса и т.д.

    1.5. Движение точки  по окружности

     Пусть в начале точка М движется по окружности  радиуса R с постоянной линейной скоростью (рис. 4). Начало координат совместим с центром окружности О.  Для равномерного движения точки по окружности (касательная составляющая ускорения в этом случае равна нулю) величина скорости

,                                           (28)

где Т – период, т.е. время одного полного оборота. Направление скорости непрерывно изменяется,  так что существует нормальное ускорение, постоянно направленное к центру окружности перпендикулярно скорости (по этой причине его называют центростремительным ускорением). Это ускорение приводит к вращению вектора в пространстве с тем же периодом Т. Скорость этого вращения определяется вектором , так как вектор ускорения характеризует быстроту изменения вектора скорости. Из рис.5 видно, что

.                                                                          (29)

Здесь использована та же формула, что и  для скорости υ, но роль радиус-вектора, описывающего окружность, теперь играет вектор . Рисунки 4 и 5 отличаются только обозначениями. Радиус-вектор заменен на вектор скорости . Математические операции над вектором при нахождении скорости и над вектором при нахождении ускорения совершенно одинаковы. Для математики безразлично, какой физический смысл имеют величины, над которыми выполняются математические операции. Исключая из 28 и 29 период Т, получим .                                                                                                                     (30)

    Наряду  с линейной скоростью υ равномерное движение точки по окружности характеризуют угловой скоростью

,                                                                           (31)