Расчет диаграммы тройного сплава

Кафедра Высокотемпературных Процессов, Материалов и Алмазов

Курсовой проект

Построение математической модели диаграммы равновесия Cd-Ag-Cu

Вариант 14

 

 

 

Выполнил студент  группы Ф7-09-2

Саенко И. С.

Москва 2011

Содержание.

 

Задание к курсовой работе                                                                                             3

Теоретическая часть                                                                                                          4

Практическая часть                                                                                                         14

Модель второго порядка                                                                                   14

Неполная кубическая модель                                                                          16

Полная кубическая модель                                                                               18

Модель четвёртого порядка                                                                             20

Вывод                                                                                                                                     23

Используемая литература                                                                                            24

 

Задание к курсовой работе.

Курсовая работа состоит из двух частей: теоретической и практической.

Задание к теоретической  части.

В теоретической части необходимо написать реферат на тему «Планирование  экспериментов при наличии подкомпонентов».

Задание к практической части.

В  практической  части  необходимо  построить  математическую  модель  поверхности 

ликвидуса  тройной  системы  Cd-Ag-Cu.

 

Теоретическая часть.

Планирование эксперимента при наличии подкомпонентов

На практике встречаются смесевые задачи, в которых компоненты смеси сами по себе являются смесями других компонентов. Рассмотрим планирование эксперимента для смесей в случае, когда ɣ компонентов х₁, х₂,. . ., х _ɣ, входящих в смесь с пропорциями с₁, с₂,. . ., с_ɣ, являются смесями других компонентов х^(j)₁, х^(j)_2,…, х^(j)_qj (j = 1, 2,. . ., ɣ) с пропорциями c^(j)₁ , c^(j)₂ ,…, c^(j)_qj  для j-го компонента смеси (рис.1). Такие смеси называются множественными смесями.

Компоненты  х_j ɣ -смеси назовем главными компонентами, а компоненты x^(j)_k (k=1,2,…,q_j) подкомпонентами j-го главного компонента. Эти подкомпоненты входят в ɣ-смесь с пропорциями c_jc^(j)_k. В этом случае равенства

являются очевидными, откуда непосредственно следует, что сумма всех пропорций подкомпонентов основной смеси равна единице

В зависимости от того, изменяются ли пропорции с_j, или с^(j)_k,или оба вместе, можно применить разные методы для математического описания свойств множественных смесей. Если пропорции с^(j)_k заранее зафиксированы и пропорции с_j изменяются, то по отношению к главным компонентам могут быть применены все вышеизложенные планы на симплексе.

Особый интерес для исследования представляет случай, когда с_j - фиксированы, а с^(j)_k изменяются. В этом случае каждый из главных компонентов x_j являющийся смесью q_j подкомпонентов, может быть исследован раздельно, например, симплекс-решетчатым планом {q_j, n_j}, где q_j и n_j соответственно количество подкомпонентов и порядок j-й решетки. Однако такое раздельное исследование каждого из главных компонентов без учета их взаимосвязи, естественно, не обеспечит полного исследования свойств множественной смеси.

Задача может быть решена путем  применения обычных методов планирования на симплексе размерности  относительно  переменных х; однако при этом опыты будут распылены по всему -мерному симплексу и их концентрация в подобласти, определяемой ограничениями

планирования на симплексе размерности мала, адекватного описания свойств смесей в интересующей нас области вряд ли следует ожидать.

Для изучения таких множественных смесей могут быть применимы множественные ɣ -решетки [270, 271]. Множественной ɣ -решеткой, образованной составляющими решетками {q_j, n_j}, называется решетка, элементами (точками решетки) которой являются все упорядоченные ɣ -ки. (С⁽¹⁾_t1, С⁽²⁾_t2 ,...,С^(ɣ)_{t ɣ}), полученные перемножением множеств точек {q_j, n_j}, где верхний индекс соответствует номеру решетки, а нижний — номеру точки из этой решетки 1≤t_j≤N_j, N_j — количество точек в j-й составляющей симплексной решетке. Следовательно, элементы множественной решетки представляют собой всевозможные смеси, образованные смешиванием каждой смеси из первой симплекс-решетки с каждой смесью из второй симплекс-решетки и т. д. В развернутом виде для координат точек множественной решетки получим

Для систематизации точек плана целесообразно ввести понятия типов и классов.

Точки j-й составляющей решетки {q_j, n_j}, содержащие i компонентов, назовем i_j-кратными точками. Множество всех i_j-кратных точек образует класс К_ij i-кратных точек j-й решетки. Класс К_ij  в зависимости от степени решетки n_j разбивается на С^ij-1_nj-1 различных типов Т_ij;lj (l_j = 1, 2, . . ., С^ij-1_nj-1). l_j-й тип содержит все те и только те точки К_ij, у которых первый по порядку ненуле-вой компонент имеет кратность l (рис. 54).

Аналогично простым решеткам можно определить типы и классы для множественных решеток. Точки множества ɣ получаемые перемножением классов К_i1, К_i2 , . . . , К_iɣ , образуют подмножество К_i1, К_i2 , . . . , К_iɣ множества ɣ, называемое классом (i₁, i₂, …, i _ɣ)-кратных точек ɣ-решетки. Так как i= 1, 2,. . . , min (q_j, n_j) = m_j в   ɣ-множестве   окажется m₁ x m₂ x. . .x m_ɣ классов.  Точки   класса К_i1,_i2,…,_iɣ ,  получаемые  перемножением подмножеств T_i1l1, T_i2l2,…,T_iɣlɣ классов К_i1, К_i2 ,…, К_iɣ соответственно образуют подмножество T_{i1,i2…,iɣ;l1,l2,…,lɣ}, называемое типом класса К_i1,_i2,…,_iɣ.

Так как   класс  К_ij содержит С^ij-1_nj-1 типов Т_ij;lj (i = 1, 2,. . . . . . , С^ij-1_nj-1),  множественный   класс   К_i1,_i2,…,_iɣ будет   содержать типов T_{i1,i2…,iɣ;l1,l2,…,lɣ}. Если в типе Т_ij;lj содержится С^ij_qj точек, то в каждом типе точек. Если в классе типов и в каждом типе данного класса имеется одинаковое число точек — , общее количество точек в классе окажется равным

Если имеется m₁ x m₂ x. . .x m_ɣ классов,  то общее число точек в ɣ решетке будет равно

Совокупность всех точек ɣ-решетки представляет собой план эксперимента для исследования свойств множественной смеси.

Построение планов для ɣ-смесей проиллюстрируем на примере ɣ = 2, q₁= 3, q₂ = 3, n₁ = 3, n₂ = 4. В двойственной (ɣ = 2) решетке { q₁, q₂; n₁, n₂} = {3, 3; 3, 4} имеется m₁ x m₂ = min (q₁,n₁) X min(q₂,n₂) = 3*3=9 классов

 

 

Каждый из классов содержит определенное количество типов. Так, например, класс  K_2,2, т. е. класс двойственных смесей, получаемый смешиванием бинарных точек (i₁ = 2) первой составляющей симплексной решетки с бинарными точками (i₂ = 2) второй, содержит С^i1-1_n1-1С^i2-1_n2-1 = С¹₂С¹₃ = 6 типов

Все типы одного  класса содержат  одинаковое  число  точек.

Их число в типах класса К_i1,i2 определяется согласно Сⁱ¹_q1,Сⁱ²_q2. В нашем случае q1=q2 = 3, i1=i2 = 2. Поэтому все типы класса К_3,2 содержат С²₃С²₃ = 3*3 = 9 точек. Так, например, точки типа T_2,2;2,2 и T_2,2;2,3 класса K_2,2 запишутся следующим образом:

 

По   данным   плана   и   результатам   опытов,   проведенных  точках ɣ-решетки методом наименьших квадратов, можно независимо оценить столько же коэффициентов обобщенного полинома, описывающего свойства у-смесей и получаемого перемножением канонических форм полиномов соответствующих составляющих решеток:

где f₁ — полином степени n_j, соответствующий решетке {q_j,n_j}.

Полученная зависимость после  проверки на адекватность может быть использована для предсказания свойств  ɣ-смесей.

Описание свойств множественных  смесей при составляющих решетках первого  порядка. Если все составляющие решетки первого порядка (n_j = 1, f — 1, 2,. . ., ɣ), тополином, описывающий

и имеет следующий вид:

свойства ɣ -смеси, получается перемножением линейных полиномов

Если произведение коэффициентов α⁽¹⁾_f1, α⁽²⁾_f2,…, α^(ɣ)_fɣ обозначим через α_{i1,i2,…,iɣ} то обобщенный полином запишется следующим образом:

Обозначим отклики в точке симплексной решетки (C_t1⁽¹⁾,C_t2⁽²⁾,…,C_tɣ^(ɣ)) с координатами (0,. . ., 0, С_i1⁽¹⁾_t1, 0,. . ., 0, 0, . . ., 0, С_i2⁽²⁾_t2 , 0, . . ., 0;...; 0, . . ., 0, С_iɣ^(ɣ)_tɣ, 0, . . ., 0) через y_{i1;i2;…;iɣ}. Подставляя координаты точек и экспериментальные значения, получим следующие оценки коэффициентов α_{i1;i2;…;iɣ}:

α_{i1;i2;…;iɣ} =y_{i1;i2;…;iɣ}.

Подстановкой полученных оценок получим предсказывающее уравнение

Для расчета ошибок предсказания отклика  в любой точке 

факторного пространства целесообразно  записать уравнение в терминах откликов

В предположении независимости наблюдений и равенства дисперсий σ² {у} предсказание отклика, будет осуществляться с дисперсией

где r_i1;i2;…;iy— число параллельных опытов в точках множественной симплексной решетки. Для минимизации дисперсии предсказания отклика число параллельных опытов следует выбирать пропорционально коэффициентам А.

Описание свойств множественных  смесей при' квадратичных составляющих решетках. Когда все составляющие решетки второго порядка, т. е. n₁= n₂ = . . . = n_y = 2, обобщенный полином получим перемножением квадратичных полиномов

Он имеет следующий  вид 

Обозначив произведение коэффициентов  α_i1⁽¹⁾_k1,…, α_iɣ^(ɣ)_kɣ , через α_i1,k1,…,_iɣ,kɣ обобщенный полином запишем следующим образом:

Пусть имеется в точке  множественной симплексной решетки  с координатами (0,. . ., С_i1⁽¹⁾_t1,. . ., С_k1⁽¹⁾_t1, . . ., 0;...; 0, . . ., С_iɣ^(ɣ)_tɣ,…, С_kɣ^(ɣ)_tɣ, . . ., 0) отклик y_{i1,k1,…;iy,ky}. Подставляя координаты точек множественной решетки и соответствующие им наблюдения  y_{i1,k1,…;iy,ky}, получим систему нормальных уравнений, решение  которой относительно α дает оценки коэффициентов полинома:

где Q — количество пар индексов, не содержащих нуль.

В общем случае оценка регрессионной функции, получаемой перемножением приведенных полиномов, соответствующих {q₁, n₁}-, . . ., {q_y, n_y }-решеткам, производится по данным {q₁, q₂, . . ., q_y; n₁, n₂, . . ., n_y} - множественной решетки следующим образом. Во всех точках множественной решетки реализуются опыты; пропорции всех компонентов и соответствующие результаты опытов подставляются в регрессионное уравнение, и полученная система нормальных уравнений решается относительно неизвестных оценок коэффициентов а.

Вышеизложенную методику исследования свойств множественных смесей проиллюстрируем на примере двойственной (у = 2) решетки типа {3,3; 2,2}.

Составляющие симплексные  решетки {q_j, n_j} = {3,2} содержат три чистых смеси класса К_1j и        C^ij_qjC^ij-1_nj-1 = С²₃С¹₁ = С²₃= 3 бинарных смеси класса K_1j. Классы К_1j и K_2j содержат по одному типу точек (С^ij-1_nj-1 = С⁰₁ = 1 и С^ij-1_nj-1 = C¹₁ = 1 соответственно). Каждая симплексная решетка содержит                N_j = C^nj_gj+nj-1= С²₄ = 6 точек. Смешивая каждую смесь C⁽¹⁾_t1 (C⁽¹⁾_1t1, C⁽¹⁾_2t1, C⁽¹⁾_3t1) из первой составляющей решетки с каждой смесью C⁽²⁾_t2 (C⁽²⁾_1t2, C⁽²⁾_2t2, C⁽²⁾_3t2) из второй решетки, получим точки двойственной решетки. Таким образом, точки двойственной решетки представляют собой все упорядоченные двойки (C⁽¹⁾_t1 , C⁽²⁾_t2), где t_j-я точка j-й составляющей решетки. В двойственной решетке будем иметь m1 х m2 = min(3,2) x min(3,2)=2*2=4 класса. Так как

каждый класс (для любого i_j) будет содержать точки лишь одного типа

В классе К_i1,i2 содержится точек.

 Общее количество точек двойственной симплексной решетки будет равно 

Точки двойственной решетки, записанные в координатах и пропорциях (план эксперимента), приведены в табл. 4.22. Реализация опытов в 36 точках плана  позволит оценить столько же коэффициентов полинома, описывающего свойства двойственных смесей. Этот полином получается перемножением канонических форм полиномов

соответствующих составляющих решеток

Обозначим отклик в точке двойственной симплексной решетки с координатами (0,. . ., С_i1⁽¹⁾_t1,. . ., С_k1⁽¹⁾_t1, . . ., 0;...; 0, . . ., С_i2⁽²⁾_t2,…, С_k2⁽²⁾_t2, . . ., 0)через y_i1,k1;i2,k2. Для оценок а коэффициентов регрессии а получим

Подставив оценки, получим предсказывающее  уравнение для исследуемой двойственной смеси, которое проверяется на адекватность согласно известной методике. В [272, 273] рассмотрено решение частного примера описания свойств двойственной смеси с конкретной решеткой {q₁,q₂; 2, 3}.

Использование описанных в (4.206), данном параграфе алгоритмов планирования и полученных оценок регрессионных коэффициентов обобщающего полинома в сочетании с удобной координатной записью и классификацией точек y-решетки позволит исследователям расширить класс решаемых задач.

Особый практический интерес  представляют вопросы планирования эксперимента для исследования свойств многокомпонентных систем не по всей области изменения относительных содержаний компонентов 0 ≤x_i≤ 1 (i =1, 2, . . .,q), а лишь в некоторой локальной области, определяемой ограничениями