Преобразование Лоренца

Преобразования  Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде 

, 

где . 
 
 

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как: 

где E — единичная  матрица 33,  — тензорное умножение  трехмерных векторов.

Надо иметь  ввиду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1. 

Произвольное  однородное преобразование Лоренца  можно представить как некоторую  композицию вращений пространства и  элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и  одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые. 

Свойства преобразований Лоренца

• Можно заметить, что в случае, когда  , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.  То же самое происходит в случае, когда   . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории — первая является обобщением и уточнением второй, а вторая — предельным случаем первой, оставаясь в этом качестве верной приближенно (с некоторой точностью, на практике часто очень и очень большой) при достаточно малых (по сравнению со скоростью света) скоростях движений.
• Преобразования Лоренца сохраняют инвариантным интервал (если проще, то для ортогональной группы есть инвариант — это инвариант двух точек или интервал, как только мы узнали, что преобразования ортогональны, значит расстояние неизменно в любой системе координат, это можно даже не проверять) для любой пары событий — то есть любой пары точек пространства — времени:

Преобразования  Лоренца являются некоторым обобщением понятия вращения системы координат. Если рассмотреть четырехмерную  поверхность, которую описывают  координаты при равенстве интервала  нулю, то мы обнаружим, что это поверхность  четырехмерного конуса (состоящего из двух частей). Он называется изотропным конусом, внутренюю часть конусов описывает действительный интервал, наружную — мнимый.

• Матрицу преобразования Лоренца при коллинеарных пространственных осях (в системе единиц c=1) можно представить как:

где    В этом легко убедиться, учитывая    и проверив выполнение соответствущего тождества для матрицы преобразования Лоренца в обычном виде.

Если принять  введенные Минковским обозначения , то преобразование лоренца для такого пространства сводится к повороту на мнимый угол в плоскости, включающей ось

(для случая движения вдоль  оси     — в плоскости xx). Это очевидно исходя из подстановки   в матрицу, приведенную чуть выше -и немного изменив ее, чтобы учесть вводимую мнимость временной координаты — и сравнении ее с обычной матрицей вращения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение

Теория относительности не только сделала понятными множество закономерностей, не только позволила предсказать и инженерно рассчитать многие эффекты и их приложения, но и внесла во все это удивительную простоту.

Представления о пространстве и времени составляют основу физического  миропонимания, что уже само по себе определяет значение теории относительности. Особенно велика ее роль в физике ядра и элементарных частиц, в том числе  и для расчетов гигантских установок, которые предназначены для потоков  очень быстрых частиц, необходимых  для экспериментов, позволяющих  продвинуться в изучении строения материи.

Частная теория относительности  необходима как тем, кто разрабатывает  технические и практические приложения её на данном этапе развития, так  и тем, кто разведывает дальнейшие пути в области реальности, где, возможно, появится новая теория. Наконец, знание теории относительности - это просто вопрос элементарной грамотности.

Существует много  опытов, проверяющих простейшие следствия  кинематики частной теории относительности, такие, как изменение массы и  замедление времени (поперечный эффект Доплера, спутниковые часы, масс-спектрографы, ускорители частиц). Все эти опыты  еще ни разу не вошли в противоречие с частной теорией относительности.

Качественные выводы из теоретических построений, обусловленных  частной теорией относительности, и результаты наблюдений убеждают нас  в правильности этой теории. Однако частная теория относительности  вовсе не является неограниченно  применимой формой. Рассмотрение гравитационного  поля требует ее модификации. При  этом частная теория относительности  не полностью заменяется, а становится стержнем этой новой теории. 
 
 
 
 

Заключение

Преобразования  Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО)(при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований ^[3] (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).