Преобразование Лоренца

Министерство  образования РФ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования 

“Казанский национальный исследовательский технологический университет” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат по физике на тему:

Преобразования  Лоренца 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент 1 курса очного отделения

 механического  факультета Салахов Р.Р.

Руководитель: Галимзянова А.Р. 
 
 

Казань 2011 

Введение

Теория относительности  сыграла решающую роль в физике, раскрыв качественно новую взаимосвязь  материальных объектов - тел, частиц, полей - и пространства-времени как формы  их существования. Сначала (в частной  теории относительности) эта взаимосвязь  была лишь кинематической, затем (в  общей теории относительности) закономерно  включила в себя и динамику.

Говорят, что прозрение  пришло к Альберту Эйнштейну в  одно мгновение. Ученый якобы ехал на трамвае по Бёрну (Швейцария), взглянул на уличные часы и внезапно осознал, что если бы трамвай сейчас разогнался до скорости света, то в его восприятии эти часы остановились бы - и времени бы вокруг не стало [5]. Это и привело его к формулировке одного из центральных постулатов относительности - что различные наблюдатели по-разному воспринимают действительность, включая столь фундаментальные величины, как расстояние и время.

Говоря научным  языком, в тот день Эйнштейн осознал, что описание любого физического  события или явления зависит  от системы отсчета, в которой  находится наблюдатель. Если пассажир трамвая, например, уронит очки, то для  него они упадут вертикально вниз, а для пешехода, стоящего на улице, очки будут падать по параболе, поскольку  трамвай движется, в то время как  очки падают. У каждого своя система  отсчета.

И хотя описания событий  при переходе из одной системы  отсчета в другую меняются, есть и универсальные вещи, остающиеся неизменными. Если вместо описания падения  очков задаться вопросом о законе природы, вызывающем их падение, то ответ  на него будет один и тот же и  для наблюдателя в неподвижной  системе координат, и для наблюдателя  в движущейся системе координат. Закон распределенного движения в равной мере действует и на улице, и в трамвае. Иными словами, в  то время как описание событий  зависит от наблюдателя, законы природы  от него не зависят, то есть являются инвариантными. В этом и заключается принцип  относительности.

Как любую гипотезу, принцип относительности нужно  было проверить путем соотнесения  его с реальными природными явлениями. Из принципа относительности Эйнштейн вывел две отдельные (хотя и родственные) теории. Специальная, или частная, теория относительности исходит из положения, что законы природы одни и те же для всех систем отсчета, движущихся с постоянной скоростью. Общая теория относительности распространяет этот принцип на любые системы отсчета, включая те, что движутся с ускорением. Основы частной (или специальной) теории относительности были даны А. Эйнштейном в 1905 г., но свое название она получила лишь в 1916 г. - после того, как было завершено построение общей теории относительности. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Лоренца преобразования, в специальной теории относительности — преобразования координат и времени какого-либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Получены в 1904 Х. А. Лоренцом как преобразования, по отношению к которым уравнения классической микроскопической электродинамики (Лоренца — Максвелла уравнения) сохраняют свой вид. В 1905 А. Эйнштейн вывел их, исходя из двух постулатов, составивших основу специальной теории относительности: равноправия всех инерциальных систем отсчёта и независимости скорости распространения света в вакууме от движения источника света. 
 
 

Преобразованиями  Лоренца в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Аналогично, преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора 

Чтобы явно различить  преобразования Лоренца со сдвигами начала отсчёта и без сдвигов, когда это необходимо, говорят  о неоднородных и однородных преобразованиях  Лоренца.

Преобразования  Лоренца без сдвигов начала отсчёта  образуют группу Лоренца, со сдвигами — группу Пуанкаре, иначе называемую неоднородной группой Лоренца.

С математической точки зрения преобразования Лоренца  — это преобразования, сохраняющие  неизменной метрику Минковского, то есть, в частности, последняя сохраняет при них простейший вид при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (другими словами преобразования Лоренца — это аналог для метрики Минковского ортогональных преобразований, осуществляющих переход от одного ортонормированного базиса к другому, то есть аналог поворота координатных осей для пространства-времени). В математике или теоретической физике преобразования Лоренца могут относиться к любой размерности пространства.

Именно преобразования Лоренца, смешивающие — в отличие  от преобразований Галилея — пространственные координаты и время, исторически стали основой для формирования концепции единого пространства-времени. 

Вид преобразований при коллинеарных (параллельных) пространственных осях 

 

 

 

 

где c — скорость света в вакууме, величины со штрихами измерены в системе K' , без штрихов  — в K. 

Эта форма преобразования (то есть при выборе коллинеарных осей), называемое иногда бустом или лоренцевским бустом (особенно в англоязычной литературе), несмотря на свою простоту, включает по сути всё специфическое физическое содержание преобразований Лоренца, так как пространственные оси всегда можно выбрать таким образом, а при желании добавить пространственные повороты не представляет трудности (см. это в явном развёрнутом виде ниже), хотя и делает формулы более громоздкими. 

• Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть выражающие   через можно получить просто заменой V на − V (абсолютная величина относительной скорости движения систем отсчёта |V| одинакова при измерении её в обеих системах отсчёта, поэтому можно при желании снабдить V штрихом, только при этом надо внимательно следить за тем, чтобы знак и определение соответствовали друг другу) и взаимной заменой штрихованных x и t с нештрихованными.
• Надо иметь ввиду, что в литературе преобразования Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где c = 1, что действительно делает их вид более изящным.
• Видно, что при преобразованиях Лоренца события, одновременные в одной системе отсчёта, не являются одновременными в другой (относительность одновременности), кроме того у движущегося тела сокращается продольный размер по сравнению с тем, какой оно имеет в сопутствующей ему системе отсчёта (лоренцево сокращение), а ход движущихся часов замедляется, если наблюдать их из «неподвижной» системы отсчёта (релятивистское замедление времени).

 

Вывод преобразований

Преобразования  Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым c), как обобщение преобразований Галилея (что было проделано Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые были получены как преобразования, относительно которых ковариантны уравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют законов электродинамики и оптики). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом c в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований. 

Алгебраический  вывод

На основании  нескольких естественных предположений (основным из которых является предположение  о существовании принципиально  максимальной скорости распространения  взаимодействий) можно показать, что  при смене ИСО должна сохраняться  величина 

ds = cdt − dx − dy − dz, 

называемая интервалом. Из этой теоремы напрямую следует общий вид преобразований Лоренца (см. ниже). Здесь рассмотрим лишь частный случай. Для наглядности при переходе в ИСО K ', движущуюся со скоростью V, выберем в исходной системе K ось X сонаправленной с V, а оси Y и Z расположим перпендикулярно оси X. Оси ИСО K ' выберем сонаправленными с осями ИСО K. При таком преобразовании 

 

Мы будем искать линейные преобразования Лоренца, так  как при бесконечно малых преобразованиях  координат дифференциалы новых  координат линейно зависят от дифференциалов старых координат, а  в силу однородности пространства и  времени коэффициенты не могут зависеть от координат, только от взаимной ориентации и скорости ИСО.

То, что поперечные координаты не могут меняться, ясно из соображений изотропности пространства. Действительно, величина y ' не может изменяться и при этом не зависеть от x (кроме как при вращении вокруг V, которое мы исключаем из рассмотрения), в чём легко убедиться подстановкой таких линейных преобразований в выражение для интервала. Но если она зависит от x, то точка с координатой (0,x,0,0) будет иметь ненулевую координату y ', что противоречит наличию симметрии вращения системы относительно V и изотропии пространства. Аналогично для z '. 

Наиболее общий  вид таких преобразований: 

 

где α — некоторый  параметр, называемый быстротой. Обратные преобразования имеют вид 

 

Ясно, что точка, покоящаяся в ИСО K, должна будет  двигаться в ИСО K ' со скоростью -V. С другой стороны, если точка покоится, то 

 

 

Учитывая, что  при смене ИСО не должна меняться ориентация пространства, получим что 

 

Следовательно, уравнение для быстроты однозначно разрешимо: 

 

а преобразования Лоренца имеют вид 

 

 

 

Параметр γ  называется лоренц-фактором. 

Разные формы  записи преобразований

Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами  преобразований в более общем  случае. Для этого радиус-вектор точки 

 

где   — орты, надо разбить на составляющую    параллельную скорости и составляющую    ей перпендикулярную 

 

Тогда преобразования получат вид 

 
 

где   — абсолютная величина скорости,   — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора. 

Эти формулы  для случая параллельных осей, но с  произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые  полученному Герглоцем: 

 
 

 

Обратите внимание, что самый общий случай, когда  начала координат не совпадают в  нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к  преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).