Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Октября 2011 в 17:10, реферат
Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1850 г.). Впервые он был опубликован- в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [4]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам (строительной механики и механики сплошных сред.
I Ширина полосы 11
Фиг. 2.10. Ширива полосы матрицы системы уравнений. (С обозначает, ненулевые коэффициенты.)
между главной диагональю и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не должны сохраняться в машинной памяти. Правильная вычислительная программа использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой •машинной памяти, а также к сокращению времени вычислений. Ширина полосы В ..вычисляется по формуле
B=(R+1)Q, (2.1)
где R—-максимальная по элементам величина наибольшей разности, между номерами узлов в отдельном элементе, Q — число неизвестных (число степеней свободы) в каждом узле. Минимизация величины В связана с минимизацией R, что, в частности, может быть осуществлено последовательной нумерацией узлов при
движении
в направлении наименьшего размера тела.
Два (разных способа нумерации узлов в
теле показаны на фиг. 2.11, а
и б. Наибольшие разности между
номерами узлов для первых элементов на фиг. 2.11, о н б равны 7 и 21 соответственно. Значения R для полных наборов элементов равны 9 и 21. Для ширины полосы получаются значения 10 и 22, если в каждом узле отыскивается по одной неизвестной величине, или значения 20 и 44, если в каждом узле рассматриваются две неизвестные величины. Правильная нумерация узлов в этом примере сокращает машинную память более чем иа 50%.
Нумерация
элементов представляет собой простую
процедуру. В этой книге номер
элемента будет заключаться в
круглые скобки с тем, чтобы избежать
путаницы с номерами узлов. Элемент
(1) на фиг. 2.11, а .содержит узлы с номерами
1, 2 и 8. Нумерация элементов не влияет
на вычислительные аспекты задачи.
2.4. Заключение
При
решении задач методом конечных
элементов используются разнообразные
элементы. Некоторые наиболее важные
из них введены были в этой главе
в связи с рассмотрением
В следующих десяти главах наше внимание будет сосредоточено на симплекс-элементах. Эта группа включает линейный одномерный элемент с двумя узлами, линейный треугольник с тремя узлами и линейный тетраэдр с четырьмя узлами. Упор на эти элементы делается по нескольким причинам. Они просты в теоретическом отношении, что дает возможность легко проиллюстрировать их применение. Треугольный и тетраэдальный элементы могут быть использованы для аппроксимации границ сложной формы, потому что они могут быть ориентированы как угодно. Другой важной причиной является то, что во многих имеющихся вычислительных программах используются эта элементы.
В гл. 18 представлена программа GRID сеточного разбиения, определяющая Номера узлов и координаты треугольных симплекс-элементов в произвольной четырехугольной области. Читатель может воспользоваться этой программой для решения задач, помещенных в конце этой главы, и для получения исходных данных элементов в задачах из глав прикладного характера.
Задачи
5. Несколько электрических кабелей проложено внутри тротуара. Кабели могут рассматриваться как источники, размещенные в узлах. Выберите пригодную для анализа область и разбейте ее на треугольные элементы.
6. Используя программу GRID из гл. 18, определите исходные данные элементов для областей, рассмотренных в задачах 3 и 5
К задаче 5. (Электрические, кабели проложены на глубине 4 см от поверхности. Расстояние между их центрами 4 см.)
.