Метод конечных элементов

Глава 1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
 

 Метод конечных элементов является численным  методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1850 г.). Впервые он был опубликован- в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [4]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам (строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [2], который показал, что метод конечных элементов .можно рассматривать как один из вариантов хорошо .известного метода Рэлея—Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.

 Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при (решении  задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым  уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений также  связано с минимизацией .некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конечных элементов решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.

 Область применения метода конечных элементов  существенно расширилась, когда  было показано [3, 8], что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ (наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как (позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физических задач.

 Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод числен-

•того решения дифференциального уравнения  или системы дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих, цифровых 'Вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря" помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболочек и т. п.

1.1. Основная концепция метода конечных элементов

 Основная  идея метода конечных элементов состоит  в том, что любую  непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций¹'', определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины; с конечном числе точек рассматриваемой области.

  В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна он нужно определить значения этой величины в некоторых  внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой* величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно- перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели (непрерывной величины поступают следующим образом:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
2. Значение непрерывной величины ев каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
3. Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

 4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента¹*.

 Основная  концепция метода конечных элементов  может быть наглядно проиллюстрирована  на одномерном примере заданного распределения температуры в стержне, показанном на фиг. I.I. Рассматривается непрерывная величина Т(х), область определения—отрезок- OL вдоль оси х. Фиксированы и пронумерованы пять точек на оси х (фиг. 1.2,а). Это узловые точки; совсем не

Фиг. 1.1. Распределение температуры  в одномерном стержне

Фиг. 1.2. Узловые точки  и предполагаемые значения Т(х).

обязательно располагать их ша равном расстоянии друг от друга. Очевидно, можно ввести в рассмотрение и более пяти точек, но этих пяти вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать основную идею .метода. Значения Т{х) (в данном случае известны в каждой узловой точке. Эти фиксированные значения представлены графически на фиг. 1.2,6 и обозначены в соответствии с номерами узловых точек через Т\, Т₂,JV

 Разбиение области на элементы может быть проведено  двумя различными способами. Можно, например, ограничить каждый элемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре элемента (фиг. 1.3, о), или разбить область на два элемента, каждый из которых содержит три узла (фиг. 1.3,6). Соответствующий элементу полином определяется по значениям Т(х) в узловых точках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента,, когда на каждый элемент приходится по два узла, функция элемента будет линейна по х (две точки однозначно определяют прямую линию). Окончательная аппроксимация Т(х) будет состоять, из четырех кусочно-линейных функций, каждая из которых определена на отдельном элементе (фиг. 1.4, о).

Другой способ разбиения области  на два элемента с тремя узловыми точками .приводит к представлению функции элемента в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерывных квадратичных функций. Отметим, что это приближение будет имению кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиков обеих этих функций .могут иметь разные значения в третьем узле. 

Фиг. 1.5. Моделирование  двумерной скалярной  функции с помощью  треугольных и  четырехугольных  элементов.

Фиг. 1.6. Моделирование двумерной  скалярной fhraaimi с помощью квадратичного треугольного элемента.

 В общем  случае распределение температуры  неизвестно и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага. Снова определяются множество узлов л значения температуры в этих узлах Ti, Т₂, Тз  которые теперь являются переменными,

 так как они заранее неизвестны. Область  разбивается на элементы, и в каждом мз которых определяется соответствующая функция элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь «отрегулированы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры. Это «регулирование осуществляется путем минимизации некоторой величины связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т(х).

  При .построении дискретной модели непрерывной величины, •определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще (всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фиг. 1.5) или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для" данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, .а для четырехугольного— четырем.

 Если  используемое число узлов больше минимального, то. функции элемента будет соответствовать криволинейная  поверхность. Кроме того, избыточное число узлов- позволяет рассматривать элементы с криволинейными границами. Окончательной аппроксимацией двумерной непрерывной (величины ц>(х, у) будет служить совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, каждая из которых определяется на отдельном элементе с помощью значений <р(х, у) в соответствующих узловых точках.

 Важным  аспектом метода конечных элементов  является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.

1.2. Преимущества и  недостатки

  В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и схватывает все физические задачи, которые могут быть описаны Дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко .используется, являются следующие:

1. Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материален.
2. Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов иди описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.
3. Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если (в этом есть необходимость.

 4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.

 й. Указанные  выше преимущества метода конечных элементов  могут быть использованы при составлении  достаточно общей прот граммы для  решения частных задач определенного  класса. Например, с помощью программы для осесимметрической задачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.

 Главный недостаток метода конечных элементов  заключается в (необходимости составления  вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить "при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного .счета даже -в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.

 (В  настоящее время имеются технологические  возможности для создания достаточно  мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие  и управляющие организации располагают  обширными комплектами вычислительных  программ. Смягчить основной (недостаток  метода конечных элементов .могут  совершенствование вычислительных  программ и создание мощных ЭВМ.

1.3. Структура книги

 Целью этой книги является обсуждение тех  аспектов метода конечных элементов, которые связаны с решением задач механики сплошных сред, в частности задач переноса тепла, гидромеханики, двумерных и трехмерных задач теории упругости. Наряду с основами теории рассматривается реализация метода на ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения физических задач.

 ■В  следующих шести главах рассматриваются  основные аспекты метода конечных элементов:

 1. Дискретизация области; определение узловых точек и элементов.

2. Определение функции элемента для отдельного элемента.

3. Получение из функций элементов кусочно-непрерывной функции, определенной на всей области.
4. Составление системы уравнений путем минимизации функционала, связанного с физической задачей.
5. Решение указанной системы уравнений относительно узловых значений.