Математические основы теории надёжности информационных систем

P[X(t_n+1)=i_n+1/X(t₁)=i₁,…,X(t_n)=i_n]=P[X(t_n+1)=i_n+1/X(t_n)=i_n]. (5.23)

Марковские процессы являются математической схемой, пригодной  для описания эволюции физической системы, которая в любой момент времени  может находиться лишь в одном  из состояний i₁, i₂,…, и для которой при заданном состоянии в данный момент времени дополнительная информация о поведении этой системы в предыдущий момент времени не влияет на условную вероятность этой системы, находится в состоянии i_n+1 в последующие моменты времени. Другими словами, процесс Маркова X(t) обладает следующим свойством: если известно X(t_n), то течение процесса после момента t_n в вероятностном смысле не зависит от его течения до момента t_n (коротко: если известно настоящее, то будущее не зависит от прошедшего).

Процесс Маркова  называется однородным, если для любых  возможных значений i и k и произвольного t ³ 0 вероятность события X(t_n+t) при условии X(t)= i не зависит от t . Условная вероятность

P_ik(t)=P[X(t+t)=k / X(t)=i] (5.24) 

называется вероятностью перехода из состояния i в состояние k за время t. Для любых состояний i и k вероятности перехода обладают свойствами: 

;  ;  . (5.25) 

Последнее соотношение, называемое иногда уравнением Чэпмена-Колмогорова, лежит в основании всех исследований о процессах Маркова.

В теории надежности обычно исследуются случайные процессы (потоки) двух видов: моментов отказов  и моментов окончания ремонтов системы. Если предположить, что все распределения  времени безотказной работы и  времени восстановления отдельных  элементов системы являются экспоненциальными, то случайный процесс X(t), характеризующий число отказов или число произведенных ремонтов, является однородным марковским процессом.

Инженерные расчеты  характеристик и показателей  надежности МП-методом без привлечения  вычислительных машин могут быть выполнены лишь для сравнительно небольших структур системы; такие  структуры будем называть типовыми. Для систем с большим числом состояний  появляются вычислительные трудности, связанные, с решением систем дифференциальных или алгебраических уравнений высокого порядка.

Преобразование  Лапласа лежит в основе операционного  метода решения линейных дифференциальных уравнений и систем. Оно позволяет  преобразовать любую систему  линейных дифференциальных уравнений  в систему линейных алгебраических уравнений.

Пусть функция f(t) кусочно-непрерывна при t ³ 0 и имеет ограниченный рост, т.е. |f(t)| £, Ce^a t, где С и a  – некоторые постоянные. Тогда она называется оригиналом, а функция – ее изображением.

. (5.26)

Для обозначения  оригинала и изображения можно  пользоваться одним и тем же символом. Переход от оригинала к изображению  называется преобразованием Лапласа, а переход от изображения к  соответствующему оригиналу – обратным преобразованием Лапласа.

Чтобы перейти от системы дифференциальных уравнений  к системе алгебраических уравнений, полезно иметь в виду следующие  свойства преобразования Лапласа:

· если f(t)=c₁f₁(t)+ c₂ f₂(t), то f(s)=c₁f₁(s)+ c₂ f₂(s), где c₁ и c₂ – любые постоянные числа;

· изображением производной f’(t) является функция sf(s)-f(t)|_t=0.

При вычислении финальных (предельных) значений функций можно  использовать следующее равенство:

. (5.27)

Решением системы  алгебраических уравнений является набор дробно-рациональных функций  вида

. (5.28)

Если знаменатель  дроби N(s) имеет только простые корни s₁, s₂,…s_n, то оригинал f(t) функции f(s) определяется равенством

. (5.29)

Если знаменатель  дроби N(s) имеет кратные корни: s₁ – кратности r₁, s₂ –кратности r₂, s_k – кратности r_k (r₁+r₂+…+r_k=n),то оригинал f(t) функции f(s) определяется равенством

, (5.30)

где коэффициенты A_ij находятся по формуле

. (5.31) 

i=1,2,…,k j=1,2,…r.