Математические основы теории надёжности информационных систем

Метод ПМП и ПМС, в свою очередь, является обобщением ПМП-метода и основан на математическом аппарате теории полумарковских процессов  с произвольным множеством состояний. Анализ надежности системы этим методом  можно проводить в предположении  произвольности законов распределения времени безотказной работы элементов и времени восстановления.

Приближенные методы включают большую группу так называемых асимптотических методов, в которых  в качестве расчетных формул для  оценки показателей надежности моделей  реальных систем используются соотношения  для некоторых предельных случаев  в определенных классах случайных  процессов (марковских, полумарковских и др.).

Примером такого метода является метод фазового укрупнения, использующий предельные соотношения, доказанные для полумарковских процессов  с конечным множеством состояний.

Другую группу в  классе приближенных методов образуют методы оценки надежности, использующие специальный прием, состоящий в  составлении на основе реальной исследуемой  системы двух формальных моделей, одна из которых в надежностном смысле лучше, а другая – хуже точной модели и в получении, соответственно, верхней и нижней оценок искомого показателя надежности. Примером метода данной группы является метод усечения графа состояний.

Выбор аналитического метода инженерной оценки надежности системы

При выборе аналитического метода расчета надежности анализируются  следующие признаки:

1) вид соединения  элементов в системе;

2) рассматриваемый  участок времени функционирования  системы;

3) наличие или  отсутствие технического обслуживания;

4) типы законов  распределения времен безотказной  работы и времен восстановления  элементов системы ;

5) количество состояний  в системе.

Выбор метода начинается с анализа вида соединения компонентов. Все возможные виды соединения компонентов  объединяются в две группы. К первой группе относится самое “простое” – последовательное соединение. Все остальные виды соединения считаются “сложными” и относятся ко второй группе.

Такому делению  видов соединения элементов соответствует  первый уровень схемы.

На втором шаге рассматривается  участок времени функционирования, на котором исследуется надежность системы. Здесь различаются начальный  участок (простирающийся от момента  включения системы до ее отказа) и стационарный (когда потоки отказов  и восстановлений системы можно  считать установившимися). Выбор  участка времени функционирования однозначно определяет наличие или  отсутствие восстановления системы  после ее отказа, а также искомые  надежностные характеристики и показатели. Такому делению участков времен функционирования системы соответствует второй уровень схемы.

Далее анализируется, подвергается ли система техническому обслуживанию (ТО) или нет. Здесь  под ТО понимается техническое обслуживание, проводимое на системе с резервированием  компонентов и состоящее в  восстановлении (или замене) отказавших компонентов на еще работоспособной  системе.

Влияние ТО на выбор  метода расчета надежностных показателей системы отражено на третьем уровне.

На следующем  шаге рассматриваются типы законов  распределения времен безотказной  работы и восстановления компонентов. Из всех существующих законов распределения  в одну группу выделяется экспоненциальное распределение (exp), все остальные объединяются в группу под названием “произвольные распределения” (ПР).

Если система  не подвергается ТО и не восстанавливается  после отказа, то для расчета ее надежности задаются только законы распределения  времен безотказной работы компонентов (ехр или ПР). Если система восстанавливаемая или допускает ТО, то наряду с законами распределения времен безотказной работы компонентов должны быть заданы законы распределения времен восстановления компонентов. В этом случае следует различать следующие комбинации законов распределения:

1) все законы  распределения времени безотказной  работы компонентов и времени  восстановления экспоненциальные (ехр, ехр);

2) ряд законов  распределений (законы распределения  времени безотказной работы компонентов  или времени восстановления) экспоненциальны, а остальные относятся к группе “произвольные распределения” (ехр, ПР);

3) все законы  распределения времени безотказной  работы компонентов и времени  восстановления относятся к группе  “произвольные распределения” (ПР, ПР).

Следующий этап анализа  системы состоит в оценке (количественной или качественной) числа состояний, в которых может находиться система  в процессе своего функционирования. В общем случае чем больше состояний в системе, тем труднее анализ ее надежностных свойств аналитическими методами. Поэтому исследуемые системы разбиваются на две группы. К первой группе отнесем схемы, процесс функционирования которых сводится к малому числу состояний (10–15) (“М”), ко второй – процесс функционирования которых задан большим числом состояний (“В”).

Если стрелки, отмеченные буквами “М” и ”В”, сходятся к одной точке, это означает, что  число состояний практического  влияния на выбор метода решения  не оказывает.

На этом выбор  метода решения задачи заканчивается, совокупность признаков исследуемой  системы однозначно определяет метод  решения.

Приведенная схема  выбора метода дает лишь определенную ориентировку и результат выбора не следует считать единственным и окончательным. Окончательное  решение относительно целесообразности применения того или иного метода для анализа расчета надежности конкретной системы может быть принято  лишь после выполнения пробных расчетов.

Помимо указанной  схемы выбора метода примем во внимание также следующие рекомендации.

Некоторые рекомендации к выбору метода и расчету надежности системы

С целью упрощения  и облегчения анализа надежности системы можно использовать таблицы  готовых расчетных формул для  таких показателей, как среднее  время безотказной работы Т, среднее время восстановления Т_в, среднее время работы между отказами Т₀, коэффициент готовности К_г для нескольких достаточно широко распространенных классов систем. К ним относятся:

1) параллельное  соединение равнонадежных компонентов (нагруженный резерв);

2) резервирование  равнонадежными компонентами при облегченном резерве;

3) резервирование  равнонадежными компонентами при ненагруженном резерве;

4) резервирование  неравнонадежными компонентами при нагруженном резерве;

5) резервирование  неравнонадежными компонентами при облегченном резерве;

6) резервирование  неравнонадежными компонентами при ненагруженном резерве;

7) параллельное  соединение равнонадежных компонентов (нагруженный резерв) с учетом последствий отказов;

8) дублирование  неравнонадежных компонентов (нагруженный резерв) с учетом последствий отказов;

9) резервирование  равнонадежными компонентами с дробной кратностью при нагруженном, облегченном и ненагруженном резерве;

10) резервирование  равнонадежными компонентами с дробной кратностью при нагруженном резерве с учетом последствий отказов;

11) раздельное дублирование  равнонадежных компонентов при нагруженном и облегченном резерве.

Необходимым условием применения указанных расчетных  формул является экспоненциальность распределений времени безотказной работы и времени восстановления всех компонентов системы.

В связи с наличием таблиц при исследовании конкретной системы следует прежде всего проверить, относится ли она к одному из перечисленных классов, и если да, то непосредственно использовать приведенные в таблицах формулы. И лишь в том случае, если исследуемая система не может быть сведена ни к одному из этих классов, следует обратиться к процедуре выбора аналитического метода.

В связи со сложностью и, в частности, с большим числом компонентов при решении задачи аналитической оценки надежности системы  можно использовать все возможности  декомпозиции исследуемой системы. Во многих случаях имеет смысл  исключить из рассмотрения некоторые  взаимосвязи между компонентами системы, препятствующие декомпозиции, даже ценой снижения точности получаемых решений.

Один из наиболее эффективных путей декомпозиции системы –декомпозиция по выполняемым системой функциям, что реализуется естественным образом, если каждый из компонентов системы участвует в выполнении только одной функции. Этот способ декомпозиции бывает целесообразен и в случаях, когда некоторые компоненты участвуют в выполнении нескольких функций, если доля таких компонентов в их общем числе невелика.

При использовании  декомпозиции оценка надежности системы  включает три основных этапа:

1) разбиение структуры  системы на ряд самостоятельных  блоков (каждый из которых соответствует  отдельной функции системы, отдельной  подсистеме или представляет  собой некоторую типовую надежностную структуру: последовательную, параллельную, мажоритарную и т.п.);

2) выбор метода  и аналитическая оценка надежности  всех блоков, полученных в результате  декомпозиции;

3) выбор метода  и аналитическая оценка надежности  системы в целом на основе  полученных данных о надежности  выделенных блоков.

Следует отметить, что этап (3) не всегда может быть выполнен даже при выполнении этапов (1) и (2), так как в результате одноразового использования приема декомпозиции зачастую устраняются не все трудности  расчета надежности системы. В этом случае следует попытаться этапы (1) и (2) применять последовательно до тех пор, пока или не станет возможно выполнить этап (3), или окажется, что дальнейшая декомпозиция системы  нецелесообразна. Если же в результате неоднократного применения этапов (1) и (2) к исследуемой системе оценка надежности системы по результатам  анализа надежности полученных в  результате декомпозиции структур не может быть проверена изложенными  методами, можно использовать методы вероятностного моделирования.

В тех случаях, когда  надежную структуру системы можно  представить в виде ряда последовательно  соединенных (в смысле надежности) блоков, каждый из которых отображает совокупность технических средств, имеющих автономную систему технического обслуживания и восстановления, можно пользоваться модификацией МП-метода.

Если система  содержит большое количество компонентов, имеющих произвольное распределение  времени безотказной работы, и  имеет как неизбыточную, так и избыточную структуру, но в процессе работы не подвергается техническому обслуживанию и может быть представлена как состоящая из одинаковых в надежностном смысле компонентов, можно использовать W-метод.

Если для исследуемой  системы изложенные аналитические методы не позволяют получить требуемую оценку надежности, можно использовать метод статистического моделирования на ЭВМ.

5.4. Оценка  надежности методом марковских процессов

Основные  допущения и ограничения

Методом марковских процессов (МП-методом) называется метод расчета характеристик и показателей надежности по линейным дифференциальным уравнениям типа массового обслуживания. Предполагается, что процессы отказов и восстановления систем являются марковскими случайными процессами. 

 

 

  

 

Основными допущениями  МП-метода являются:

Ä законы распределения  времени безотказной работы и  времени восстановления каждого  элемента, входящего в системы, являются экспоненциальными;

Ä функционирование системы контролируется непрерывно, т.е. момент отказа обнаруживается немедленно после его возникновения;

Ä в процессе ремонта  происходит полное восстановление отказавших элементов, т.е. интенсивности отказов  элементов не зависят от числа  восстановлений;

Ä восстановление элемента начинается немедленно после его  отказа при наличии свободной  ремонтной бригады, обслуживающей  данный элемент; при отсутствии свободной  ремонтной бригады отказавший элемент  становится в очередь на обслуживание.

МП-метод позволяет  рассчитать надежность невосстанавливаемых  и восстанавливаемых, нерезервированных  и структурно-резервированных систем при любом состоянии резерва (ненагруженном, облегченном, нагруженном), при любом  количестве ремонтных бригад и произвольной дисциплине обслуживания с учетом допущений.

Данный метод  позволяет вычислять следующие  характеристики надежности системы:

- вероятность безотказной  работы P(t);

- функцию готовности К_г(t);

- и такие показатели  надёжности системы, как среднюю  наработку до отказа T₀, коэффициент готовности К_г, наработку на отказ Т, среднее время восстановления Т_в.

Некоторые математические основы 

 

Однородный марковский процесс. Пусть X(t) (t ³ 0) – дискретный случайный процесс с непрерывным временем. Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любого n= 1, 2, 3,..., любых моментов t₁, t₂,…, t_n, t_n+1, удовлетворяющих условиям 0 £ t₁ £ t₂ £…£ t_n, £ t_n+1 и любых возможных значений случайного процесса i₁, i₂,…, i_n, i_n+1 выполняется следующее равенство для условных вероятностей: