Изучение погрешностей измерений

;            (19)

 

и подставив их в (18), находим среднее значение ускорения

 

      (20)

 

3.2 Определяем полную ошибку прямо измеренных величин. Для этого:

3.2.1  Явно сомнительные результаты отбросить как промахи или повторить измерения.

3.2.2  Определить приборные ошибки и как половину цены наименьшего деления шкалы или полного наименьшего разряда цифрового прибора.

3.2.3  Рассчитать среднюю случайную ошибку и как среднее значения разностей    и  

;       (21)

 

Расчет значений и проводить до того знака после запятой, который фигурирует в соответствующих приборных ошибках и .

3.2.4 Сравнить средние случайные ошибки измерений пути и времени с их 
приборными ошибками. В качестве полных ошибок ∆S  и ∆t взять большие значения и ; и

 

3.3  Расчет погрешностей косвенно измеренной величины производится следующим образом:

3.3.1 Продифференцировать расчетную формулу (20) поочередно по 
переменным S и t:

 

  (22)

 

 

3.3.2 Так как da≈∆a, ds≈∆s и dt≈∆t, равенство (22) можно записать:

 

    (23)

 

3.3.3 Слагаемые со знаком минус по модулю, т.к. ошибки прямо измеренных величин складываются. Вместо ∆S и ∆t подставить их полные ошибки ∆_s и ∆_t.

Тогда формула для расчета абсолютной ошибки прямо измеренной величины а записывается:

,    (24)

 

3.3.4 Рассчитать относительную ошибку измерения ускорения по формуле

 

       (25)

Примечание. В данном случае связь между a и S и t выражается в виде частного. Поэтому в этом случае проще проводить вычисления вторым способом с предварительным логарифмированием по следующей схеме:

3.4 Прологарифмировать расчетную формулу

 

lna=ln2+lnS-2lnt     (26)

 

3.5. Продифференцировать (26) по переменным S и t:

 

     (27)

 

3.6 Поменять знак у второго слагаемого и записать (27) в виде

 

     (28)

 

3.7 Рассчитать относительную ошибку по формуле (28), а абсолютную, как

      (29)

Отметим, что оба способа приводят к одинаковому результату. Например, получим формулу для расчета относительной ошибки , используя формулу (23):

 

   (30)

 

Формула (30) аналогичная формуле (27), полученной вторым способом. Однако расчет вторым способом в данном случае проще.

 

4    Графическое изображение результатов измерений

 

Перед построением графика нужно определить, какая из двух величин является независимой переменной, т.е. величиной, значение которой задает сам экспериментатор, и ту величину, которая некоторым образом зависит от первой, независимую переменную откладывают по горизонтальной оси X, а ту величину, которую экспериментатор сам определяет - по вертикальной оси у. Другими словами, по горизонтали откладывается причина, а по вертикали - следствие.

Графики строятся на миллиметровой бумаге. Начинать построение нужно с выбора масштаба. При этом нужно исходить из следующих соображений:

• Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом, как на рис.1а.

 

не правильно     правильно

Рис.1а.

Рис.1б.

 

Чтобы избежать слияния точек, нужно увеличить цену деления масштаба, при этом за начало координат необязательно принимать нулевые значения измеренных величин.

• Масштаб должен быть простым, т.е. одному делению масштаба оси должно соответствовать число единиц измеренной величины кратное 10, 100, 0, 1 и т.д. Можно выбирать масштаб, чтобы делению масштаба соответствовало 2 и 5 единиц. Других масштабов следует избегать, потому, что при нанесении точек придется производить вычисления.
• Масштаб наносится по всей длине обеих осей.
• На осях отмечаются величины, которые на них наносятся, и единицы их измерений.

После нанесения масштаба можно приступать к построению графика, пользуясь следующими указаниями:

4.5  Экспериментальные точки следует отмечать жирными, хорошо заметными точками.

4.6  Не нужно на осях отмечать цифры, соответствующие координатам наносимых точек.

4.7  не следует соединять экспериментальные точки ломаной линией, как изображено на рис.2а, скорее всего зависимость изображается некоторой плавной кривой, как на рис.2б, которая проводится как бы по усредненным значениям экспериментальных данных.

 

 

Рис. 2а

Рис. 2б

 

5    Проведение приближенных вычислений

 

При обработке результатов опыта мы, как уже было показано, имеем дело с приближенными величинами, т.е. величинами, значение которых определено с точность до некоторого десятичного знака. Эта точность может быть обусловлена ограниченной точностью прибора или метода измерений, физическими особенностями измеряемого объекта или достаточным необходимым уровнем точности (например, никому не нужно знать вес автомобиля с точностью до грамма, или высоту шкафа с точностью до миллиметра). Поэтому при проведении обработки результатов прямых измерений и при вычислении на их основе косвенно определяемых величин вычисления следует проводить не точнее, чем это необходимо в данном конкретном случае. Следует иметь в виду, что при проведении арифметических действий над приближенными числами нет смысла оставлять в результате вычисления больше значащих цифр, чем их было в исходных значениях, над которыми выполнялись действия. Существует общее правило, согласно которому все промежуточные вычисления проводятся с сохранением такого числа значащих цифр, которое на единицы превосходит наименьшее число значащих цифр в исходных значениях. При этом последняя значащая цифра является не вполне точной и при записи окончательного результата значение округляется до того наименьшего числа значащих цифр, которое было в исходных значениях. Например:

 

1,234+ 1,3 ~ 2,5.

При округлении руководствуются следующими правилами:

Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3, или 4, то никаких изменений в приближенное значение числа, представленного последовательностью предшествующих цифр, не вносится.

Если за последней сохраняемой цифрой следует 5, 6, 7, 8 или 9, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например:

3,462≈3,5

3,441≈3,4.

6    Форма записи окончательного результата измерения

 

При записи окончательных результатов измерений для большей наглядности и удобства работы с полученными результатами рекомендуется придерживаться следующих правил:

6.1 Абсолютную погрешность всегда указывают вместе с найденным значением измеряемой величины, причем приводят также относительную погрешность.

 

Пример: v=(2,75±0,02) м/с;     0,5%

 

6.2. Абсолютную погрешность всегда выражают в тех же единицах, что и саму измеряемую величину.

 

Пример:  l = (1,815 ±0,005) м

 

6.3 Число, выражающее результат измерения, и его абсолютная погрешность всегда записывается так, чтобы их последние цифры принадлежали одному и тому же десятичному разряду.

 

Пример:   (17,8±0,2) м,

 

но нельзя писать так   (17.85 ±0,2) м

 

Следует отметить, что нуль является значащей цифрой и его надо также писать.

 

Пример:   (17,70 ±0,04) м; 

 

запись неправильна:   (15,7 ± 0,04)м.

 

• Значение абсолютной погрешности необходимо округлять, причем округление следует выполнять в сторону завышения; в сторону занижения округляются только те числа, вторая цифра которых не превышает 1/3 интервала измерения. После округления в значении абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.

 

Пример:   t = 3,67 с;       ∆t = 0,28 с

 

окончательный результат  (3,7 ± 0,3) с.

 

Лабораторная работа №1

 

Изучение погрешностей измерений

 

Цель работы: Оценка погрешностей измерения физических величин.

Оценка погрешности измерений ускорения свободного падения.

1) Измерить период колебаний математического маятника Т₁ для данной его длины l₁. Измерение периода провести 5 раз. Измерить периоды колебаний Т₂, Тз, Т₄ для различных длин маятника l₂, l₃, l₄.

Результаты измерений занести в табл.1.

2) Из формулы математического маятника

3) Рассчитать погрешность измерений ускорения свободного падения. Сравнить относительные погрешности, связанные с измерениями l и Т. Оценить погрешность, вносимую в результат приближенным значением числа π. Сделать вывод.

4) Построить график зависимости Т (1).

 

 

№	l1=20 см		l2=40 см		l3=60 см		l4=80 см
	Т1	∆Тсл	Т1	∆Тсл	Т1	∆Тсл	Т1	∆Тсл
1
2
3
4
5
Ср. зн.

 

 

l, см	, м/с2	εg, %	∆g, м/с2		∆Тпр,с	∆l, м
20
40
60
80