Изучение погрешностей измерений

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Приборостроительный факультет

 

Кафедра экспериментальной и теоретической физики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЗУЧЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

 

по дисциплине «Общая физика»

раздел «Механика. Молекулярная физика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                              Студентка

                                                                                                   Бабчинская Екатерина Дмитриевна

                                                                       

                                                                                  Преподаватель

                                                                                     Бумай Юрий Александрович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   Минск 2011 г.

 

 

Физические измерения и погрешности

 

Измерением называется сравнение интересующей нас физической величины с соответствующим эталоном или измерительным прибором, проградуированным по эталону. По характеру проведения измерений их делят на прямые и косвенные. Под прямыми измерениями понимают такие измерения, при котором в ходе опыта непосредственно измеряется интересующая нас величина. Однако далеко не все величины можно определить путем прямого измерения. Например, плотность тела, определить непосредственным измерением весьма затруднительно. Но известно, что известно, что плотность определяется по формуле

 

      (1)

 

где m и - v масса и объем, v=а.b.c, определяемый, например, геометрическими размерами образца. Измерение массы тела и его объема уже не представляет существенных трудностей, поэтому, измерив на опыте величины m и а,b,c, мы можем подставить их в (1) и рассчитать интересующее нас значение ρ. Такие измерения, при которых интересующая нас величина не измеряется непосредственно, а рассчитывается по некоторой формуле, на основе результатов прямых измерений, называются косвенными измерениями.

 

2    Погрешности измерений

 

Приборные погрешности. Если измерительный прибор исправен и отрегулирован, то на нем можно провести измерения с ограниченной точностью, определяемой типом прибора. Принято приборную погрешность стрелочного прибора считать равной половине наименьшего деления его шкалы. В приборах с цифровым отсчетом приборную ошибку приравнивают к величине одного наименьшего разряда шкалы прибора.

Систематические погрешности - это ошибки, величина и знак которых постоянны для всей серии измерений, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов.

При проведении измерений важен не только учет систематических ошибок, но необходимо также добиваться их исключения.

Систематические погрешности условно разделяются на четыре группы:

1. погрешности, природа которых известна и их величина может быть достаточно точно определена. Такой ошибкой является, например, изменение измеряемой массы в воздухе, которая зависит от температуры, влажности, давления воздуха и т.д.;
2. погрешности, природа которых известна, но неизвестна сама величина погрешности. К таким погрешностям относятся ошибки, обусловленные измерительным прибором: неисправность самого прибора, несоответствие шкалы нулевому значению, классу точности данного прибора;
3. погрешности, о существовании которых можно не подозревать, но величина их зачастую может быть значительной. Такие ошибки возникают чаще всего при сложных измерениях. Простым примером такой ошибки является измерение плотности некоторого образца, содержащего внутри полости;
4. погрешности, обусловленные особенностями самого объекта измерения. Например, при измерении электропроводности металла из последнего берут отрезок проволоки. Погрешности могут возникнуть, если имеется какой-либо дефект в материале - трещина, утолщение проволоки или неоднородность, меняющие его сопротивление.

Случайные погрешности - это ошибки, которые изменяются случайным образом по знаку и величине при идентичных условиях повторных измерений одного и того же параметра.

 

2.1    Истинное значение измеряемой величины

 

Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х₁ х₂ х_i….х_n. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆n_i и вычислим вероятности их выпадения по формуле:  

      (2)

 

Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - х_i, т.е. функцию .

 

                   P_max

х_i

                            х_в                                .

 

Рис. 1.

 

Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат х_i= х_в, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения P_max.

Если этот результат (х_в) принять за истинный (Хв = Хи), то абсолютную ошибку каждого измерения ∆х_i, можно найти  из выражения:   ∆х_i= х_i,- х_в     и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:

 

∆х_i= х_i,- х_в=0      (3)

 

В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n₀ и вероятности выпадения ошибок 

Кроме того, как следует из работ немецкого математика Г. Гаусса, все обсуждаемые выше закономерности наблюдаются на рис 2.

                      -∆x     0       +∆x_i

 

                                                       Рис. 2.

Для повышения точности и снижения трудоемкости Гаусс предложил для нахождения истинного значения измеряемой величины использовать квадратичную функциональную зависимость вероятности ошибок в виде (4) изображенную на рис.3.

 

   (4)

 

y

           0                       (∆х_j)²

 

Рис.3.

 

Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Используем для этого новую функцию (4):

Возьмем производную от этой функции и приравняем её нулю.

 

   (5)

После несложных преобразований получаем:

 

    (6)

 

Таким образом, наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое , получаемое от нескольких идентичных измерений. И этот же результат соответствует истинному значению многих измерений, представленных на Рис. 1.

 

2.2    Обработка результатов прямого измерения

 

Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.

1. Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).
2. Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х₁, х₂ ... х_i ... х_n по формуле:

 

      (7)

 

3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):

= Хi   - Хи      

 

а  затем среднюю абсолютную погрешность:

      (8)

 

4. Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.
5. Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.

Окончательный результат можно представить в виде:    Это означает, что истинное значение лежит в интервале  . ???

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность

 

,       (9)

 

В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем

 

       (10)

 

В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.

 

2.3    Отработка результатов косвенных измерений

2.3.1    Метод частных производных

 

Пусть интересующая нас величина y является некоторой функцией других величин   x_l, x₂, x₃ и т.д., так что

 

у = ƒ(x_l, x₂, x₃...)     (11)

 

причем величины   x_l, x₂, x₃... мы можем измерять путем прямых измерений. В этом случае мы для определения величин и ∆ сначала измеряем все величины, от которых зависит у (x_l, x₂, x₃...) по методике, изложенной в предыдущем параграфе. В результате чего определяем , а также полные погрешности, в определении этих величин, которые обозначим как Наилучшее (среднее) значение косвенно определяемой величины у находится при подстановке в (6) наилучших (средних) значений

 

    (12)

 

Для определения полной абсолютной погрешности величины у необходимо выяснить, как изменяется эта величина при относительно небольших изменениях всех величин, от которых зависит величина у. Это можно сделать с помощью полного дифференциала. Интересующее нас изменение величины

 

   (13)

 

где - обозначают частные производные от функции f по соответствующим переменным. Эти частные производные вычисляются при наилучших (средних) значениях и т.д.

От бесконечно малых изменений величин у, x_l, x₂, x₃... в (13) перейдем к конечным значениям их изменений

 

   (14)

 

где ∆y- искомая полная погрешность величины - значения соответствующих частных производных, вычисленных при наилучших (средних) значениях входящих в них величин.

  - полные погрешности определения величин.

Под частной производной функции ƒ(x, y, z) по переменной X понимают величину:

 

    (15)

 

т.е. это производная, которая вычисляется в предположении, что все переменные, кроме той, по которой берется производная, являются постоянными величинами. Например: пусть . Тогда

 

После вычисления абсолютной ошибки ∆у по формуле (12) находят относительную ошибку как

     (16)

Этот способ удобен в том случае, когда представляет собой алгебраическую сумму.//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

2.3.2    Метод логарифмирования и дифференцирования

 

Если в явном виде функция содержит произведения и (или) частное от деления предпочтителен другой способ. Он основан на том факте, что дифференциал от натурального логарифма дает относительную ошибку измерений:

       (17)

 

3    Общая схема обработки измерений

 

Схему обработки измерений проиллюстрируем на конкретном примере. Предположим, что нам нужно определить ускорение тела, движущегося равноускоренно, без начальной скорости. Выразим ускорение тела из формулы пути для равноускоренного движения:

 

;                .     (18)

 

Здесь S и t - прямо измеряемые величины, а - косвенно измеряемая величина. Обработку результатов проводим в следующей последовательности:

3.1 Проводим n  опытов и получаем n значений S и t. Находим средние значения и