Гидравлический удар

Итак, при попытке рассчитать скорость аналитическими методами мы сталкиваемся с необходимостью брать интеграл функции от самой себя. Это обусловлено тем, что разгон жидкости в трубе относится к неустановившимся («нестационарным») процессам, развитие которых прямо определяется состоянием их важнейших параметров на предыдущем этапе. Теперь понятно, почему теория гидравлического удара так долго находилась лишь на уровне качественного описания явления, а практические расчёты выполнялись на основании опытных данных и эмпирических формул, подходящих только для узкого диапазона условий. Однако получившаяся ситуация не является препятствием для численных методов решения задач, а с учётом возможностей современных компьютеров использование численных методов не представляет проблемы. К тому же для приближения к реальности необходимо учесть и гидравлическое трение, расчёт которого в аналитической форме, мягко говоря, весьма затруднителен...

Расчёт скорости заполняющего трубу  потока с учётом гидравлического  трения.

В реальности для получения заметного  гидроудара скорость потока перед его  остановкой должна быть достаточно большой, так что при расчёте скорости нельзя не учитывать потери от гидравлического трения. К сожалению, расчёты гидравлического трения основаны на эмпирических закономерностях, каждая из которых действует в своём диапазоне скоростей. Поэтому решать такую задачу с учётом всех нюансов наиболее удобно с помощью численных методов. В общем виде её решение заключается в учёте в формуле (14) потерь на гидравлическое трение P_T:

a   =   ((P₀ ± P_T) / ρ ± v² / 2) / x     (16).

Как и прежде, знак «±» указывает  на векторное сложение внешнего давления, скоростного напора и гидравлического  трения. Если движение жидкости направлено от входа трубы — по действию внешнего давления, — то внешнее  давление стремится ускорить поток, но скоростной напор нейтрализует часть этого давления, а гидравлическое трение тормозит поток. Поэтому трение и скоростной напор следует вычитать. Если же движение жидкости направлено ко входу трубы (стадия отбоя — отрицательная скорость), остановить её совместно стремятся все три фактора. Поэтому пока жидкость движется вспять, нужно всё суммировать.

Поскольку расчёты гидравлического трения обычно выполняются как расчёт потерь напора  H_T, они переводятся в потери давления через плотность ρ  и ускорение свободного падения g  как P_T = H_T · g · ρ. Поэтому текущее ускорение с учётом потерь на трение следует рассчитывать по формуле

a   =   (P₀ / ρ ± H_T · g ± v² / 2) / x     (17),

Используя для расчёта потерь в круглой трубе универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, получаем

a   =   (P₀ / ρ ± v² / 2) / x ± λ · v² / (2 · D)   =   P₀ / (ρ · x) ± (v² / 2) · (1 / x + λ / D)     (18),

где  a — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления;  P₀ — внешнее давление на уровне входа в трубу;  ρ — удельная плотность жидкости;  v — скорость жидкости в трубе;  x — текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от «головы» потока до входа в трубу;  λ — безразмерный коэффициент гидравлического трения;  D — внутренний диаметр трубы;  ± — векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать.

Тем не менее, даже рассматривая влияние гидравлического трения лишь с точки зрения качественной оценки, можно сделать важный вывод. Если в начале разгона потока труба частично заполнена жидкостью, после достижения определённой длины заполненного участка, зависящей от внешнего давления и параметров трубы и жидкости, скорость потока перестанет повышаться и начнёт снижаться из-за того, что потери напора на трение превысят напор от внешнего давления. Поэтому слишком длинный пробег снизит силу гидроудара.

При заполнении пустой трубы скорость потока из-за трения начнёт снижаться  сразу с начала заполнения. Однако это не значит, что для получения  максимального гидроудара оптимальная  длина пустой трубы должна быть как  можно меньше: ведь чем меньше длина  трубы, тем меньше длительность гидроудара, а следовательно, и его энергия, и его воздействие на стенки этой трубы. В предельном случае при нулевой длине трубы длительность гидроудара также нулевая, поэтому каким бы теоретически мощным он бы ни был, на практике вообще ничего произойти не может — ведь его энергия будет равна нулю.

Особые случаи.

Теперь рассмотрим особые случаи гидроудара, когда условия существенно отличаются от рассматриваемых до сих пор  «идеально-лабораторных». Наиболее часто  встречающиеся отличия можно свести к следующим случаям.

1. Поток заполняет трубу, которая предварительно уже была частично заполнена жидкостью.
2. Поток сталкивается не с твёрдой неподвижной заглушкой, а с другим потоком жидкости, который может двигаться ей навстречу («лобовое столкновение») или в ту же сторону (новый поток догоняет и «подталкивает» предыдущий).
3. Гидроудар происходит с утечками жидкости из трубы, например, при неполном перекрытии трубы заслонкой или заглушкой, либо в трубе, где имеются дополнительные отверстия помимо входа, через который вливается поток.

Гидроудар в частично заполненной трубе.

Нередко труба, в которую устремился поток, вызвавший гидроудар, бывает уже частично заполнена жидкостью  — неподвижной или движущейся в ту или другую сторону. Рассмотрим два крайних случая — гидроудар  в частично заполненной горизонтальной трубе, где жидкость равномерно распределена по её длине, и гидроудар в вертикальной трубе, где жидкостью уже заполнена часть трубы возле заглушки.

Рассматривая эту ситуацию в  общем, можно сказать, что энергия  гидроудара по сравнению с заполнением пустой трубы уменьшается в число раз k, равное

k  =  V_П / V_Т  =  (V_Т — V_Ж) / V_Т     (19),

где  V_П — незаполненный внутренний объём трубы;  V_T — весь внутренний объём трубы;  V_Ж — объём жидкости в трубе до начала заполнения её потоком.

Соответственно сила гидроудара, определяемая интегральной скоростью всей жидкости в трубе, уменьшится в  √k, то есть пропорционально квадратному корню от отношения незаполненного объёма к общему объёму трубы.

Однако это утверждение полностью  применимо лишь к повторным циклам такого гидроудара. Что же касается первого цикла, и прежде всего его стадии сжатия (первичного удара), то хотя за весь период в общем его энергетика будет соответствовать формуле (19), при внимательном рассмотрении возникают существенные нюансы, зависящие, в том числе, и от того, сосредоточена ли уже находящаяся в трубе жидкость в одном её конце (вертикальное положение) или равномерно распределена по всей её длине (горизонтальное положение).

Гидроудар в частично заполненной  горизонтальной трубе.

Предположим, что горизонтальная труба  равномерно по всей длине заполнена  на некоторую высоту неподвижной  жидкостью. Когда такая труба  вдруг начинает заполняться дополнительным потоком жидкости, он «сминает» ту жидкость, что уже была в трубе. Однако, пока в трубе есть свободное место, эта жидкость не оказывает жёсткого сопротивления, а «подчиняется», под действием напора потока повышая свой уровень и набирая скорость в направлении заполняющего потока. И только когда свободного места в трубе не остаётся, сопротивление становится жёстким и происходит гидроудар.

 
Движение потока в частично заполненной горизонтальной трубе. Более насыщенным цветом показаны области с большей скоростью. Градации показаны условно, нарастание скорости происходит плавно.

Нарастание скорости неподвижной  жидкости происходит плавно. Сначала  она преимущественно движется вверх (уровень поднимается), затем начинает увеличиваться горизонтальная составляющая, которая к моменту поднятия уровня до верха трубы становится равной скорости потока у входа в трубу. Поэтому можно сказать, что по мере приближения потока вектор скорости микрообъёма жидкости, находившейся в трубе, меняет своё направление с вертикального на горизонтальное, одновременно возрастая по абсолютной величине от нуля до скорости на входе в трубу.

С энергетической точки зрения, заполняющий  поток вынужден терять свою энергию  как на подъём уровня, так и на разгон уже имевшейся в трубе  жидкости. Кроме того, через вход в трубу попадёт меньшее количество двигающейся жидкости, обладающей кинетической энергией, поскольку часть объёма трубы уже занята изначально покоящейся жидкостью. А энергия гидроудара определяется именно суммарной энергией всей жидкости находящейся в трубе в момент его начала.

Поэтому энергия гидроудара  E будет равна

E   =   (V_T — V_Ж) · ρ · v² / 2     (20),

где  V_T — весь внутренний объём трубы;  V_Ж — объём жидкости в трубе до начала заполнения её потоком;  ρ — плотность жидкости;  v — скорость заполняющего трубу потока.

Если жидкость в трубе уже  двигалась, при расчёте потерь энергии  заполняющим потоком это необходимо учесть. Здесь важно определить, из-за чего возникает основной гидравлический удар — из-за столкновения двух потоков жидкости или из-за столкновения общего потока с жёсткой заглушкой. В первом случае при встречном движении надо прибавлять, а при попутном вычитать скорость уже имеющейся в трубе жидкости из скорости заполняющего потока, во втором случае — наоборот.

Таким образом, гидравлический удар в  горизонтальной трубе, которая предварительно уже частично заполнена, будет слабее, чем при заполнении пустой трубы.

Гидроудар в частично заполненной  вертикальной трубе.

Рассмотрим развитие гидроудара в  вертикальной трубе, часть которой  возле заглушки уже заполнена  неподвижной жидкостью. Случай, когда  жидкостью заполнена часть трубы  возле входа, рассмотрен выше и описывается  формулами (13) (для сверхтекучей жидкости) и (16)–(18) (с учётом гидравлического трения).

Когда поток сталкивается с неподвижной  жидкостью возле заглушки, гидроудар  возникает немедленно и распространяется в обе стороны — к заглушке и ко входу в трубу. При этом его сила (скачок давления) в соответствии с формулой Жуковского определяется лишь скоростью перед остановкой. Но зато длительность, а, следовательно, и полная энергия, определяется геометрией, то есть расстояниями от места столкновения до заглушки и до входа в трубу.

 
Схема развития гидравлического  удара при заполнении потоком  уже частично заполненной жидкостью вертикальной трубы. Голубым цветом обозначена внешняя среда с исходным давлением, светло-голубым — область пониженного давления, синим — область повышенного давления (зона гидроудара). Синие стрелки показывают перемещение вещества среды (жидкости), красные — перемещение границы зоны повышенного давления (без существенного перемещения вещества). Светло-синяя линия отмечает исходный уровень неподвижной жидкости на расстоянии l от входа в трубу. Цифрами обозначены этапы развития процесса.

Разберём этапы развития этого  процесса более подробно (в скобках  указаны соответствующие цифры на рисунке). Заполняющий трубу поток (этап 1) натыкается на неподвижную жидкость. Поскольку деваться ей некуда, она сразу оказывает жёсткое сопротивление вновь прибывшей жидкости и останавливает её. Поэтому в месте столкновения кинетическая энергия потока сразу начинает переходить в потенциальную энергию упругой деформации, что сопровождается повышением давления — в месте столкновения возникает гидравлический удар (этап 2). Ударная волна от места удара начинает распространяться в обе стороны — как по набегающему потоку, останавливая всё новые его части, так и по неподвижной жидкости, сжимая её (этап 3). Впрочем, благодаря малой сжимаемости жидкостей при таком сжатии вещество почти не перемещается, поэтому неподвижная жидкость фактически остаётся там же, где была до начала гидроудара. Через какое-то время фронты сжатия, движущиеся в разные стороны, достигнут заглушки и выхода из трубы. Когда фронт сжатия достигнет заглушки, не произойдёт ничего, а вот когда фронт сжатия достигнет входа в трубу, ударная волна выйдет в среду и начнёт рассеиваться (этап 4), также как и в фазе (4) «классического» гидроудара.

Затем граница области сжатия начнёт откатываться внутрь трубы (этап 5 здесь  и фаза (5) «классического» гидроудара). Однако пока передний фронт зоны сжатия ещё не достиг заглушки, сильного обратного движения жидкости за задним фронтом сжатия нет. Это обусловлено тем, что импульс исходного потока продолжает распространяться к заглушке до тех пор, пока не достигнет её. При этом на переднем фронте зоны сжатия жидкость как бы слегка «проминается», и всё это выглядит как перетекание освобождающейся энергии деформации с заднего фронта зоны сжатия в сжимаемую жидкость на её переднем фронте. Таким образом, картина несколько отличается от «классики» — возле заглушки мы имеем ещё невозмущённую несжатую неподвижную жидкость, к ней стремительно движется фронт сжатия, а от входа трубы с той же скоростью и в том же направлении уже движется фронт спада давления.

Когда передний фронт зоны сжатия достигает заглушки (этап 6), он как  бы «упирается» в неё, поскольку впереди больше нет жидкости, которую можно было бы сжать. Теперь «разряжаемая» жидкость на заднем фронте области сжатия действительно начинает двигаться обратно ко входу в трубу, поскольку для освобождаемой энергии деформации остаётся только один вариант — превратиться в кинетическую энергию жидкости. Однако при этом надо разогнать и всю жидкость на участке от заднего фронта зоны сжатия до входа в трубу, что занимает некоторое время. Поэтому задний фронт давления несколько «размывается», как показано на этапе 7. Впрочем, по мере разгона жидкости в обратном направлении эта «размытость» заднего фронта становится всё менее выраженной и, в конце концов, картина приближается к «классической» фазе (6). Этот механизм преобразует относительно мощный, но короткий импульс первичного удара в более слабый, но имеющий «стандартную» (т.е. ту же, что при заполнении пустой трубы) длительность — такую же, как и во всех последующих циклах.