Философия математики

       Строгое обоснование дифференциального  и интегрального исчисления Коши развивает в лекциях и сочинениях в 20-е годы XIX века. Осуществляя построение анализа на базе теории пределов, Коши не только стремится завоевать признание  бесконечно малых и оправдать  их применение. Он дает научное истолкование алгоритму их использования. В мировоззрении  этого выдающегося математика не религиозные выравнивания составляли основу научного творчества. Такой  основой были стихийно-материалистические принципы, закрепленные под влиянием Монжа. Однако они сочетались с религиозной  убежденностью, выработанной под воздействием той среды, в которой воспитывался и жил Коши.

       В конечном итоге под давлением  объективных потребностей математического  познания идея актуальной бесконечности  со временем, завоевала признание. Она  получила четкую формулировку в работах  современника Коши - талантливого чешского ученого Больцано. Он был знаком с гегелевской трактовкой и выступил с ее критикой "Я не допускаю только того, что бы философу был известен какой-либо предмет, которому он был бы в праве приписать свою бесконечность, как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества", - писал Больцано.

       На  примере критических замечаний  Больцано видно, что у математиков вызывали отрицательное отношение резкие гегелевские суждения об их науки, они выступили с осуждением обособления математически выразимого количества от качества, которое действительно имеет место у Гегеля. Вместе с тем у Больцано имеет место и определенное недопонимание истинного смысла гегелевской трактовки понятия бесконечного, поскольку призыв великого философа не ограничивался выявленным количественным аспектом бесконечного, был актуальным, важным для развития математики.

       Известно, что неевклидова геометрия была почти одновременно открыта несколькими  учеными. Это были Н.И. Лобачевский, К.Ф. Гаусс и Иоанн Больаи. Однако Н.И. Лобачевский по праву заслужил славу творца неевклидовой геометрии.

       Создание  новой геометрии относится к  числу тех открытий, значение которых  выходит за пределы математики. В  сложном процессе формирования этого  научного результата, необходимо отметить только один аспект: ту мировоззренческую  основу, исходя из которой такие  математики, как Гаусс и Лобачевский  пришли к его открытию.

       Творчество  Гаусса знаменует переход к новому этапу развития математических знаний. Мировоззрение этого математика противоречиво. Оно включает такие  принципы как убежденность в объективном  существовании действительности, признание  практической ценности науки. Вместе с  тем в понимании некоторых  вопросов математического познания, Гаусс находился под влиянием кантовских воззрений. Гаусс в принципе мог опубликовать ряд основоположений новой геометрии раньше Н.И. Лобачевского, но он этого не сделал. Открытие неевклидовой геометрии явно противоречило официально принятым и все более широко распространявшимся в то время в ученом мире Германии мировоззренческим и методологическим установкам Канта. Кроме того, данное противоречие имело место и в пределах мировоззрения самого ученого. Для него разработка неевклидовой геометрии - это разрыв с усвоенными ранее фундаментальными представлениями о природе математике. Не удивительно, что она сопровождалась сомнениями, неуверенностью, а подчас и нежеланием выступить с пропагандой новых идей.

       Н.И. Лобачевский подошел к открытию неевклидовой геометрии существенно  иных философских позиций по сравнению  с Гауссом. Ряд исследований специально посвященных изучению мировоззрения  Лобачевского, показывают, что этот великий математик был ярким  представителем материализма в науке. Важно подчеркнуть, что его материалистическое мировоззрение не является каким-то эпизодическим явлением, а продолжением и развитием материалистических традиций в русской математике, естественным следствием той идейной борьбы, которую  русские математики проводили против различных форм идеализма, в частности  кантианства.

       Если  у Гаусса мировоззренческие и  методологические установки были тормозом на пути развертывания исследований по неевклидовой геометрии, то мировоззрение  и методология Н.И. Лобачевского открывали для них широкий  простор. Можно сделать вывод, что  философской основой деятельности математиков был материализм. Именно на этой основе были получены наиболее выдающиеся открытия. Конечно, степень  развития и осознанности материалистических принципов существенно видоизменялись. Признание объективного существования  в действительности, первичность  материального бытия по отношению  к сознанию сочетаются с религиозностью, с определенными уступками идеализма. Особенно в среде немецких математиков  все более широкое признание  получает кантианство, что нашло  отчетливое выражение в деятельности Гаусса. Таким образом, если в развитии математики в первые десятилетия  ХIХ века и прослеживается влияние немецкой философии, то оно исходило не от Гегеля, а именно от Канта.

       Чем объяснить, что Кант, а не кто-то из последующих представителей немецкой классической философии, стал наиболее популярным среди математиков?

       Философия математики Канта выглядела более  приемлемой для математиков того времени. Она позволяла отстоять правомерность математики как системы  всеобщих и необходимых истин, что было весьма актуальной проблемой в связи с разрушительной деятельностью Юма. Кант не доводит свою философию математики до таких конкретных выводов, которые бы резко расходились с общепринятыми математическими положениями. Если у Гегеля выяснение различий между философией и математикой служит скорее разъединению этих наук, то кантовский анализ способствовал их сближению. Раскрывая специфику философского знания, Кант постоянно указывает на возможность или невозможность применения в математике выделенных особенностей философии.

       В целом философия математики Канта, если её рассматривать не в соотношении  с концепцией Гегеля, а применительно  к реальному историческому процессу развития математических знаний, имело  двойственный характер. С одной стороны как порождение критической философии она понесла ощутимый удар по догматическим воззрениям на природу математики, способствовало повышению уровня строгости математических исследований, обратила внимание на необходимость развивать геометрическое направление с другой стороны, априоризм сдерживал творческое развитие математики, в чём можно было убедиться на примере деятельности Гаусса, отрицательное влияние на её прогресс оказывали идеалистические установки кантовской системы, в связи с чем актуальной задачей была критическая переработка этой системы. В связи с тем, что кантовская философия математики выступает логическим следствием его философской системы, критика не могла ограничиваться только областью философских проблем математики, а должна была охватить исходные философские принципы. Ни Фихте, ни Шеллинг, ни Гегель не справились с этой задачей, поскольку их критические замечания не затрагивали идеалистических устоев учения Канта. 
 
 
 
 
 

5. РАЗВИТИЕ  МАТЕМАТИКИ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ  ХIХ СТОЛЕТИЯ 

       "Завершением  новейшей философии является  философия Гегеля. Поэтому историческая  необходимость и оправдание новой  философии по преимуществу связано  с критикой Гегеля". Эти слова  принадлежат Людвигу Фейербаху,  который не только сумел правильно  осмыслить основное направление  последующего развития философской  мысли, но и внес в него  весомый вклад.

       Материалистические  принципы Фейербах наиболее полно раскрывает при анализе вопросов теории познания, религии, этики. Что касается философских  проблем математики, то он ими не занимался. В его сочинениях лишь изредка встречаются отдельные  высказывания, относящиеся к данной проблеме. Указывая на взаимную связь  созерцания и мышления, Фейербах непосредственно  с опытом связанным наукам отдавал  предпочтение перед абстрактными теориями, и в этом отношении естествознание вызывало у него больше симпатий, чем  математика. В целом фейербаховская критика очень слабо, лишь в опосредованной форме затрагивала идеалистические воззрения на природу математики, действенного влияния на процесс взаимосвязи философских и математических знаний она не оказала.

       С учетом новых достижений математики и естествознания, К. Маркс и Ф. Энгельс с принципиально новых  философских позиций осмыслили  процесс взаимосвязи философии  и математики, разработали качественно  своеобразную систему философских  проблем математики.

       Диалектико-материалистическое решение вопроса о соотношении  объективной и субъективной диалектики, выражающееся в наличии двух рядов  взаимосвязанных законом позволило  Энгельсу вскрыть объективную причину  эффективного применения математики в  самых различных областях человеческой деятельности и уточнить сам механизм этого применения.

       В историческом процессе было создано  не мало концепций философии математики, отличающихся между собой как по заложенным в их основу философским принципам, так и по содержанию тех математических знаний, которые в них используются. Определяющим компонентом философии математики выступает ее философская основа, в силу этого классификация данных концепций может быть по тому же критерию, по которому классифицируют философские системы. К. Маркс и Ф. Энгельс сумели четко определить такого рода критерий и сформулировали его как вопрос об отношении мышления к бытию, сознания к материи, назвав его основным вопросам философии. При философском анализе математического познания основной вопрос философии может быть сформулирован как вопрос об отношении математического познания к действительности.

       Материалистическое  решение данного вопроса у  Энгельса приводит к характеристике математики как абстрактной науки, "занимающейся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями  реальности". Тот факт, что эти  умственные построения (числа, фигуры, величины) или тот материал, с  которым математика непосредственно  имеет дело, принимает "чрезвычайно  абстрактную форму, может лишь слабо  затушевать его происхождение из внешнего мира".

       Подчеркивая, что свойства и отношения материального  мира первичны по отношению к объектам математики, что данные объекты органически  связаны с ними, Энгельс тем  самым на новой основе возрождает материалистическую позицию мыслителей ХVII - ХVIII веков.

       Сохранив  положения об опосредованности объектов математики мыслительной деятельностью, Энгельс называет их умственными  построениями, но, в противоположность  Гегелю, эти объекты понимаются не как формы выражения каких-то аспектов абсолютной идеи, а как  отражения материального мира.

       В силу этих вышеизложенных соображений  Энгельс приходит к совершенно справедливому  и логически обоснованному выводу о том, что математика является необходимым  фрагментом общей естественнонаучной картины мира. Без нее эта картина  мира была бы, очевидно, неполной. Именно философский синтез, объединяя, позволяет  создать, общее, целостное, диалектическое представление о природе.

       Философия К. Маркса и Ф. Энгельса утверждает необходимость  творческого союза философии  и других наук, в том числе и  математики. Данный союз основывается на объективных потребностях использовать философские знания развитии математики и, в свою очередь, учитывать результаты математического познания в философских исследованиях К.Маркс и Ф.Энгельс особенно много внимания уделяли анализу процесса взаимосвязи философии и естествознания. Учитывая родственность теоретического познания и математики, большинство высказанных ими положений непосредственно относится и к проблеме взаимосвязи философии и математики.

       Ф. Энгельс указывает, что многие исследователи  высказывают нигилизм по отношению  к философии, но в силу того, что  последняя объективно необходима для  развития конкретной науки, "те, кто  больше всех ругает философию, являются рабами как раз наихудших вульгаризированных остатков наихудших философских  учений". "Какую бы позу не принимали  естествоиспытатели, над ними властвует  философия. Вопрос лишь в том, желают ли они, чтобы над ними властвовала  какая-нибудь скверная модная философия, или же они желают руководствоваться  такой формой теоретического мышления, которая основывается на знакомстве с историей мышления и ее достижений". Синтезируя многообразие форм воздействия  философии на математику можно сказать, что философия является основой  мировоззрения и наиболее общей  методологией теоретической и практической деятельности, причем мировоззренческая  и методологическая функции философии  органически переплетаются. Изучение философии необходимо для развития теоретического мышления, что особенно актуально для математики. Более  конкретно влияние философии  на математику осуществляется через  разработку философских проблем  математики, которые как бы преломляют функции философии применительно  к отдельным математическим исследованиям.

       Философский анализ конкретных наук, согласно Ф. Энгельсу, не ограничивается выдвижением абстрактных  идей и принципов. В отдельных  случаях он приводит к таким результатам, которые сопоставимы с открытиями, сделанными представителями отдельных  наук. В качестве примеров "естественнонаучных успехов философии", которые предвосхитили  открытие естествоиспытателей "даже в их собственной области", Ф. Энгельс  указывает следующие: "Лейбниц - основатель математики бесконечного … Кант - теории происхождения мира до Лапласса; Окен - первый принявший в Германии теорию развития".