Марковские процессы. Основные понятия и задачи, решаемые с помощью Марковских процессов

9. 8    

 Решение:      

 Кратчайший  путь на графе от вершины  1 до вершины 2  обозначим толстой  линией, его длина равна 1+1+1 = 3 

Построим  коммуникационную сеть минимальной  длины 

                                    1

                                                             1

                    6                            1

            1

                                      1 

                                          8 
 

Задание 7

Зависимость объема продаж y (тыс. дол.) от расходов на рекламу х (тыс. дол.) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом

Требуется:

1. определить коэффициент корреляции;
2. построить таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения в целом;
3. оценить значимость коэффициента регрессии через t – критерий Стьюдента;
4. определить доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,95 и  сделать экономические выводы.

Решение:

Уравнение регрессии имеет вид у =10,6 +0,6х. рассчитаем коэффициент корреляции:

r_yx =b · (G_x/ G_y)

r_yx = 0,6· (4,7/3,4) = 0,82    R² = r_yx² =0.672

 Оценим  значимость коэффициента регрессии  через k – критерий Стьюдента

t_r =|r|/ m_r =1.43

m_r =√(1-R²)/(n-2) =0.57 

Задание 8

Руководителю  требуется принять решение в  условиях полной неопределенности. Он владеет информацией о возможных  последствиях принятия решения, заданных матрицей 

          10 2 1 9

Q =    2 3 12 8

          9  5 6  7

          8 1 4 11

 Составить таблицу рисков, определить оптимальное решение по правилу Вальда, Сэвиджа, Гурвира, если λ=1/2. 

Решение:

Для составления  матрицы рисков воспользуемся следующими формулами.

Выберем решение, приносящее наибольший доход:

g_j=max g_ij

Значит, принимая i-ое решение, мы рискуем получить не g_j, а только g_ij, т.е.

r_ij = g_j - g_ij

Матрица рисков

R =( r_ij )

g₁ = 10                                      

                                                      0 3 11 2

g₂ = 5                                   R =    8 2 0 3

g₃ = 12                                           1 0 6 4

g₄ = 11                                           2 4 8 0

     Правило Вальда

a_i = min g_ij

         j

a_i0 = max a_i = max [ min g_ij ]

          i                         j

а₁ =1 а₂ =2 а₃ =5 а₄ =1

a_i0 = max [1,2,5,1] =5, поэтому выбираем третье решение.

     Правило Сэвиджа

b_i= max r_ij

        j 

b_i0 = min b_i = min [max r_ij ]

           i            i

b₁ = 11   b₂ =8    b₃ =6    b₄ =8

b_i0 = min {11,8,6,8}, выбираем третье решение.

     Правило Гурвира

с_i = λ·min g_ij + (1-λ) max g_ij , 0 ≤λ ≤ 1

            j                       j 

c_i0 = max [λ·min g_ij + (1-λ) max g_ij ]

                       j                       j

c₁ = [ 1/2·1+(1-1/2)·10] = 5,5

c₂ = [ 1/2·2+(1-1/2)·12] = 7

c₃ = [ 1/2·5+(1-1/2)·9] = 7

c₄ =[ 1/2·1+(1-1/2)·11] = 6

c_i0 = {5,5; 7;7; 6} - второе и третье решение.

Исходя  из трех правил, нужно принять третье решение. 

Задание 9

Техническое устройство имеет два возможных  состояния: S₁ – «исправно работает», S₂- «неисправно, ремонтируется». Матрица переходных вероятностей имеет вид:

       

            0,7  0,3

(Р_ij) =   0,8  0,2

Постройте график состояний. Найдите вероятности  состояний после третьего шага, если в начальный момент устройство неисправно.

Решение:

Граф  состояний выглядит следующим образом:

 

Определяем  начальные вероятности системы: Р₁ (0) =0, Р₂(0) = 1.

Используя матрицу переходных состояний, найдем вероятности состояний Рi(k) после первого шага:

Р₁  (1) = Р₁ (0)·Р₁₁ + Р₂ (0)·Р₂₁ =0·0,7+1·0,8=0,8

Р₂  (1) = Р₁ (0)·Р₁₂ + Р₂ (0)·Р₂₂ = 0·0,3+1·0,2=0,2

Вероятности состояний после второго шага таковы:

Р₁  (2) = Р₁ (1)·Р₁₁ + Р₂ (1)·Р₂₁ =0,8·0,7+0,2·0,8 =0,72

Р₂  (2) = Р₁ (1)·Р₁₂ + Р₂ (1)·Р₂₂ = 0,8·0,3+0,2·0,2 = 0,28

Вероятности состояний после третьего шага равны

Р₁  (3) = Р₁ (2)·Р₁₁ + Р₂ (2)·Р₂₁ =0,72·0,7+0,28·0,8 =0,728

Р₂  (3) = Р₁ (2)·Р₁₂ + Р₂ (2)·Р₂₂ = 0,72·0,3+0,28·0,2 =0,272

Таким образом, после третьего шага техническое  устройство будет находится в  состоянии исправен с вероятностью 0,728 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,272. 

Задание 10

Задан сетевой график. Найти критический путь и его продолжительность. 
 
 
 

                                                                                            2

           3              9            4                          5         1

                    1                          5                                                 1                                                                                                                                 

              5        2

                                    1                             3

                                     2

              5

Найденный критический путь обозначен толстой  сплошной линией.

Длина критического пути:

5+2+7+5+3=22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 2007, 568 с.
2. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 2005, 436 c.
3. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 2006, 512 с.
4. Севастьянов Б.А., Калинкин А.В. Ветвящиеся случайные процессы с взаимодействием частиц. - Доклады АН СССР, 2006, т. 264, вып. 2, с. 306-308.
5. Калинкин А.В. Случайные процессы в естествознании: дискретное фазовое пространство. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007, 40 с.
6. Калинкин А.В. Марковские ветвящиеся процессы с взаимодействием. - Усп. матем. наук, 2005, т. 57, вып. 2, с. 23-84.