, (3.11)

где u = 1 … N – номер опыта, i = 0, 1, …, m.

  План  экспериментов, удовлетворяющий такому выбору значений факторов, называется оптимальным. 

3.2. Определение ПФЭ 

 Полным  факторным экспериментом (ПФЭ) называют такую совокупность опытов, при которой исследователь по определенному плану последовательно варьирует все факторы во всех их неповторяющихся комбинациях. Число таких комбинаций из l уровней и k факторов

      N = l ^k, (3.12)

что и  определяет минимальное число  N опытов в ПФЭ.

Обычно  l = 2, тогда

      N = 2^k.   (3.13)

 При подстановке в (3.12) конкретных значений числа факторов и числа уровней их варьирования правая часть этого выражения представляет собой условное обозначение плана эксперимента. Так, например, план ПФЭ при трех факторах, варьируемых на двух уровнях, обозначается символом 2³. 

       3.3. Выбор факторов

  Выбор факторов, охватываемых проводимыми исследованиями, должен основываться на следующих исходных положениях.

  Под контроль следует взять те факторы, которые существенно влияют на выход  исследуемого объекта.

  Если  число факторов достаточно велико (более 15), следует прибегнуть к отсеиванию несущественных факторов, но неучет существенного фактора весьма отрицательно скажется на результатах исследования. В связи с этим на предварительной стадии исследования оказываются полезными эксперименты с различными наборами факторов, позволяющие выбрать лишь существенные из них. При этом могут использоваться планы, позволяющие оценить только линейные эффекты.

  Факторы бывают количественные и качественные. Количественные факторы должны поддаваться  возможно более точному измерению, а также должны быть полностью управляемыми в ходе осуществления активного эксперимента. Точность измерения фактора должна быть не менее чем на порядок выше точности измерения выхода объекта. Для качественных факторов может быть построена условная порядковая шкала.

  Факторы должны быть взаимно независимыми. Это означает, что изменение одного фактора не должно сопровождаться изменением других факторов.

  Каждый  из факторов должен быть однозначно определимым. Это означает, что фактор как параметр физической или химической природы должен непосредственно воздействовать на объект. Данному требованию отвечают такие факторы, как температура или концентрация вещества. В противоположность этому, например, скорость диффузии вещества не может быть фактором, так как она является функцией многих переменных, в том числе и температуры. 

       3.4. Выбор интервала  варьирования 

 Интервалом Dх_i варьирования фактора называют разность между его значением х_i, поддерживаемым в данном опыте, и основным уровнем х_oi, того же фактора:

      Dх_i = х_i – х_oi,  (3.14)

 При этом за основной уровень принимают  лучшее из известных до опыта или  среднее его значение в натуральных  единицах. Приступая к эксперименту, исследователь не может аналитически установить оптимальное значение Dх_i для используемых в исследовании факторов. Важное значение в выборе оптимальных интервалов варьирования имеет опыт исследователя. При малом значении Dх_i реакция объекта на данное изменение фактора может стать мало ощутимой на фоне действия различного рода помех. В случае очень больших значений Dх_i может оказаться, что линейная модель не будет соответствовать объекту в пределах заданной точности. Руководствуясь сложившимся опытом практической реализации принципов активного эксперимента, можно рекомендовать для начинающего исследователя как оптимальное следующее соотношение:

      Dх_i / = [0,10; 0,15],  (3.15)

где = x_imax - x_imin – область определения фактора, представляющая собой разность предельных значений факторов, имеющих место в процессе функционирования объекта. 
 

3.5. Кодирование факторов 

 Кодирование факторов представляет собой процедуру  преобразования их именованных значений х_i; поддерживаемых в каждом данном опыте, в условную безразмерную форму.

Кодированное значение фактора с учетом принятых выше обозначений определяют по формуле

      X_i = (x_i – х_oi) / Dх_i.  (3.16)

 При варьировании фактора на двух уровнях  величине х_i в одном из опытов придают «верхнее» значение = х_oi + Dх_i, а в другом – «нижнее» = х_oi – Dх_i.

Тогда в соответствии с формулой (3.16) кодированные значения фактора составят:

на верхнем  уровне –

       = ( – х_oi) / Dх_i = ± 1; (3.17)

на нижнем уровне –

       = ( – х_oi) / Dх_i = –1;  (3.18)

на основн6ом уровне –

       . (3.19)

 При заполнении таблиц-матриц планов эксперимента единицу в формулах (3.17) и (3.18) обычно опускают, сохраняя за обозначением верхнего уровня фактора символ "+" и нижнего уровня символ "–".

 Пример  подматрицы плана 2³ дан в табл. 3.1. Следует иметь в виду, что совершенно не обязательно реализовать опыты строго в том же порядке, как это представлено в табл. 3.1. На практике часто используют прием рандомизации, при котором порядковый номер очередного опыта выбирают случайным образом, например с использованием таблицы случайных чисел. Тем самым оказывается возможным избежать систематических ошибок при проведении эксперимента, например связанных с дрейфом характеристик объекта во времени.

 Сформированная  ранее оптимальность ПФЭ (п. 3.2) проявляется  в том, что алгебраическая сумма  элементов каждого вектор-столбца (см. табл. 3.1 или выражения (3.5), (3.7)), за исключением столбца, соответствующего свободному члену, равна нулю, сумма произведений элементов двух произвольно взятых вектор-столбцов матрицы равна нулю (свойство ортогональности), а сумма квадратов элементов каждого вектор-столбца равна числу опытов N.

Таблица 3.1

Подматрица  планирования ПФЭ при трех факторах,

варьируемых на двух уровнях

 Важно отметить, что для статистического анализа результатов эксперимента опыты необходимо повторять при одних и тех же значениях факторов (так называемая постановка параллельных опытов). Вследствие этого практическое количество опытов оказывается больше, чем вычисленное по формуле (3.13) и составляет 2N, 3N и т.д. в зависимости от возможностей экспериментатора. 
 
 

3.6. Обработка и анализ  результатов ПФЭ 

Процедура обработки  и анализа опытных данных предусматривает  вычисление построчных средних значений выхода и дисперсий его воспроизводимости, оценку однородности дисперсий, расчет коэффициентов полиномиальной модели исследуемого объекта (3.11), оценку их значимости и проверку адекватности модели.

Обработка данных производится с учетом оптимальности  свойств ПФЭ, а для анализа  промежуточных и конечных результатов  используются статистические критерии Кеские критерии Ка и Фишера.

Формализация  теоретических предпосылок позволяет  свести процедуру обработки и анализа результатов ПФЭ к несложному алгоритму. Даже этот алгоритм рассматривается на примере планирования ПФЭ типа 2³. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача № 1 

Исходные  данные об объекте 

  Номер объекта – 1

  Количество  входов – 1.

  Количество  выходов – 1.

  Интервал  изменения входа – [a₁, b₁] = [0, 10].

  Ошибка  наблюдений – 0,05.

  Количество  наблюдений – 10.

  Истинная  модель объекта – у = 6 + 5х. 
 

Результаты  наблюдений

 
 

Решение