Моделирование процессов и объектов

 

Министерство  образования РФ

Череповецкий  Государственный Университет

Институт металлургии и химии

Кафедра металлургических технологий 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по  дисциплине:

« Моделирование процессов и объектов»

вариант № 22 
 
 
 
 
 
 
 

                                                 Выполнил:  

                                                 Группа:  3 ОМ – 31 

                                                 Проверил:    Габелая Д.И.

                                                 Отметка о зачете: 
 
 
 
 
 

Череповец, 2005 г.

Содержание

1.Парная  корреляция                                                                                 2

2.Множественная  корреляция                                                                  5

3.Полный  факторный эксперимент (ПФЭ)                                             6

Задача  №1                                                                                                  11

Задача  №2                                                                                                  14

Задача  №3                                                                                                  17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ 

1.1. Корреляционная зависимость и ее компоненты 

  Любой технологический процесс может  быть охарактеризован определенным числом факторов или входных параметров, которые в различной мере влияют на выходные параметры, т.е. на количество продукта, его качественные или количественные характеристики, получаемые в ходе реализации процесса.

  Целью исследования часто является установление количественной зависимости выходного  параметра какого-либо процесса от одного или группы входных факторов в условиях колеблемости значений входных  и выходных параметров, обусловленной влиянием случайных и в большинстве своем не поддающихся учету факторов.

  Если  взаимосвязь между двумя переменными  величинами выражается некоторой функцией y = f (х), то в математическом анализе такая зависимость называется функциональной. Это значит, что в соответствии с видом функции каждому значению независимой переменной х отвечает одно или несколько вполне определенных значений зависимой переменной у.

  При изучении взаимного влияния или  связи случайных величин, какими являются практически все оцениваемые в исследовательской практике параметры, наблюдается иной вид связи. Особенность ее состоит в том, что одному значению переменной х может соответствовать некоторая совокупность значений зависимой переменной у. Появление такой совокупности значений зависимой переменной у вызвано влиянием множества побочных факторов, действующих одновременно или последовательно в разных направлениях. В этом случае связь между переменными х и у в отличие от функциональной приобретает статистический характер и называется корреляционной. Корреляционная связь занимает промежуточное положение между строгой функциональной зависимостью и полным отсутствием ее между переменными.

  Смещение  корреляционной зависимости в ту или иную сторону обусловлено  «конкурирующим» влиянием двух составляющих. Одна из них (стохастическая) определяется объективно действующими физическими или технологическими связями между переменными. Другая составляющая (случайная) является результатам влияния многочисленных неучитываемых факторов. Преобладание первой составляющей сдвигает корреляционную зависимость в сторону функциональной связи, а второй – в сторону полной независимости случайных величин. 
 
 
 

1.2.1. Линейная регрессия.  Метод наименьших  квадратов

  Если  между независимой (входной) величиной х в зависимой (выходной) величиной у имеется или предполагается корреляционная связь, то ее можно оценить и исследовать с помощью методов регрессионного анализа. Простейшей и весьма распространенной зависимостью между величинами х и у является линейная регрессия, на основе которой можно оценивать линейную или парную корреляционную связь между этими величинами. Задача нахождения выборочного уравнения регрессии и последующей проверки значимости его коэффициентов решается методами регрессионного анализа. Оценка тесноты или силы связи между величинами х и у осуществляется методами корреляционного анализа. Математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа в значительной мере содержит общие элементы.

  Рассмотрим  линейную регрессию от одного параметра. Пусть для произвольного фиксированного значения х получено несколько значений у. Предполагается, что величина у распределена нормально с математическим ожиданием

        (1.1)

и дисперсией , не зависящей от х. Из выражения (1.1) следует, что случайная величина у в среднем линейно зависит от фиксированного значения х, а параметры , и являются неизвестными параметрами генеральной совокупности.

   Для оценки этих неизвестных величин по выборке  объемом n сопряженных пар значений х₁, у₁; х₁, у₁; …; х_n, у_n в декартовой системе координат можно построить корреляционное поле, содержащее n точек (рис. 1.1). Расположение точек на корреляционном поле в общем оказывается не случайным и подчиняется определенной зависимости. Если нанести на поле средние значения , соответствующие всем значениям переменной х_i в интервалах, ограниченных вертикальными линиями координатной сетки, то зависимость у от х может стать более очевидной. Ломаная линия, соединяющая точки , отнесенные к серединам интервалов , называется эмпирической линией регрессии. С увеличением числа опытов ломаная будет сглаживаться и, освобождаясь от случайных зигзагов, приближаться к некоторой предельной линии – теоретической линии регрессии. В общем случае форма линии регрессии определяется характером связи между х и у.

  Для линейной зависимости линия регрессии  задается уравнением прямой, которая должна проходить максимально близко к точкам корреляционного поля:

      у = b₀ + b₁x. (1.2)

  Это требование обычно реализуется применением  метода наименьших квадратов и сводится к тому, чтобы расстояние по вертикали  между опытными точками с координатами x_i, y_i и соответствующими точками, лежащими на искомой линии регрессии, было минимальным. Это условие можно записать в виде:

        (1.3)

  Взяв  частные производные (1.3) по b₀ и b₁ и приравняв их к нулю, находим уравнение для оценок b₀ и b₁:

        (1.4)

откуда

        (1.5)

и

        (1.6)

откуда

        (1.7)

Поскольку и , то и из (1.5) и (1.7) следует

       , (1.8)

       . (1.9)

  Учитывая  соотношение (1.8), выборочное уравнение  линейной регрессии у относительно х можно записать в виде

       . (1.10) 

1.2.2. Выборочный коэффициент  корреляции 

  Количественной  мерой, учитывающей закономерную (стохастическую) долю колебаний у_i относительно средней под влиянием x_i является коэффициент корреляции. Выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле

       , (1.11)

где S_x и S_y – выборочные средние квадратичные отклонения:

       , (1.12)

       . (1.13)

  Коэффициент корреляции не может быть использован  для оценки технологической важности фактора. Его величина указывает  только на тесноту связи между переменными, а знак – на характер влияния. Значения коэффициента корреляции могут находиться в пределах –1 £ r £ 1. Если        r < 0, то увеличение х вызывает уменьшение у; при r > 0 наблюдается обратная закономерность. Если | r | = 1, то связь является линейной функциональной, если | r | = 0, то корреляционной связи между х и у нет или она нелинейна. Коэффициент корреляции одинаково "реагирует" на разброс экспериментальных точек относительно прямой регрессии и криволинейность зависимости при малом разбросе точек на корреляционном поле. Поэтому визуальный анализ корреляционного поля может дать полезную информацию для объяснения причины получения малого значения коэффициента корреляции.

  Если  выражение (1.11) преобразовать к виду

        (1.14)

и подставить его в формулу (9), то получим

        (1.15)

  Из  выражения (1.15) видна непосредственная связь величин r и b₁, знаки которых всегда совпадают. Выражения (1.11), (1.15) и (1.8) составляют "совмещенный" расчетный аппарат для решения преобладающего большинства практических задач, в которых важно нахождение тесноты и вида связи между переменными х и у.

  Коэффициент корреляции обычно рассчитывают по ограниченному  количеству данных – выборке из генеральной совокупности, вследствие чего он всегда содержит ошибку. Поэтому необходима проверка гипотезы о его статистической значимости, т.е. отличия от нуля генерального коэффициента r*. Для проверки нуль-гипотезы h₀ : r * = 0 применяют           t-отношение:

        (1.16)

где f = n – 2 – число степеней свободы.

  Если  t_r > t_1-a при заданном уровне значимости a, то нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная Н₁: r* ¹ 0, т.е. r значимо отличается от нуля. Так, для a = 0,01 и f = ¥ (прил. 2) находим t_1-a = 2,58. Таким образом, при t > 2,6 связь между факторами считается не случайной.

  

  

1.2.3. Проверка значимости  коэффициентов и  адекватности уравнения  регрессии 

  Неотъемлемым  элементом регрессионного анализа  является статистическая проверка значимости найденных коэффициентов регрессии. Оценку значимости коэффициентов выполняют по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза Н₀: = 0, т.е. j-й коэффициент регрессии генеральной совокупности при заданном уровне значимости а неотличим от нуля. Если условие

        (1.17)

где b_j – j-й коэффициент регрессии; – среднее квадратичное отклонение  j-го коэффициента; f = n – l – число степеней свободы; l – число учитываемых признаков в уравнении регрессии;