Использование дисперсионного анализа в методических исследованиях

 

Исходные  данные:

 

 Рассмотрим результаты оценки равномерности распределения примесей Al₂O₃, SiO₂ и Fe₂O₃ в известняке при создании стандартного образца предприятия (СОП). Для этого после перемешивания отобранного из процесса материала (масса-I5 кг) разравнивали его на столе, а затем из разных мест однократным зачерпыванием отбирали 40 проб. С целью сокращения объема эксперимента по оценке однородности материала на первом этапе рассматривали только половину отобранных проб, т.е. m=20. Материал каждой из них усредняли, а затем делили на две части (n=2) и получили 40 подпроб. Для каждой пробы готовили двухслойную таблетку-излучатель и измеряли интенсивности (I_ji) Kα—линий Al, Si и Fe.

При решении задачи оценки однородности результатов можно обрабатывать непосредственно значения аналитического сигнала (I_ji = x_ji), не переводя их в концентрации. При этом эксперимент следует проводить так, чтобы погрешность измерения x_ji была по возможности минимальной. В таблице приведены результаты измерения интенсивности AlKα—линии: по горизонтали расположены значения x_ji, относящиеся к одной пробе, а по вертикали — к пробам отобранным с разных мест.

Для упрощения расчетов перешли  к новой переменной y_ji = (x_ji - I,80)·IOO.

Алгоритм  расчета:

- Заполнить таблицу;

- Найти вспомогательные суммы;

- Проверить однородность дисперсий;

- Рассчитать относительное стандартное  отклонение;

- Сделать вывод об однородности  материала.

 

Справочные  данные:

F(0,05;19;20)=2,1;

F(0,01;19;20)=2,9.

 

 

Таблица

 

 

Решение задачи

 

№1) Заполняем таблицу:

 

 

Проба	Xj1	Xj2	Yj1	Yj2	Zj = Yj1+ Yj2	Yj12	Yj22	Zj2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	1,85 1,89 1,78 1,82 1,93 1,86 1,77 1,72 1,80 1,65 1,82 1,76 1,78 1,88 1,70 1,77 1,79 1,69 1,82 1,78	1,82 1,89 1,76 1,83 1,91 1,84 1,79 1,74 1,80 1,68 1,85 1,73 1,77 1,86 1,66 1,81 1,80 1,72 1,79 1,76	5 9 -2 2 13 6 -3 -8 0 -15 2 -4 -2 8 -10 -3 -1 -11 2 -2	2 9 -4 3 11 4 -1 -6 0 -12 5 -7 -3 6 -14 1 0 -8 -1 -4	7 18 -6 5 24 10 -4 -14 0 -27 7 -11 -5 14 -24 -2 -1 -19 1 -6	25 81 4 4 169 36 9 64 0 225 4 16 4 64 100 9 1 121 4 4	4 81 16 9 121 16 1 36 0 144 25 49 9 36 196 1 0 64 1 16	49 324 36 25 576 100 16 196 0 729 49 121 25 196 576 4 1 361 1 36

 

 

Для упрощения расчетов перешли  к новой переменной y_ji = (x_ji - I,80)·IOO.

 

1) Y_j1² =  Y_j1 * Y_j1

2) Y_j2² =  Y_j1 * Y_j1

3) Z_j² = Z_j  * Z_j  
№2) Найдем вспомогательные суммы:

 

Q₁= (25+4+81+81+4+16+4+9+169+121+36+16+9+1+….+4+16)*10^-4= 1769*10^-4

 

Q₂= ½ * (49+324+36+25+576+100+16+196+729+49+….+36)*10^-4= 1710*10^-4

 

Q₃= 1/40 * (7+18-6+5+24+10-4-14-27+7-11-5+14-24-2-1-19+1-6)*10^-4= 24*10^-4

 

Представление результатов дисперсионного анализа

 

Рассеивание между	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия	Компоненты ген. дисперсии
Строками	Q2 – Q3 = 1686*10-4	m – 1= 19	S22 = (1686/19)*10-4 =88,7*10-4	nσ2неод.м.+ σ2в.
Столбцами	Q1 – Q2 = 59*10-4	mn – m= 20	S12 = (59/20)*10-4= 3*10-4	σ2в.

 

 

№3) Проверим дисперсии на однородность:

 

Выдвигаем Нуль гипотезу, что между дисперсиями не существует никакой разницы!

 

 

F_р = S₂² / S₁² = (88.7 / 3)*10^-4 = 29.6   > F(0,05;19;20)=2,1;

                 > F(0,01;19;20)=2,9.

 

Вывод: Нуль гипотеза не верна. Дисперсии не однородны. Фактор неравномерности распределения Al₂O₃ в известняке – оказывает значительное влияние на химический анализ.

 

Определим погрешность, которую вносит данный фактор!

 

S₁² = σ²_в.

S₂² = nσ²_неод.м.+ σ²_в. = nσ²_неод.м.+ S₁²

 

σ²_неод.м = (S₂² - S₁²)/n = (88,7 -3)*10^-4/2 = 43*10^-4 = 0,0043

 

№4) Рассчитаем относительные стандартные  отклонения:

Для этого нужно найти среднеарифметическое:                              

S_неод.м.=                = 0,036

 

 

 S_в.= =0,001 

Заключение

 

 

      Современные приложения  дисперсионного анализа охватывают  широкий  круг

задач  экономики,  биологии  и  техники  и  трактуются обычно  в   терминах

статистической теории выявления  систематических различий между  результатами

непосредственных  измерений,  выполненных  при  тех  или   иных   меняющихся

условиях.

      Дисперсионный  анализ  является  мощным   современным   статистическим

методом  обработки  и  анализа  экспериментальных   данных   в   психологии,

биологии, медицине и других науках.  Он  очень  тесно  связан  с  конкретной

методологией планирования и проведения экспериментальных исследований.

      Дисперсионный   анализ   применяется   во   всех   областях    научных

исследований, где необходимо проанализировать влияние различных факторов  на

исследуемую переменную. 

Список используемых источников

 

 

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

 

 

3. http://khomich.narod.ru/metodichka/Dispersionniy/Dispersionniy.htm

 

4. http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/161117