Использование дисперсионного анализа в методических исследованиях

Министерство образования  и науки Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________ ____________________

наименование кафедры

 

 

 

Допускаю к защите

Руководитель_________________

                       _ __

                           И.О. Фамилия

 

 

_________________________________________________________________________________________      Дисперсионный анализ    _____________________

наименование темы

 

 

Курсовая работа по дисциплине

        _    Математическое моделирование эксперимента________   

наименование дисциплины

 

 

 

 

 

Выполнил студент группы _________   

                                                   шифр           подпись          И.О. Фамилия

 

                                                                     

 

Курсовая работа защищена с оценкой ___________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2013 г.

 

Министерство образования и  науки Российской Федерации

 

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ЗАДАНИЕ

НА КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ (КУРСОВУЮ РАБОТУ)

 

По курсу ____Математического моделирования эксперимента_____________ _________________________________________________________________

Студенту __________________________

(фамилия, инициалы)

Тема проекта (работы) Использование_дисперсионного_анализа_в_методических_исследованиях___________________________________________________________________________________________________________________

Исходные данные__________________________________

1)Заполнить таблицу;___________________________________

2)Найти_вспомогательные_суммы;____________________________________

3)Проверить_однородность_дисперсий;________________________________

4)Рассчитать_относительные_стандартные_отклонения;__________________

5)Сделать_вывод_об_однородности_материала._________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рекомендуемая литература _______________________________________ 1)Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.

2)Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.

3)Никаноров А.В.  Математическое моделирование эксперимента, учебное пособие_2008. -108 с,

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Графическая часть на ______________ листах.

 

Дата выдачи задания  “______” __________________________2013  г.

 

Дата представления  проекта руководителю “______” ___________2013  г.

 

Руководитель курсового  проектирования (курсовой работы) _____

   

 

Содержание

 

 

 

 

1. Введение             4
2. Основная часть            5

2.1)Однофакторный дисперсионный  анализ       6

2.2)Двухфакторный дисперсионный  анализ     11

2.3)Многофакторный дисперсионный  анализ     14

3. Задача для курсовой работы         18

3.1)Решение задачи для курсовой работы      20

4. Заключение          22
5.  Список используемых источников       23   
   

Введение

 

Проникновение математических методов  в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности дает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что изучение общих теоретических положений и методов вычислений уже не встречает серьезных трудностей. Вместе с тем на практике оказывается, что одних лишь математических познаний далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи – необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. В этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования.

В рамках же нашей работы стоит  цель овладеть искусством дисперсионного анализа. В чем же оно заключается?

Оценивая разброс результатов  исследований вокруг среднего значения, определяем дисперсию воспроизводимости методики исследования (анализа), характеризующую сумму погрешностей, вносимых на различных этапах исследования (анализа).

Экспериментатору, когда он проводит исследования с целью повышения точности исследования или анализа, необходимо знать, на каких этапах вносится наибольший вклад в суммарную дисперсию. Например, при рентгеноспектральном анализе образца погрешности могут быть внесены при отборе анализируемой навески (погрешности неоднородности материала), при изготовлении излучателя, измерении интенсивности аналитической линии, расчете содержания.

В зависимости от выбранного способа  пробоподготовки второй этап можно  разбить на ряд подэтапов. При получении излучателей в виде стеклянных дисков можно выделить погрешности, вносимые при взвешивании и перемешивании пробы и флюса, сплавлении, отливке излучателя.

Для повышения воспроизводимости  методики исследования прежде всего  следует совершенствовать тот этап, на котором вносится наибольшая погрешность.  

Основная часть

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) –статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Метод был разработан биологом Р. Фишером в 1925 году и применялся первоначально для оценки экспериментов в растениеводстве. В дальнейшем выяснилась общенаучная значимость дисперсионного анализа для экспериментов в психологии, педагогике, медицине и др.

Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между  средними с помощью сравнения  дисперсий. Дисперсию измеряемого  признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии.

При проведении исследования рынка часто встает вопрос о сопоставимости результатов. Например, проводя опросы по поводу потребления какого-либо товара в различных регионах страны, необходимо сделать выводы, на сколько данные опроса отличаются или не отличаются друг от друга. Сопоставлять отдельные показатели не имеет смысла и поэтому процедура сравнения и последующей оценки производится по некоторым усредненным значениям и отклонениям от этой усредненной оценки. Изучается вариация признака. За меру вариации может быть принята дисперсия. Дисперсия σ²– мера вариации, определяемая как средняя из отклонений признака, возведенных в квадрат.

На практике часто возникают задачи более  общего характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задачу о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции.

Иногда  дисперсионный анализ применяется, чтобы установить однородность нескольких совокупностей (дисперсии этих совокупностей одинаковы по предположению; если дисперсионный анализ покажет, что и математические ожидания одинаковы, то в этом смысле совокупности однородны). Однородные же совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию, следовательно, и более надежные выводы.

 

 При проведении дисперсионного анализа должны выполняться следующие статистические допущения: независимо от уровня фактора величины отклика имеют нормальный (Гауссовский) закон распределения и одинаковую дисперсию. Такое равенство дисперсий называется гомогенностью. Таким образом, изменение способа обработки сказывается лишь на положении случайной величины отклика, которое характеризуется средним значением или медианой. Поэтому все наблюдения отклика принадлежат сдвиговому семейству нормальных распределений.  
Говорят, что техника дисперсионного анализа является "робастной". Этот термин, используемый статистиками, означает, что данные допущения могут быть в некоторой степени нарушены, но несмотря на это, технику можно использовать.  
При неизвестном законе распределения величин отклика используют непараметрические (чаще всего ранговые) методы анализа.  
В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ². Она является мерой вариации частных средних по группам  вокруг общей средней  и определяется по формуле:  
, 
где   k -  число групп;  
 n_j  - число единиц в j-ой группе;  
  - частная средняя по j-ой группе;  
   - общая средняя по совокупности единиц.  
Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ_j².  
.  
Между общей дисперсией σ₀², внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией  существует соотношение:  
σ₀² =  + σ².  
Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.  
                              Однофакторный дисперсионный анализ

 

Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:  
x_ij = μ + F_j + ε_ij,                                                     (1)  
где  х_ij – значение исследуемой переменой, полученной на i-м уровне фактора (i=1,2,...,т) c j-м порядковым номером (j=1,2,...,n);  
F_i – эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора;  
ε_ij – случайная компонента, или возмущение, вызванное влиянием неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменой внутри отдельного уровня.  

Основные предпосылки дисперсионного анализа:  
1)математическое ожидание возмущения ε_ij равно нулю для любых i, т.е.  
M(ε_ij) = 0;                                             (2)  
2)возмущения ε_ij взаимно независимы;  
3)дисперсия переменной x_ij (или возмущения ε_ij) постоянна для 
любых i, j, т.е.      D(ε_ij) = σ²;                                                (3)  
4)переменная x_ij (или возмущение ε_ij) имеет нормальный закон 
распределения N(0;σ²).  

Влияние уровней фактора может  быть как фиксированным или систематическим (модель I), так и случайным (модель II).  
Пусть, например, необходимо выяснить, имеются ли существенные различия между партиями изделий по некоторому показателю качества, т.е. проверить влияние на качество одного фактора - партии изделий. Если включить в исследование все партии сырья, то влияние уровня такого фактора систематическое (модель I), а полученные выводы применимы только к тем отдельным партиям, которые привлекались при исследовании. Если же включить только отобранную случайно часть партий, то влияние фактора случайное (модель II). В многофакторных комплексах возможна смешанная модель III, в которой одни факторы имеют случайные уровни, а другие – фиксированные.  
Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно  n₁, n₂, …, n_m  изделий  (для простоты полагается, что n₁=n₂=...=n_m=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

 

 
x₁₁ x₁₂   …    x_1n                                      
x₂₁ x₂₂  …    x_2n           
…………………    = (x_ij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).  
x_m1  x_m2  …    x_mn  

Необходимо проверить существенность влияния партий изделий на их качество.  
Если полагать, что элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_m, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими ожиданиями соответственно a₁,а₂,...,а_m и одинаковыми дисперсиями σ², то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: a₁=a₂ =...= а_m, осуществляемой в дисперсионном анализе.  
Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:  
                                                     ,                                                    (4)  
где  _i* – среднее значение по столбцам;  
_ij – элемент матрицы наблюдений;        
 n   – объем выборки.  
А общая средняя:  
                                            .                                             (5)  
Сумма квадратов отклонений наблюдений   х_ij от общей средней _** выглядит так:  
²= ²+ ²+  
+2 ².                                  (6)  
или  
Q = Q₁ + Q₂ + Q₃.  
Последнее слагаемое равно нулю  
                =0.       (7)  

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней равна нулю, т.е.  
²=0.  
Первое слагаемое можно записать в виде:  
 
В результате получается тождество: Q = Q₁ + Q₂,                                               (8)  
где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;  
- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;  
- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних, или  внутригрупповая (остаточная) сумма квадратов отклонений.  
В разложении (8) заключена основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q₁ и Q₂, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q₁) и изменчивость внутри партий (Q₂), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.  
В дисперсионном  анализе  анализируются  не  сами   суммы квадратов отклонений, а так называемые  средние   квадраты, являющиеся  несмещенными оценками соответствующих дисперсий, которые получаются делением сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы.  
Число степеней свободы определяется как общее число наблюдений минус число связывающих их уравнений. Поэтому для среднего квадрата  S₁², являющегося несмещенной оценкой межгрупповой дисперсии, число степеней свободы k₁=m-1, так как при его расчете используются m групповых средних, связанных между собой одним уравнением (5). А для среднего квадрата S₂², являющегося несмещенной оценкой внутригрупповой дисперсии, число степеней свободы k₂=mn-m, т.к. при ее расчете используются все mn наблюдений, связанных между собой m уравнениями (4).  
Таким образом:  
= Q₁/(m-1),  
= Q₂/(mn-m).  
Если найти математические ожидания средних квадратов   и , подставить в их формулы выражение x_ij (1)  через параметры модели, то получится:  
 
 
 
                                                                                         (9)  
т.к. с учетом свойств математического ожидания  
 а  
 
 
                        (10)  
Для модели I с фиксированными уровнями фактора F_i(i=1,2,...,m) – величины неслучайные, поэтому  
M(S ) = ² /(m-1) +σ².  
Гипотеза H₀ примет вид F_i = F_*(i = 1,2,...,m), т.е. влияние всех уровней фактора одно и то же. В случае справедливости этой гипотезы  
M(S )= M(S )= σ².