Збіжність рядів Фурьє

Тепер помітимо, що інтеграли (6) мають сенс не лише для  функцій, безперервних на відрізку , а також, наприклад, і для функцій, інтеграли від яких абсолютно сходяться на цьому відрізку.

Нагадаємо, що поняття  інтеграла (як і інтеграла, що просто сходиться), що абсолютно сходиться, було введене для функцій, визначених на деякому проміжку з кінцями і , , для яких існує така кінцева множина точок , що функція інтегрована по Ріману на будь-якому відрізку , що лежить в заданому проміжку і не містить жодної з точок . При цьому якщо , то , а якщо , то .

Всяка кінцева  безліч точок має вказані вище властивості, називатимемо правильним розбиттям проміжку інтеграції функції . Очевидно, що якщо до правильного розбиття даного проміжку додати будь-яку кінцеву множину точок, що є внутрішніми або кінцевими точками цього проміжку, і розташувати точки, отриманної множини, в порядку зростання, то вийде знову правильне розбиття.

Якщо усі  інтеграли  сходяться, то можна визначити інтеграл . Він визначається рівністю   і називається інтегралом, що збігається.

Зазначимо, що значення інтеграла не залежить від вибору правильного розбиття проміжку інтегрування.

Якщо сходиться  інтеграл , то інтеграл також сходиться і називається абсолютно збіжним, а функція - абсолютно інтегрованою на даному проміжку.

Зазначемо, що якщо функція інтегрована по Ріману на деякому відрізку, то її абсолютна величина також інтегрована по Ріману на цьому відрізку, і отже, функція, інтегрована по Ріману на відрізку, абсолютно інтегрована на ньому.

Якщо інтеграл від функції  абсолютно сходиться на відрізку , то для неї усі інтеграли (6) також сходяться, оскільки вони є інтегралами від добутку абсолютно інтегрованої функції на обмежену (синус або косинус), а такі інтеграли абсолютно сходяться.

Означення 3. Нехай функція абсолютно інтегрована на відрізку .Тригонометричний ряд (1), коефіцієнти якого задаються формулами (6), називається рядом Фур'є або, детальніше, тригонометричним рядом Фур'є, а числа і   - коефіцієнти Фур'є функції .

В цьому випадку  пишуть         .

         Часткові суми порядку цього ряду позначатимемо через ,  або, називати сумами Фур'є порядку функції .

Підкреслимо, що тут знак ~ означає не асимптотичну рівність, а просто відповідність: функції зіставляються її ряду Фур'є.

Теорему 1 в цих  термінах можна перефразовувати  таким чином:

Будь-який тригонометричний ряд, що рівномірно сходиться, є рядом Фур'є своєї суми.

Далі будуть розглянуті періодичні функції , для кожної з яких існує число таке, що при усіх , що належать області визначення функції, значення і також належать цій області і виконується рівність

         Такі функції називаються - периодичними.

Нехай абсолютно інтегрована на відрізку і, отже, їй можна зіставити ряд Фур'є. Якщо він сходиться на деякій множині, то сходиться до -періодичної функції, оскільки усі його члени - періодичні. Тому буває зручно і саму функцію "періодично продовжити" з періодом . Лапки поставлені тому, що насправді функцію можна продовжити періодично тільки у випадку, коли .

Якщо ця умова  не виконана, то продовження функції назвемо -периодическую функцію , яку отримаємо, вважаючи для будь-якої точк , в якій визначена функція (нагадаємо, що, через абсолютну інтегрованість функції на відрізку , вона визначена в усіх його точках, окрім, звичайно їх множини);

                                             

 

Така пропозиція у разі, коли , призводить до неспівпадання значень функцій і   при . Проте, оскільки коефіцієнти Фур'є функції визначаються і допомогою інтегралів (6), це не приведе до їх зміни і, отже, ряди Фур'є цій функції і продовженної   співпадають.

Відмітимо, що при  вказаному періодичному продовженні функція може не бути неперервною в точках , навіть якщо функція   безперервна в і , причому . Неперервність в інших точках при періодичному продовженні зберігається: якщо  безперервна в точці , то неперервна в будь-якій точці

Часто продовжену функцію  означатимемо тим же символом , що й продовжену.

Якщо функція  -периодичою, то при обчисленні її коефіцієнтів Фур'є інтегрування можна виконати по будь-якому відрізку довжини , наприклад по відрізку :

 

,      .

 

Дійсно, якщо будь-яка функція має період, рівний T, і для деякого числа   інтегрована на відрізку , то при будь-якому виборі    вона інтегрована і на відрізку , причому

 

,  тобто інтеграл   не залежить від вибору числа .

 

 

2.2 Характер  збіжності рядів Фур'є

 

Розглянемо  зв'язок рядів Фур'є функції і  її похідної.

Теорема 2. Нехай  функція  безперервна на відрізку , і нехай .

       Розглянемо швидкість збіжності ряду Фур'є залежно від гладкої функції. Заздалегідь доведемо лему.

Лема 1. Нехай функція має на відрізку неперервні похідні до порядку включно і кусочно-неперервну похідну порядку , причому   .

 

Тоді коефіцієнти  Фур'є функції  задовольняють нерівність

                                           ,

  де і ряд збігається.

Доведення. Застосовуючи послідовно теорему 1     разів, отримаємо

,   де або , (1)

або  , (2)

причому, за нерівністю Бесселя         . (3)

       Покладемо . Через нерівність, ряд збігається.

Якщо справедливо (1), то

         .

 

Аналогічно, .  Подібним чином ця оцінка виходить і у випадку (2).

Теорема 3. Нехай  функція  має на відрізку неперервні похідні до порядку включно і кусочно неперервну похідну порядку , причому . Тоді ряд Фур'є функції рівномірно і абсолютно на усьому відрізку сходиться до самої функції і

 

,

де  ( - числова послідовність), а - сума Фур'є порядку n функції f .

Таким чином, можна  сказати, що на відрізку рівномірно виконується оцінка

.

         Далі помітимо, що на відрізку виконується нерівність (рис. 1) і, отже, .

 

Рис. 1

Тому       .

 

Таким чином, з (7) витікає оцінка

 

. (9)

 

Покладемо, нарешті, ; .

Тому з нерівності (9) отримуємо

 

  при цьому нескінченно мала не залежить від точки .

Ряд (4) сходиться  до функції  ; отже, і, таким чином, рівномірна збіжність ряду Фур'є с вказаною оцінкою доведена.

Його абсолютна  збіжність також доведена, оскільки ми отримуємо оцінку   ,  з якої слідує, що ряд Фур'є функції не лише абсолютно збігаеться, але і що ряд, складений з абсолютних величин його членів, і навіть, більше того, ряд    збігається з тією ж "швидкістю" .

         З цієї теореми слідує, зокрема при , що ряд Фур'є всякої періодичної періоду неперервної і кусочно-неперервної функції, що диференціюється, рівномірно на усьому періоді сходиться до самої функції.

Умови рівномірної збіжності ряду Фур'є. Якщо функція має хоч би один розрив, то її ряд Фур'є не може збігатися до неї рівномірно, оскільки сума ряду неперервних функцій, що рівномірно збігаються, завжди неперервна. Таким чином, неперервність функції є необхідна (але, звичайно, не достатня) умова рівномірної збіжності її ряду Фур'є.

Просту достатню умову дає наступна теорема.

Теорема 4. Якщо функція  з періодом 2π абсолютно неперервна, а її похідна належить L[-π, π], то ряд Фур'є функції f сходиться до неї рівномірно на усій прямій.

Доказ. Позначимо  через ап' і b 'п коефіцієнти Фур'є  функції f'. Оскільки f абсолютно безперервна, то до інтеграла  можна застосувати формулу інтеграції по частинах. Отримуємо

 

 

Аналогічно 

 

Отже,   (10)

 

Цей ряд сходиться, оскільки

 

    а

 

через нерівності Бесселя. Числовий ряд (10) слугує, мажорантою для ряду Фур'є функції f. Але тоді, ряд Фур'є функції f рівномірно (і абсолютно) сходиться. Залишається показати, що сума цього ряду є f.

Нехай φ -сумма  ряду Фур'є функції f . Тоді φ має  ті ж самі коефіцієнти Фур'є, що і f. Звідси через безперервність обох функцій отримуємо, що f = ф.

Можна дати іншу умову рівномірної збіжності  ряду Фур'є.

Теорема5. Якщо на деякій множині сумована функція f обмежена, тобто для всякого ε>0 існує таке δ>0, що одночасно для усіх , то ряд Фур'є функції f сходиться до цієї функції рівномірно на Е.

Лемма 3. Якщо В - передкомпактне в метриці множина сумовуваних функцій, то для всякого ε > 0 знайдеться таке N = N(ε), що

  при λ≥N(ε) для усіх  одночасно.

Для доказу леми візьмемо у В кінцеву ε/2-сеть і оберемо N так, щоб

    при λ≥N.

 

Якщо тепер f - довільна функція з B, то при деякому i

 

 і, отже 

 

Тим самим лема доведена.

Застосування  цієї леми засноване на тому факті, що легко перевіряється, що в умовах теореми 4 множина функцій

  предкомпактна.

Для випадку  декількох незалежних змінних теж  можна сформулювати як умови, достатні для збіжності ряду Фур'є в  кожній точці, так і умови рівномірної  збіжності ряду Фур'є.

                                            ВИСНОВКИ

Розклад функції  в ряд означає середньоквадратичне прямування часткових сум ряду до функції.

Унітарний простір усіх кусочно-неперервних функцій неповний. З середньоквадратичної збіжності, взагалі кажучи, не наслідує поточкова, але за деяких додаткових природних умов тригонометричний ряд збігається абсолютно і рівномірно. Один із способів встановлення такого факту, полягає в попередньому дослідженні почленної інтегрованості загального ряду Фур'є. З рівномірної збіжності виходить не лише поточкова, але і середньоквадратична збіжність до одної тої самої границі. Операція, зворотна диференціюванню, - інтеграція із змінною верхньою межі - "покращує" не лише функції (інтегровану по Риману перетворить в безперервну, а безперервну - в ту, що диференціюється), але і характер збіжності : функціональний ряд, що середньоквадратично збігається, допускає почленну інтеграцію і перетвориться в ряд інтегралів, що рівномірно збігаються, із змінною верхньої межі. У разі інтеграції тригонометричного ряду - функціональний ряд таких інтегралів збігається, крім того, і абсолютно. Звідси слідують такі твердження.

  Тригонометричний ряд для кусочно-гладкої періодичної функції збігається до неї абсолютно і рівномірно. Якщо ж функція, крім того, має кусочно-гладку похідну, то цей ряд допускає почленне диференціювання, і тригонометричний ряд похідних теж збігається абсолютно і рівномірно. Подібні факти мають місце і для старших похідних. Усе це дозволяє ефективно застосовувати тригонометричні ряди в дослідженні лінійних диференціальних і інтегральних рівнянь і в побудові наближених методів рішення лінійних і нелінійних рівнянь.

Математиками  був розвинений геометричний підхід до теорії рядів Фур'є шляхом вступу повного ортонормального базису. Історично ці ряди виникли в результаті аналізу складних коливань і розкладу їх на гармонійні.

 

                                         Список використаних джерел

 

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. «Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного», Москва, «Наука», 1989 г.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.:Наука, 1976г.
3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.1,2.-М.:Наука,1970.
4. Пискунов Н.С «Дифференциальное и интегральное исчисления», Москва, «Наука», 1972 г.
5. Подольский В.А., Суходский А.М. «Сборник задач по математике для техников-программистов», Москва, «Высшая школа», 1978 г.
6. Рисс Ф.,Надь Б.С.,Лекции по функциональному анализу,ИЛ, 1945.
7. Рудин У. Основы математического анализа.-2-е изд.-М.:Мир,1976.
8. Уваренков И.М., Маллер М.З. «Курс математического анализа», Москва, «Просвещение», 1976 г.
9. Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 3, Москва, «Наука», 1969г.
10. Шилов Г.Е. «Математический анализ функции одного переменного», Москва, «Наука», 1970г.
11. Шипачев В.С. «Высшая математика», Москва, «Высшая школа», 1990г.
12. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. «Краткий курс высшей математики», том 2, Москва, «Высшая школа», 1978г.