Зарождение счета в глубокой древности

Зарождение  счета в глубокой древности.

    Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течении сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием её, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия охоты и рыболовства, вырабатывали язык для

общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали своё существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки.

     Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к  активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

     Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что

человек обычно захватывает  рукой один предмет, а это, по его  мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало

счисление Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

     Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой. При выражении понятия «три» встретилось

затруднение: у человека нет третьей руки; это затруднение  было преодолено, когда человек догадался помещать третий предмет у своих ног. Таким образом, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с

другой – возможность  поместить по одному предмету у каждой ноги.

     На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или у ног, или соответствующими телодвижениями или жестами.

     Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда человечество ознакомилось с некоторыми формами производства – охотой и рыболовством. Человеку пришлось изготавливать простейшие орудия для овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в холодные страны заставило его делать одежду и создавать орудия для обработки кожи. Мало-помалу сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Все эти обстоятельства вынудили

человека так или  иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

     На этой ступени развития человек уже отказывается от

необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или

класть к ногам. В  математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы

заменяются какими-либо другими однородными между собой  предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

 

Натуральные числа.

 

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие

отвлеченного числа  отсутствовало. Это не значит, что  первобытный 

человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей,

участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как

например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень

короткими и завершались  индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

     Источником возникновения понятия возникновения отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной

конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов  первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.

     Расширяющиеся потребности счёта заставили людей  употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа 

значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус,

глиняные таблички и  т.д.). Затем были введены другие знаки для

больших чисел. Вавилонские  клинописные обозначения числа,

так же, как и сохранившиеся  до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа.

     Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в

письменной. Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

     Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию  характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

     Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий.

     Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа.          Отчётливое определение понятия натурального числа на основе

понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х 

гг.19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно,две совокупности называются равномощности, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих

данную совокупность, определяется что-то общее, что имеет  данная

совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких

качественных особенностей этих предметов. Такое определение  отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на эталонную совокупность  на ранних ступенях – пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе – слова и знаки, обозначающие число.      Определение данное Кантором, было отправным пунктом для

обобщения понятия количественного  числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

    

 

Как и когда  появился ноль.

 

     В 1202 г. пизанец Леонардо Фибоначчи, сын таможенного чиновника Пизанской республики, в Бужи, в Северной Африке, написал на латыни "Книгу абака" (счетной таблички античных времен, ставшей в X в. доской с колонками, где использовались арабские цифры), в которой, в частности, ввел такое важное для бухгалтерии изобретение, как ноль.

     Впервые нуль появился в древневавилонской системе исчисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.

Изобретателем формы  нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в  его текстах на месте знака  пробела стоит греческая буква  омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.

На стенной надписи  в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение  современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н.э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному

открытию индийских  математиков. И в XII веке другой индийский  математик Бхаскара делает еще попытку  понять, что же будет при

делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью".

Леонардо Фибоначчи, в  своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum –  это арабское слово as-sifr, которое  произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке.