Закон коммутативности

Закон коммутативности.            

 Закон коммутативности  - это закон математической логики, по которому по аналогии с алгеброй, результат операции, производимой над двумя высказываниями, не зависит от того в каком порядке берутся эти высказывания. Поскольку в математической логике высказывания можно умножать ( конъюнкция), складывать (дизъюнкция), то по закону коммутативности результат сложения (умножения) не зависит от порядка слагаемых (множителей) и, следовательно действие сложения (а, также, умножения), то есть дизъюнкции и конъюнкции высказываний является коммутативным, переместительным.            

 В  математической логике закон коммутативности выражается следующим образом:

1) закон коммутативности  для конъюнкции: (А  Ù В) ≡ (В Ù А), что означает, что А и В есть тоже самое, что  В и А;

2) закон коммутативности  для дизъюнкции: (А  Ú В) ≡ (В Ú А), что означает, что А и В есть тоже самое, что  В и А.

Закон ассоциативности.               

 Закон ассоциативности  это закон по которому при двукратном производстве операции над тремя высказываниями можно  соединять (ассоциировать) первое и второе высказывание, произвести операцию над ними, а затем ту же операцию произвести над полученным результатом и третьим  высказыванием; но можно, также, соединить второе высказывание с третьим, произвести операцию над ними, а затем ту же операцию произвести над первым высказыванием и полученным результатом;  в обеих случаях полученный результат должен быть один и тот же.           

 В  математической логике закон ассоциативности выражается следующим образом:

1)  ассоциативный закон для конъюнкции   (А Ù В) Ù С ≡ А Ù (В Ù  С) , что означает: конъюнктивное высказывание (А и В) и С равносильно конъюнктивному высказыванию А и (В и С);

2)  ассоциативный закон для дизъюнкции   (А Ú В) Ú С ≡ А Ú (В Ú  С) , что означает: дизъюнктивное высказывание (А и В) и С равносильно дизъюнктивному высказыванию А и (В и С);        

 В обоих  вариантах буквы А.В.С означают произвольные высказывания. В силу закона ассоциативности в формулах представляющих конъюнкцию высказываний или дизъюнкцию высказываний,  скобки можно опускать.

Закон дистрибутивности.       

  Закон дистрибутивности определяет правила раскрытия скобок в процедурах произведения множителя на сумму слагаемых. В  математической логике закон определяет правила корректного проведения операций конъюнкции над членами дизъюнкции. В исчислении высказываний закон дистрибутивности конъюнкции и сложного высказывания дизъюнкции выражается следующей формулой:

А Ù (В Ú С)  =  (А Ù В) Ú ( А Ù С ) , что означает А и (В или С) есть тоже самое, что А и В или А и С

.          В математической логике имеет место ещё второй закон дистрибутивности, выражающийся формулой:

А Ú (В Ù С)  =  (А Ú В) Ù ( А Ú С ) , что означает А или (В и С) есть тоже самое, что А или В и А или С. Эта формула показывает дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции (логического сложения) относительно конъюнкции (логического умножения)

Закон поглощения.      

Закон математической логики, согласно которому верны следующие  равенства:               

 

            Здесь А  и В обозначают произвольные высказывания, Ú - знак  дизъюнкция (логическое сложение), Ù - знак конъюнкция (логическое умножение) Убедимся в том, что эти равенства верны. Составим таблицы истинности для всевозможных значений высказываний высказываний.

 

         Построение  всевозможных значений обусловлено  всевозможным сочетанием  исходных значений переменных  А и В. Постольку, поскольку истинности значений каждого отдельного высказывания бинарные, то всевозможных сочетаний может быть только 4, которые и установлены в строчках 1-4 первого и второго столбцов. Значения остальных столбцов последовательно вычисляются.         

 Сравнивая  столбцы 1, 5 ,6 по всем четырём  строчкам, убеждаемся, что они тождественны. Следовательно,  верны формулы:

 

 

Законы  де Моргана.

Законы  де Мо́ргана (правила де Мо́ргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.

Определение.

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

not (P and Q) = (not P) or (not Q)

not (P or Q) = (not P) and (not Q)

Обычная запись этих законов в формальной логике:

или

в теории множеств:

или:

Если существует операция логического умножения  двух и более элементов, операция «и» — (A&B), то для того что бы найти обратное от всего суждения ~(A&B), необходимо найти обратное от каждого элемента и объединть их операцией логического сложения, операцией «или» — (~A+~B). Закон работает аналогично в обратном направлении: ~(A+B) = (~A&~B)).

Закон идемпотентности.

Идемпотентности Закон - (от лат. idempotens - сохраняющий  ту же степень)  логический закон, позволяющий исключить повторение одного и того же высказывания. Его формулировка: повторение высказывания через «и» и «или» равносильно самому высказыванию. Например: «Марс планета и Марс - планета» есть то же самое, что «Марс - планета»; «Солнце — звезда или Солнце— звезда» то же самое, что «Солнце — звезда». С применением символики логической (р — некоторое высказывание; & - конъюнкция «и»; v – дизъюнкция «или»; = () - эквивалентность, «если и только если») закон записывается так: (р&р) = (pvp) = р, р и р, если и только если р, и р или р, если и только если р. Закон позволяет исключить из логики коэффициенты и показатели степеней.             
 
 
 
 
 

Закон идемпотентности - это закон математической логики, по которому из логики исключаются  коэффициенты и показатели степеней. В логике, таким образом, присутствуют аналоги известных алгебраических законов: а · а = a²;  а + а = 2а.           

 Так логическое  умножение двух высказываний  А, то есть  А Ù А ≡ А и читается так "А и А равносильно А".            

 Логическое  сложение двух высказываний А,  которое в математической логике называется дизъюнкцией, равносильно А, что записывается в виде формулы А Ú А ≡ А и читается так: "А или А равносильно А", "А или А есть тоже самое, что А"