Задачи по высшей математике

Вариант 1

«Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции  одного переменного

1. Вычислить предел

 

Решение: 

2. Найти асимптоты  функции

 

Решение:

Найдем коэффициенты для уравнения асимптот  

=6

Следовательно, имеем  горизонтальную асимптоту y=6, а также вертикальную асимптоту x=1, так как при х=1 знаменатель равен нулю, а на нуль делить нельзя.

Ответ: уравнения  асимптот у=6, х=1.

3. Определить глобальные экстремумы

 

Решение:

Для определения  глобальных экстремумов вычислим первую производную данной функции 

Решим уравнение  
 
 

Решим квадратное уравнение 
 

Следовательно, получили одну критическую точку , которая заданному промежутку не принадлежит.

Определим знак производной  на заданном интервале, подставив любое  значение из промежутка и вычислим производную. В данном случае производная имеет знак «+», следовательно, данная функция возрастает и наименьшее значение буде в точке x=1 значение  у=0, а наибольшее значение в точке х=2  значение у=0,4.

4. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

 

Решение:

Вычислим первую производную и нули, решив уравнение  
 
 
 
 
 
 

Решив уравнение  получили три критические точки и получили 4 промежутка

Определим знак производной в полученных интервалах и получим

  ,

На интервале  производная имеет знак «-».

Таким образом, данная функция возрастает на интервалах , и убывает .

Построим эскиз  графика данной функции 

5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции 

 

Решение:

Для определения  промежутков выпуклости и точек  перегиба  необходимо вычислить  вторую производную.

Для этого найдем первую производную 

Вычислим вторую производную 

Решим уравнение  
 

Вторая производная  существует на всей числовой оси и  обращается в нуль при . Получили два интервала. В каждом интервале имеет свой знак.

В данном интервале  следовательно кривая выпукла, а на интервале

- вогнута, так как 

«Дифференциальное исчисление функций  и его приложение»

1. Провести полное исследование свойств и построить экскиз графика функции

 

Решение:

1. Область определения данной функции состоит из двух интервалов, так при х=2 данная функция значения не имеет и претерпевает точку разрыва.
2. Так как область определения функции не симметричная относительно начала координат, то она не является ни четной, ни нечетной; данная функция непериодична.
3. Функция обращается в нуль при х=0 и терпит разрыв при х=2. Полученными точками область определения функции делится на три интервала , в каждом из которых она сохраняет определенный знак.
4. Вычислим первую производную данной функции и получим

 

Решив уравнение   

Получим х=0 и х=4 и терпит разрыв при х = 2. Данными точками числовая ось делится на четыре интервала:.  Определим знак производной в каждом из этих интервалов и получим, что в интервалах: производная имеет знак «+», а на интервалах   знак «-». Следовательно в первых двух интервалах данная функция возрастает, а во вторых двух убывает. Точки х=4 и х=0 являются соответственно точками максимума и минимума. Вычислим значения функции в экстремальных точках: =0 .

5. Дифференцируя дважды данную функцию, получим

.

Вторая производная  терпит разрыв при . Этой точкой числовая ось разбивается на два интервала: . Определим знак второй производной в этих интервалах и получим, что кривая в интервале выпукла, т.к. , а в интервале - вогнута, т.к. . Точек перегиба нет.

Собирая полученные данные воедино, построим график функции.

3. Найти локальные  экстремумы функции

 

Решение:

Найдем частные  производные первого порядка 
 

Отсюда 

Решая систему  уравнения, получим две пары критических точек 

Для определения  характера критических точек  вычислим, где 
 
 

Имеем

В точке (-1,1) имеем , A<0 следовательно, в данной точке находится точка максимума. Значение функции в данной точке (-1;1) равно

В точке (0,0) имеем  в данной точке функция экстремума не имеет.

4. Определить экстремумы функции

 

  Решение: Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты f(x,y) плоскости f(x,y) =x +y  для точек пересечения её с гиперболой y = 100/x, x>0, y>0

Рассматриваем первую четверть, так как область ограничена прямыми х>0, y>0,

«Интегральное исчисление функции  одной переменной»

1. -3 Найти неопределенный интеграл

 

Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трехчлена 

  получим  

Ответ: 

Решение: Делаем замену Получим

Интеграл суммы  есть сумма интегралов.

Вынесем константу из-под знака интеграла.

Проинтегрируем степенную функцию.

Проинтегрируем константу.

Вынесем константу из-под знака интеграла.

Делаем замену переменных:  

Проинтегрируем степенную функцию.

Сделаем обратную замену.

 Сделаем обратную замену. 

Ответ:

 

Решение:

Применим способ интегрирования по частям

, где 

Вынесем константу из-под знака интеграла.

Делаем замену переменных:

Проинтегрируем экспоненту.

Сделаем обратную замену.

Ответ:

4. Вычислить

Решение:

5. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

 

Решение:

Площадь плоской фигуры ограничена двумя параболами, и

  ветви данной параболы направлены вверх, вершина расположена в точке (0,0) 
 

Имеем

(кв.ед.) 

Ответ: (кв.ед.)